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素养提升课(一)　小船渡河与关联速度问题
1．进一步理解合运动与分运动，掌握运动合成与分解的方法。
2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题。
　小船渡河问题
1．运动分析：小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动。
2．两类常见问题
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝。
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝。
(2)最短位移问题
①若v水　
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝。
【典例1】　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
[思路点拨]　求解小船渡河问题应理清以下问题：
(1)船头指向是小船在静水中的速度的方向。
(2)小船实际运动的方向是合速度的方向。
(3)v水＞v船时，小船不能垂直河岸渡河。
[听课记录]__________________________________________________________
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　研究小船渡河问题的思路
(1)→应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关。
(2)→可画出小船的速度分解图进行分析。
(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。
[针对训练]
1．通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中。我们把某次救人的情境简化为理想情境：河岸平直，河宽为100 m，河水流速为1 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，则(　　)
A．船无法到达正对岸
B．船渡河的最短时间为100 s
C．船在河水中的实际速度大小可能是2 m/s
D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长
2．(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度—时间图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度—时间图像如图乙所示，则(　　)
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹一定为曲线
C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s
D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
　“关联”速度问题
1．绳、杆关联速度问题的解题步骤
(1)确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
(2)分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
(3)联系点：两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。常见的模型如图所示：
2．相互接触物体的速度关联的解题步骤
(1)确定合速度：明确两接触物体的速度。
(2)分解合速度：分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解。
(3)联系点：两物体沿弹力方向的分速度大小相等。
【典例2】　如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，v1＝v。
(1)求两绳夹角为θ时，物体上升的速度大小。
(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3)在汽车做匀速直线运动的过程中，绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小定性关系如何？
[思路点拨]　解此题要注意两点：
(1)汽车运动的速度v1是合速度，可沿绳和垂直于绳分解。
(2)物体的速度v2等于绳子的速度。
[听课记录]__________________________________________________________
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【典例3】　甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
[听课记录]__________________________________________________________
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【典例4】　如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为(　　)
A． B．　　
C．　　 D．
[听课记录]__________________________________________________________
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[针对训练]
3．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2
B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ
D．v1＝v2sin θ
4．如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为(　　)
A．小船做变速运动，vx＝
B．小船做变速运动，vx＝v0cos α
C．小船做匀速直线运动，vx＝
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos α
素养提升课(一)　小船渡河与关联速度问题
[探究重构·关键能力达成]
典例1　解析：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示。
时间t＝ s＝36 s
v合＝ m/s
位移为x＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有
v2cos β＝v1，得β＝60°
最小位移为xmin＝d＝180 m
所用时间t′＝ s＝24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s；当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cos α＝，最小位移为x′min＝d＝×180 m＝216 m。
答案：(1)船头朝垂直于河岸方向　36 s　90 m　(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°　24 s　180 m　(3)36 s　216 m
[针对训练]
1．C　[根据题意可知船速大于水速，当船的速度在沿着河岸方向与水流速度大小相等且方向相反时，可以到达正对岸，故A错误；当船头始终垂直河岸时，渡河时间最短为tmin＝ s＝50 s，船渡河的时间与河水的流动速度无关，故B、D错误；根据运动的合成可知，当船速方向与水流速度的方向为某钝角时，船在河水中的实际速度等于2 m/s，故C正确。]
2．BC　[两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合初速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确；当快艇相对于静水的速度方向垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，位移应大于100 m，故C正确，D错误。]
典例2　 解析：
(1)根据实际效果可将汽车的运动分解为沿绳方向上的运动和垂直于绳方向上的运动，如图所示，则有v2＝v1sin θ＝v sin θ。
(2)当汽车水平向左做匀速直线运动时，角度θ变大，由v2＝v sin θ知，绳的运动速度变大，即物体将加速上升。
(3)物体加速上升，即物体所受合外力的方向竖直向上，而物体只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物体的重力mg，即F＞mg。
答案：(1)v sin θ　(2)加速上升　(3)F＞mg
