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素养提升课(二)　平抛运动规律的应用
1．掌握平抛运动的推论并用来解决相关平抛运动的实际问题。
2．能熟练运用平抛运动规律解决斜面上的平抛运动问题。
3．掌握平抛中的临界值极值问题的处理方法。
　平抛运动的两个推论
推论1：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，如图所示。
证明：
推论2：从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点，如图所示。
证明：
【典例1】　如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　)
A．tan φ＝sin θ　　 B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
[听课记录]__________________________________________________________
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[针对训练]
1．如图为一物体做平抛运动的轨迹，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P(x0，y0)，其速度vP的反向延长线交x轴于A点(A点未画出)。则OA的长度为(　　)
A．x0　 B．0.5x0
C．0.3x0 D．不能确定
2．(多选)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为 gt tan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变
D．若小球初速度增大，则θ减小
　与斜面(曲面)相关的平抛运动
1．两类与斜面相关的平抛运动
(1)常见的有两类问题
①物体从斜面上某一点抛出以后又重新落到斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
②做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。
(2)基本求解思路
题干信息 实例 处理方法或思路
速度 方向 垂直打在斜面上的平抛运动 (1)画速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角θ (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy (3)根据tan θ＝列方程求解
位移 方向 从斜面上水平抛出后又落在斜面上的平抛运动 (1)确定位移与水平方向的夹角θ，画位移分解图 (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y (3)根据tan θ＝列方程求解
2．常见的两种与曲面相关的平抛运动
(1)抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在圆形轨道上的C点。
(2)抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
　与斜面相关的平抛运动
【典例2】　如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知xAC＝5 m，重力加速度大小取g＝10 m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度。
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　与曲面相关的平抛运动
【典例3】　(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O点为半圆柱体的圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度取g＝10 m/s2，则(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
[思路点拨]　将小球在C点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分解，然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解，注意速度方向与水平方向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的2倍。
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[针对训练]
3．(多选)如图所示，从半径为R＝1 m的半圆PQ上的P点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，据此判断小球的初速度可能为(　　)
A．1 m/s　　　　　　 B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
4．(多选)如图所示，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶点O水平抛出，分别落到斜面上的A、B两点，A点为OB的中点，不计空气阻力。以下说法正确的是(　　)
A．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度的方向相同
B．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度大小之比为1∶　
C．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1∶
D．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为1∶2
　平抛中的临界、极值问题
1．将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，是求解平抛运动的基本方法。
2．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出产生临界的条件。
3．确定临界状态，并画出轨迹示意图。
4．注意适当运用数学知识分析求解有关临界与极值的问题。
【典例4】　如图所示，排球场的长为18 m，假设球网的高度为 2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)设击球点的高度为2.5 m，球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
[思路点拨]　排球被击出后做平抛运动，若速度过大就会出界，若速度过小就会触网。
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　平抛运动临界、极值问题的常见特点
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
[针对训练]
5．小亮在河岸做抛石子游戏。如图所示为河的横截面示意图，小亮自O点以垂直岸边的水平速度向对岸抛石子。已知O点离水面AB的高度为h，O、A两点间的水平距离为x1，水面AB的宽度为x2，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)若石子直接落到水面上，求其在空中飞行的时间t；
(2)为使石子直接落到水面上，求抛出的速度v0的大小范围。
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　类平抛运动的分析与求解
1．类平抛运动
类平抛运动是一种匀变速曲线运动。在初速度方向上不受力，初速度保持不变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力。