典例3　B　[设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为，选项A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。故选B。]
典例4　
B　[棒与平台接触点的实际运动(即合运动)方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωL sin α＝v，所以ω＝。所以A、C、D错误，B正确。
]
[针对训练]
3．C　[可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。]
4．A　[小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应分解为沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx＝。
]
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素养提升课(一)　小船渡河与关联速度问题
第五章　抛体运动
学习任务
1．进一步理解合运动与分运动，掌握运动合成与分解的方法。
2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题。
探究重构·关键能力达成
探究1　小船渡河问题
1．运动分析：小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动。
2．两类常见问题
(1)渡河时间问题
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝。
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝。
(2)最短位移问题
①若v水②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝。
【典例1】　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
[思路点拨]　求解小船渡河问题应理清以下问题：
(1)船头指向是小船在静水中的速度的方向。
(2)小船实际运动的方向是合速度的方向。
(3)v水＞v船时，小船不能垂直河岸渡河。
[解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示。
时间t＝ s＝36 s
v合＝ m/s
位移为x＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。
最小位移为xmin＝d＝180 m
所用时间t′＝ s＝24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s；当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头
与上游河岸夹角为α，则cos α＝，最小位移为
x′min＝d＝×180 m＝216 m。
[答案]　(1)船头朝垂直于河岸方向　36 s　90 m　(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°　24 s　180 m　(3)36 s　216 m
规律方法　研究小船渡河问题的思路
(1)→应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关。
(2)→可画出小船的速度分解图进行分析。
(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。
[针对训练]
1．通过一次次抗洪抢险，抗洪精神早已刻入中华儿女血脉之中。我们把某次救人的情境简化为理想情境：河岸平直，河宽为100 m，河水流速为1 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，则(　　)
A．船无法到达正对岸
B．船渡河的最短时间为100 s
C．船在河水中的实际速度大小可能是2 m/s
D．若仅增大河水流动的速度，则船渡河的最短时间将变长
√
C　[根据题意可知船速大于水速，当船的速度在沿着河岸方向与水流速度大小相等且方向相反时，可以到达正对岸，故A错误；当船头始终垂直河岸时，渡河时间最短为tmin＝ s＝50 s，船渡河的时间与河水的流动速度无关，故B、D错误；根据运动的合成可知，当船速方向与水流速度的方向为某钝角时，船在河水中的实际速度等于2 m/s，故C正确。]
2．(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度—时间图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度—时间图像如图乙所示，则(　　)
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹一定为曲线
C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s
D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
√
√
BC　[两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合初速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确；当快艇相对于静水的速度方向垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，位移应大于100 m，故C正确，D错误。]
探究2　“关联”速度问题
1．绳、杆关联速度问题的解题步骤
(1)确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
(2)分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
(3)联系点：两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。常见的模型如图所示：
2．相互接触物体的速度关联的解题步骤
(1)确定合速度：明确两接触物体的速度。
(2)分解合速度：分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解。
(3)联系点：两物体沿弹力方向的分速度大小相等。
【典例2】　如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，v1＝v。
(1)求两绳夹角为θ时，物体上升的速度大小。
(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3)在汽车做匀速直线运动的过程中，绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小定性关系如何？
[思路点拨]　解此题要注意两点：
(1)汽车运动的速度v1是合速度，可沿绳和垂直于绳分解。
(2)物体的速度v2等于绳子的速度。
[解析]　(1)根据实际效果可将汽车的运动分解为沿绳方向上的运动和垂直于绳方向上的运动，如图所示，则有v2＝v1sin θ＝v sin θ。
(2)当汽车水平向左做匀速直线运动时，角度θ变大，由v2＝v sin θ知，绳的运动速度变大，即物体将加速上升。
(3)物体加速上升，即物体所受合外力的方向竖直向上，而物体只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物体的重力mg，即F＞mg。
[答案]　(1)v sin θ　(2)加速上升　(3)F＞mg
【典例3】　甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大
小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
√
B　[设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图所示位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为，选项A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。故选B。]
【典例4】　如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为(　　)
A． B．　　
C．　　 D．
√
B　[棒与平台接触点的实际运动(即合运动)方向是垂直于棒指向左上方，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωL sin α＝v，所以ω＝。所以A、C、D错误，B正确。]
[针对训练]
3．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2
B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ
D．v1＝v2sin θ
√
C　[可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。]
4．如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为(　　)
A．小船做变速运动，vx＝
B．小船做变速运动，vx＝v0cos α
C．小船做匀速直线运动，vx＝
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos α
√
A　[小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应分解为沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx＝。]
题号
素养提升练(一)
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
一、选择题
1．一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸。假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的(　　)
A　　　　　　　　　B
√
C　　　　　　　　　　D
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C　[水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误。]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
2．一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸，小船在垂直于河岸的方向上分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，初速度大小相同，运动轨迹如图所示，已知小船在渡河过程中船头方向始终不变，则(　　)
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AB轨迹渡河所用时间最短
C．小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
D．AD是小船沿垂直于河岸的方向做匀减速运动的轨迹
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
D　[由于水流的速度恒定不变，小船沿着河岸相同的时间内，运动相同的距离，从运动轨迹可知，AC在垂直河岸方向，相同的时间内，位移逐渐增加，做匀加速运动；AB在垂直河岸方向，相同的时间内，位移保持不变，做匀速运动；AD在垂直河岸方向，相同的时间内，位移逐渐减小，做匀减速运动，故D正确；在沿着河岸方向，位移越大，用时越长，因此AD用时最长，AC用时最短，故A、B错误；船靠岸时的速度大小为v＝
，AC轨迹渡河，用时最短，平均速度最大，又由于是匀加速运动，到达对岸时，垂直河岸方向的分速度最大，所以船靠岸时速度最大，故C错误。]
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
3．如图所示，水流速度大小恒为v，A处下游的C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点的距离为r。若武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为(　　)
A．v　 　B．v 　　C．v 　　D．v
题号
3
2
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
A　[如图所示，
当冲锋舟在静水中的速度v舟与其在河流中的速度v合垂直时，冲锋舟在静水中的速度最小，则v舟＝v sin θ，由几何关系知θ＝60°，解得v舟＝v，故选A。]
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
4．如图所示，小船以大小v1(在静水中速度)，方向与河流上游成θ角的速度从O点处过河，恰好到达河正对岸 P处，现在雨天水流变急(即v2增大)，要使小船仍到达正对岸且时间相同，下列方法可取的是(　　)
A．不改变v1的大小，只减小θ角
B．不改变θ角，只增大v1的大小
C．增大v1的大小，同时适当减小θ角
D．增大v1的大小，同时适当增大θ角
题号
4
2
3
5
6
8
7
9
10
11
12
13
1
C　[设小船的合速度为v，河宽为d，渡河时间为t，则在垂直河岸方向有d＝vt，分速度与合速度之间的关系为v＝v1sin θ，v2＝，由于时间t不变，因此可知合速度v不变，又因为v2变大，因此可知v1需要增大，同时sin θ减小。故选C。]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
5．(多选)双人皮划艇决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是(　　)
A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面
B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小
D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为
√
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
BD　[当v速度为v合＝，过河时间为t＝，故D正确。]
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
√
6．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略，系绳延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中(　　)
A．绳对球的拉力大小变小
B．墙面对球的支持力变小
C．玩具小车做加速运动
D．玩具小车做减速运动
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
1
D　[设绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示，将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度(即绳子的速度)为v绳＝v cos θ，因球匀速上滑过程中θ角将增大，所以v绳将减小，故小车做减速运动，故D正确，C错误；球受三力作用处于平衡状态，设球重为G，则绳对球的拉力大小T、墙对球的支持力大小N分别为T＝，
N＝G tan θ，所以，随θ的增大，T、N均增大，
故A、B错误。]
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
1
√
7．如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体A做加速运动　 B．物体A做匀速运动
C．A处于失重状态 D．T等于mg sin θ
题号
2
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1
A　[将B竖直向下的运动分解为沿着绳子方向与垂直绳子方向的两个分运动，如图所示
结合平行四边形定则以及三角函数可知v绳＝vA＝v0sin α，式中B速度恒定，α增大，故A的速度增大，有斜向左上方的加速度，A处于超重状态，故A正确，B、C错误；对A分析，根据牛顿第二定律可得T－mg sin θ＝ma>0，即T >mg sin θ，故D错误。]
题号
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1
√
8．如图所示是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的分速率是(　　)
A．v0　 B．2v0　　　
C．v0　　　 D．v0
题号
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1
C　[设杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，即θ＝30°，将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v1和垂直杆转动的分速度v2，由矢量三角形可知v1＝v0cos θ＝v0，而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的分速率为v0。故选C。]
题号
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1
9．(多选)摄制组在某大楼旁边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图所示，导演在某房顶离地H＝16 m处架设了滑轮(人和车均视为质点，且滑轮直径远小于H)，若轨道车从A处以v＝10 m/s的速度匀速运动到B处，绳BO与水平方向的夹角为53°。由于绕在滑轮上细钢丝的拉动，使质量为m＝50 kg的特