2．类平抛运动的特点及处理方法
受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直
运动特点 在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝
处理方法 常规 分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立、互不影响，且与合运动具有等时性
特殊 分解 对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y轴方向列方程求解
【典例5】　如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，取重力加速度为g，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
[思路点拨]　(1)物块沿斜面做类平抛运动。
(2)物块沿垂直于初速度方向的加速度为g sin θ。
(3)物块沿水平方向的位移为b。
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　类平抛运动问题的求解思路
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移。
(3)根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性、独立性、等效性。
[针对训练]
6．如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小。
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素养提升课(二)　平抛运动规律的应用
[探究重构·关键能力达成]
典例1　D　[法一　由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
法二　设小球飞行时间为t，则tan φ＝，tan θ＝，故tan φ＝2tan θ，选项D正确。]
[针对训练]
1．B　[法一　由题意作图，设v与水平方向的夹角为θ，由几何关系得
tan θ＝ ①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t ②
竖直方向有y0＝vyt ③
由①②③得tan θ＝
在△AEP中，由几何关系得AE＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
法二　由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。]
2．CD　[物体落地时竖直方向上的分速度vy＝gt，因为落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，所以小球的初速度v0＝，故A错误；物体落地时速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝，位移与水平方向夹角的正切值tan α＝，所以tan θ＝2tan α，但α≠，故B错误；根据h＝gt2，可知物体运动时间与下落高度有关，与初速度无关，则若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，故C正确；速度与水平方向夹角的正切值为tan θ＝，若小球初速度增大，则 θ 减小，故D正确。]
典例2　解析：(1)设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律
xAC＋L cos 45°＝v0t
h－L sin 45°＝gt2
联立解得L＝5 m，t＝1 s。
(2)小球撞击P点时的水平速度vx＝v0＝10 m/s，竖直速度vy＝gt＝10 m/s
小球撞击P点时速度的大小为v＝＝10 m/s　
设小球的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，α＝45°，则方向垂直于斜面向下，所以小球垂直于斜面向下撞击P点。
答案：(1)5 m　(2)10 m/s，方向垂直于斜面向下
典例3　AC　[小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝，R＝0.75 m，解得y＝ m，根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 m/s。故选项A、C正确。]
[针对训练]
3．AD　[小球下降的高度h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，若小球落在左边四分之一圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4 m，则初速度v0＝ m/s＝1 m/s，若小球落在右边四分之一圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(x′－R)2，解得水平位移x′＝1.6 m，初速度v0′＝ m/s＝4 m/s。故A、D正确，B、C错误。]
4．ABC　[设小球落在斜面上时，速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝，tan θ＝，可知tan α＝2tan θ，因为小球落在斜面上时，位移与水平方向的夹角为定值，可以知道，两球接触斜面的瞬间，速度方向相同，A项正确；因为两球下落的高度之比为1∶2，根据h＝gt2得t＝，可以知道甲、乙两球运动的时间之比为1∶，则竖直分速度之比为1∶，因为两球落在斜面上时速度方向相同，根据平行四边形定则可知，两球接触斜面的瞬间，速度大小之比为1∶，B、C两项正确；因为甲、乙两球平抛运动的水平位移为1∶2，时间之比为1∶，则初速度之比为1∶，D项错误。]
典例4　解析：(1)如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰好触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝　 ②
由①②可得v1＝3 m/s
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2　 ③
h2＝2.5 m，h2＝　 ④
由③④可得v2＝12 m/s
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
3 m/s＜v0≤12 m/s。
(2)如图所示为排球恰不触网也不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t′1　 ⑤
h′1＝h－2 m，h′1＝　 ⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t′2　 ⑦
h′2＝h＝　 ⑧
由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝ m。
答案：(1)3 m/s＜v0≤12 m/s　(2) m
[针对训练]
5． 解析：(1)根据h＝gt2得，石子在空中飞行时间t＝。
(2)要使小球落到水面上，则水平位移的范围为
x1≤v0t≤x1＋x2
解得x1≤v0≤(x1＋x2)。
答案：(1)　(2)x1≤v0≤(x1＋x2)
典例5　 解析：(1)物块做类平抛运动，由mg sin θ＝ma可知，物块的加速度a＝g sin θ
由l＝at2可得，物块由P运动到Q所用的时间
t＝。
(2)由b＝v0t可得物块的水平射入时的初速度v0＝b。
(3)由vy＝at，v＝可得v＝。
答案：(1) 　(2)b
(3)
[针对训练]
6．解析：(1)飞机水平速度不变l＝v0t
竖直方向加速度恒定h＝at2
消去t即得a＝
由牛顿第二定律得F＝mg＋ma＝。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小为v＝＝v0。