技演员从地面由静止开始向上运动。在车从A
运动到B的过程中(取g＝10 m/s2，sin 53°
＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
题号
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1
√
A．演员最大速度为6.0 m/s
B．演员上升高度为4 m
C．演员一直处于失重状态
D．演员受到绳子拉力一直增大
√
题号
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1
AB　[将车的速度分解为沿绳的分速度和垂直绳的分速度，而沿着同一根绳各点速度大小相等，可知演员的速度v人＝v cos θ，则当车到达B点时演员速度最大，最大值为v1＝vcos 53°＝6.0 m/s，选项A正确；演员上升高度为h＝－H＝4 m，选项B正确；根据v人＝v cos θ，可知随θ减小，演员速度向上增加，则演员一直处于超重状态，选项C错误；随θ减小演员的速度增大，当θ趋近于0时演员的速度趋近于车的速度v，则相等时间内演员的速度变化量逐渐减小，加速度逐渐减小，根据F＝mg＋ma可知，演员受到绳子拉力一直减小，选项D错误。]
题号
9
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1
√
10．(多选)民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔跑的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。已知v1>v2，要想命中目标射出的箭在空中飞行距离最短，则(　　)
A．若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，sin θ＝
B．若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，sin θ＝
C．箭射到固定目标的时间为
D．箭射到固定目标的时间为
√
题号
9
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1
AD　[已知v1>v2，要想命中目标射出的箭在空中飞行距离最短，则合速度方向与射出的箭速度方向垂直，若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，则sin θ＝，故A正确，B错误；箭的实际位
移为，实际速度，所以箭射到固定目标的时间为t＝，故C错误，D正确。]
题号
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1
11．(多选)一小船渡河，河宽300 m，河水的流速v1与船离开船河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度v2＝3 m/s，若要使船以最短的时间渡河，则(　　)
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船运动的轨迹是直线
C．船渡河的最短时间是50 s
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
√
√
题号
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1
AD　[船头始终与河岸垂直，渡河时间最短，选项A正确；由于水流速度变化，船头始终与河岸垂直，所以合速度方向变化，运动的轨迹不可能是直线，选项B错误；船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝ s＝100 s，选项C错误；船在河水中的最大速度为v＝ m/s＝5 m/s，选项D正确。]
题号
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12．(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小球，小球套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．小球刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小球到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
√
√
√
题号
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1
ABD　[小球释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝v cos θ，故v1增大，由此可知小球刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小球到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将小球速度v进行正交分解，
v1＝v cos 45°＝v，
所以小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。]
题号
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1
二、非选择题
13．如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，
小船到达C点下游的D点。求：
题号
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1
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD。
[解析]　(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝ m/s＝0.25 m/s。
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(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α
此时渡河时间为t＝
所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。
[答案]　(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m
THANKS素养提升练(一)
一、选择题
1．一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸。假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
2．一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于河岸，小船在垂直于河岸的方向上分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，初速度大小相同，运动轨迹如图所示，已知小船在渡河过程中船头方向始终不变，则(　　)
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AB轨迹渡河所用时间最短
C．小船沿AD轨迹渡河，船靠岸时速度最大
D．AD是小船沿垂直于河岸的方向做匀减速运动的轨迹
3．如图所示，水流速度大小恒为v，A处下游的C处有个半径为r的漩涡，其与河岸相切于B点，A、B两点的距离为r。若武警驾驶冲锋舟把被困群众从A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中最小速度值为(　　)
A．v　 　B．v 　　C．v 　　D．v
4．如图所示，小船以大小v1(在静水中速度)，方向与河流上游成θ角的速度从O点处过河，恰好到达河正对岸 P处，现在雨天水流变急(即v2增大)，要使小船仍到达正对岸且时间相同，下列方法可取的是(　　)
A．不改变v1的大小，只减小θ角
B．不改变θ角，只增大v1的大小
C．增大v1的大小，同时适当减小θ角
D．增大v1的大小，同时适当增大θ角
5．(多选)双人皮划艇决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为v0，皮划艇在静水中的速度为v，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是(　　)
A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面
B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短
C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小