答案：　(2)v0
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素养提升课(二)　平抛运动规律的应用
第五章　抛体运动
学习任务
1．掌握平抛运动的推论并用来解决相关平抛运动的实际问题。
2．能熟练运用平抛运动规律解决斜面上的平抛运动问题。
3．掌握平抛中的临界值极值问题的处理方法。
探究重构·关键能力达成
探究1　平抛运动的两个推论
推论1：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，如图所示。
证明：
推论2：从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点，如图所示。
证明：
【典例1】　如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足(　　)
A．tan φ＝sin θ　　 B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
√
D　[法一　由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
法二　设小球飞行时间为t，则tan φ＝，tan θ＝，故tan φ＝2tan θ，选项D正确。]
[针对训练]
1．如图为一物体做平抛运动的轨迹，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P(x0，y0)，其速度vP的反向延长线交x轴于A点(A点未画出)。则OA的长度为
(　　)
A．x0　 B．0.5x0
C．0.3x0 D．不能确定
√
B　[法一　由题意作图，设v与水平方向的夹角为θ，由几何关系得tan θ＝ ①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t ②
竖直方向有y0＝vyt ③
由①②③得tan θ＝
在△AEP中，由几何关系得AE＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
法二　由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。]
2．(多选)如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为 gt tan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变
D．若小球初速度增大，则θ减小
√
√
CD　[物体落地时竖直方向上的分速度vy＝gt，因为落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，所以小球的初速度v0＝，故A错误；物体落地时速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝，位移与水平方向夹角的正切值tan α＝，所以tan θ＝2tan α，但α≠，故B错误；根据h＝gt2，可知物体运动时间与下落高度有关，与初速度无关，则若小球初速度增大，则平抛运动的时间不变，故C正确；速度与水平方向夹角的正切值为tan θ＝，若小球初速度增大，则 θ 减小，故D正确。]
探究2　与斜面(曲面)相关的平抛运动
1．两类与斜面相关的平抛运动
(1)常见的有两类问题
①物体从斜面上某一点抛出以后又重新落到斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
②做平抛运动的物体垂直打
在斜面上，此时物体的合速
度方向与斜面垂直。
(2)基本求解思路
题干信息 实例 处理方法或思路
速度 方向 垂直打在斜面上的平抛运动
题干信息 实例 处理方法或思路
位移 方向 从斜面上水平抛出后又落在斜面上的平抛运动
2．常见的两种与曲面相关的平抛运动
(1)抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在圆形轨道上的C点。
(2)抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
角度1　与斜面相关的平抛运动
【典例2】　如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝
10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知xAC＝5 m，重力加速度大小取g＝10 m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度。
[解析]　(1)设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律
xAC＋L cos 45°＝v0t
h－L sin 45°＝gt2
联立解得L＝5 m，t＝1 s。
(2)小球撞击P点时的水平速度vx＝v0＝10 m/s，竖直速度vy＝gt＝10 m/s
小球撞击P点时速度的大小为v＝＝10 m/s　
设小球的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，α＝45°，则方向垂直于斜面向下，所以小球垂直于斜面向下撞击P点。
[答案]　(1)5 m　(2)10 m/s，方向垂直于斜面向下
角度2　与曲面相关的平抛运动
【典例3】　(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O点为半圆柱体的圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度取g＝10 m/s2，则
(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
[思路点拨]　将小球在C点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分解，然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解，注意速度方向与水平方向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的2倍。
√
√
AC　[小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝，R＝0.75 m，解得y＝ m，根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 m/s。故选项A、C正确。]
[针对训练]
3．(多选)如图所示，从半径为R＝1 m的半圆PQ上的P点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，据此判断小球的初速度可能为(　　)
A．1 m/s　　　　　　 B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
√
√
AD　[小球下降的高度h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，若小球落在左边四分之一圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4 m，则初速度v0＝ m/s＝1 m/s，若小球落在右边四分之一圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(x′－R)2，解得水平位移x′＝1.6 m，初速度v0′＝ m/s＝4 m/s。故A、D正确，B、C错误。]
4．(多选)如图所示，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶点O水平抛出，分别落到斜面上的A、B两点，A点为OB的中点，不计空气阻力。以下说法正确的是(　　)
A．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度的方向相同
B．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度大小之比为1∶　
C．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1∶
D．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为1∶2
√
√
√
ABC　[设小球落在斜面上时，速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝，tan θ＝，可知tan α＝2tan θ，因为小球落在斜面上时，位移与水平方向的夹角为定值，可以知道，两球接触斜面的瞬间，速度方向相同，A项正确；因为两球下落的高度之比为1∶2，根据h＝gt2得t＝，可以知道甲、乙两球运动的时间之比为1∶，则竖直分速度之比为1∶，因为两球落在斜面上时速度方向相同，根据平行四边形定则可知，两球接触斜面的瞬间，速度大小之比为1∶，B、C两项正确；因为甲、乙两球平抛运动的水平位移为1∶2，时间之比为1∶，则初速度之比为1∶，D项错误。]
探究3　平抛中的临界、极值问题
1．将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，是求解平抛运动的基本方法。
2．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出产生临界的条件。
3．确定临界状态，并画出轨迹示意图。
4．注意适当运用数学知识分析求解有关临界与极值的问题。
【典例4】　如图所示，排球场的长为18 m，假设球网的高度为 2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)设击球点的高度为2.5 m，球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
[思路点拨]　排球被击出后做平抛运动，若速度过大就会出界，若速度过小就会触网。
[解析]　(1)如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰好触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝　 ②
由①②可得v1＝3 m/s
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2　 ③
h2＝2.5 m，h2＝　 ④
由③④可得v2＝12 m/s
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
3 m/s＜v0≤12 m/s。
(2)如图所示为排球恰不触网也不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t′1　 ⑤
h′1＝h－2 m，h′1＝　 ⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t′2　 ⑦
h′2＝h＝　 ⑧
由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝ m。
[答案]　(1)3 m/s＜v0≤12 m/s　(2) m
规律方法　平抛运动临界、极值问题的常见特点
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
[针对训练]
5．小亮在河岸做抛石子游戏。如图所示为河的横截面示意图，小亮自O点以垂直岸边的水平速度向对岸抛石子。已知O点离水面AB的高度为h，O、A两点间的水平距离为x1，水面AB的宽度为x2，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)若石子直接落到水面上，求其在空中飞行的时间t；
(2)为使石子直接落到水面上，求抛出的速度v0的大小范围。
[解析]　(1)根据h＝gt2得，石子在空中飞行时间t＝。
(2)要使小球落到水面上，则水平位移的范围为
x1≤v0t≤x1＋x2
解得x1≤v0≤(x1＋x2)。
[答案]　(1)　(2)x1≤v0≤(x1＋x2)
探究4　类平抛运动的分析与求解
1．类平抛运动
类平抛运动是一种匀变速曲线运动。在初速度方向上不受力，初速度保持不变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力。
2．类平抛运动的特点及处理方法
受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直
运动特点
处理方法 常规 分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立、互不影响，且与合运动具有等时性
特殊 分解 对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y轴方向列方程求解
【典例5】　如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，取重力加速度为g，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
[思路点拨]　(1)物块沿斜面做类平抛运动。
(2)物块沿垂直于初速度方向的加速度为g sin θ。
(3)物块沿水平方向的位移为b。
[解析]　(1)物块做类平抛运动，由mg sin θ＝ma可知，物块的加速度a＝g sin θ
由l＝at2可得，物块由P运动到Q所用的时间t＝。
(2)由b＝v0t可得物块的水平射入时的初速度v0＝b。
(3)由vy＝at，v＝可得v＝。
[答案]　(1) 　(2)b　(3)
规律方法　类平抛运动问题的求解思路
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移。
(3)根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性、独立性、等效性。
[针对训练]
6．如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小。
[解析]　(1)飞机水平速度不变l＝v0t
竖直方向加速度恒定h＝at2
消去t即得a＝
由牛顿第二定律得F＝mg＋ma＝。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小为v＝＝v0。
[答案]　　(2)v0
一、选择题
1．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的(　　)
A．b与c之间某一点　 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
1
题号
2
3
4
5
6
7
8
9
√
10
11
12
素养提升练(二)
A　[当水平速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点的水平直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点(如图)，即以速度2v0水平抛出小球时将落在斜面上的b与c之间的某一点。]
1
题号
2
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10
11
12
2．如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，不计空气阻力，斜面的倾角为30°，则关于h和初速度v0的关系，下列图像正确的是(　　)
√
1
题号
2
3
4
5
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10
11
12
　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