D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为
6．如图所示，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略，系绳延长线过球心)、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处竖直上升。则在球匀速竖直上升且未离开墙面的过程中(　　)
A．绳对球的拉力大小变小
B．墙面对球的支持力变小
C．玩具小车做加速运动
D．玩具小车做减速运动
7．如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现BC连线恰沿水平方向，从当前位置开始B以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体A做加速运动　 B．物体A做匀速运动
C．A处于失重状态 D．T等于mg sin θ
8．如图所示是火警设计的一种快捷让当事人逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的分速率是(　　)
A．v0　 B．2v0　　　
C．v0　　　 D．v0
9．(多选)摄制组在某大楼旁边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图所示，导演在某房顶离地H＝16 m处架设了滑轮(人和车均视为质点，且滑轮直径远小于H)，若轨道车从A处以v＝10 m/s的速度匀速运动到B处，绳BO与水平方向的夹角为53°。由于绕在滑轮上细钢丝的拉动，使质量为m＝50 kg的特技演员从地面由静止开始向上运动。在车从A运动到B的过程中(取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．演员最大速度为6.0 m/s
B．演员上升高度为4 m
C．演员一直处于失重状态
D．演员受到绳子拉力一直增大
10．(多选)民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔跑的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。已知v1>v2，要想命中目标射出的箭在空中飞行距离最短，则(　　)
A．若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，sin θ＝
B．若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，sin θ＝
C．箭射到固定目标的时间为
D．箭射到固定目标的时间为
11．(多选)一小船渡河，河宽300 m，河水的流速v1与船离开船河岸的距离d变化的关系如图所示，船在静水中的速度v2＝3 m/s，若要使船以最短的时间渡河，则(　　)
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船运动的轨迹是直线
C．船渡河的最短时间是50 s
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
12．(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小球，小球套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小球沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A．小球刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小球到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
二、非选择题
13．如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求：
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD。
素养提升练(一)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D A C BD D A C AB AD AD ABD
1．C　[水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误。]
2．D　[由于水流的速度恒定不变，小船沿着河岸相同的时间内，运动相同的距离，从运动轨迹可知，AC在垂直河岸方向，相同的时间内，位移逐渐增加，做匀加速运动；AB在垂直河岸方向，相同的时间内，位移保持不变，做匀速运动；AD在垂直河岸方向，相同的时间内，位移逐渐减小，做匀减速运动，故D正确；在沿着河岸方向，位移越大，用时越长，因此AD用时最长，AC用时最短，故A、B错误；船靠岸时的速度大小为v＝，AC轨迹渡河，用时最短，平均速度最大，又由于是匀加速运动，到达对岸时，垂直河岸方向的分速度最大，所以船靠岸时速度最大，故C错误。]
3．A　[如图所示，当冲锋舟在静水中的速度v舟与其在河流中的速度v合垂直时，冲锋舟在静水中的速度最小，则v舟＝v sin θ，由几何关系知θ＝60°，解得v舟＝v，故选A。
]
4．C　[设小船的合速度为v，河宽为d，渡河时间为t，则在垂直河岸方向有d＝vt，分速度与合速度之间的关系为v＝v1sin θ，v2＝，由于时间t不变，因此可知合速度v不变，又因为v2变大，因此可知v1需要增大，同时sin θ减小。故选C。]
5．BD　[当v6．D　[设绳与竖直方向的夹角为θ，如图所示，将球的速度v分解，可知沿绳方向的分速度(即绳子的速度)为v绳＝v cos θ，因球匀速上滑过程中θ角将增大，所以v绳将减小，故小车做减速运动，故D正确，C错误；球受三力作用处于平衡状态，设球重为G ，则绳对球的拉力大小T、墙对球的支持力大小N分别为T＝，N＝G tan θ，所以，随θ的增大，T、N均增大，故A、B错误。
]
7．A
8．C　[设杆与水平面CD的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，即θ＝30°，将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度v1和垂直杆转动的分速度v2，由矢量三角形可知v1＝v0cos θ＝v0，而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的分速率为v0。故选C。]
9．AB　[将车的速度分解为沿绳的分速度和垂直绳的分速度，而沿着同一根绳各点速度大小相等，可知演员的速度v人＝v cos θ，则当车到达B点时演员速度最大，最大值为v1＝vcos 53°＝6.0 m/s，选项A正确；演员上升高度为h＝－H＝4 m，选项B正确；根据v人＝v cos θ，可知随θ减小，演员速度向上增加，则演员一直处于超重状态，选项C错误；随θ减小演员的速度增大，当θ趋近于0时演员的速度趋近于车的速度v，则相等时间内演员的速度变化量逐渐减小，加速度逐渐减小，根据F＝mg＋ma可知，演员受到绳子拉力一直减小，选项D错误。]
10．AD　[已知v1>v2，要想命中目标射出的箭在空中飞行距离最短，则合速度方向与射出的箭速度方向垂直，若箭的实际运动方向和马的速度方向的夹角为θ，则sin θ＝，故A正确，B错误；箭的实际位移为，实际速度，所以箭射到固定目标的时间为t＝，故C错误，D正确。]
11．AD　[船头始终与河岸垂直，渡河时间最短，选项A正确；由于水流速度变化，船头始终与河岸垂直，所以合速度方向变化，运动的轨迹不可能是直线，选项B错误；船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝ s＝100 s，选项C错误；船在河水中的最大速度为v＝ m/s＝5 m/s，选项D正确。]
12．ABD　[
小球释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝v cos θ，故v1增大，由此可知小球刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小球到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将小球速度v进行正交分解，v1＝v cos 45°＝v，所以小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。]
13．解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝ m/s＝0.25 m/s。
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α
此时渡河时间为t＝
所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。
答案：(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m
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