D　[将小球刚要打到斜面上的速度沿竖直和水平方向进行分解，则有tan 30°＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，由几何关系得tan 30°＝，解得h＝，h-v0图像应是开口向上的抛物线，而图像应是过原点的一条直线，选项A、B、C错误，D正确。]
1
题号
2
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11
12
3．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则(　　)
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
√
1
题号
2
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8
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10
11
12
C　[小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为β，有夹角的正切值tan β＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，且β＝α＋θ，故小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确。]
1
题号
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11
12
4．(多选)如图所示，一个电影演员准备跑过一个屋顶，水平地跳跃并离开屋顶，然后落在下一栋建筑物的屋顶上。如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应
大于6.2 m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5 m/s
√
1
题号
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11
12
√
BC　[由h＝gt2，x＝v0t，将h＝5 m、x＝6.2 m代入，解得安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2 m/s，B、C正确，A、D错误。]
1
题号
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12
5．如图所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。设甲、乙两球的初速度分别为v甲、v乙，在空中运动的时间分别为t甲、t乙，则下列判断正确的是(　　)
A．t甲＝t乙 B．t甲C．v甲＞v乙 D．v甲＜v乙
√
1
题号
2
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11
12
D　[根据平抛运动规律可知，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落高度小于甲球，故t乙＜t甲，选项A、B错误；水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，选项D正确，C错误。]
1
题号
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11
12
6．利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　)
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
√
1
题号
2
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12
C　[在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误；在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误；在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C正确；在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D错误。]
1
题号
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7．(多选)如图所示，斜面AB固定在水平地面上，斜面的倾角α＝37°、长度为l＝1 m。在顶点水平向左抛出一个小球，重力加速度g取10 m/s2，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，经过一段时间后，小球落在水平地面上或者斜面上，对于这一过程，下列说法正确的是(　　)
A．若小球的初速度为3 m/s，则小球落在水平地面上
B．若小球落在水平地面上，则小球在空中运动的时间为0.4 s
C．若小球落在斜面上，则初速度越大，落点处的速度方向
与水平方向的夹角越大
D．只要小球落在斜面上，落点处的速度方向与水平方向的夹角就都相同
√
1
题号
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12
√
AD　[当小球恰好落在B点时，l·cos α＝v0t，l·sin α＝gt2得t＝
s，v0＝ m/s≈2.3 m/s＜3 m/s，A正确，B错误；若初速度小于v0，小球始终落在斜面上，位移偏角保持不变，故速度夹角也保持不变，C错误，D正确。]
1
题号
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8．如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
√
1
题号
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12
C　[小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，设为t，对A球x＝v1t，y＝gt2，又tan 30°＝，联立得v1＝gt；小球B恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝，则v2＝gt，所以v1∶v2＝3∶2，所以C正确。]
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题号
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9．(多选)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(g取10 m/s2)(　　)
A．12 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．2 m/s
√
1
题号
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12
√
AB　[依题意，可得小球刚好越过围墙时有L＝v1t1，H－h＝，联立求得v1＝5 m/s，当小球刚好落在马路上的右侧边缘线上时有L＋x＝v2t，H＝，联立求得v2＝13 m/s，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，则小球的速度满足5 m/s≤v≤13 m/s，故选AB。]
1
题号
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10．如图所示，abcd是倾角为θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ab、bc均与ab垂直。在斜面上的a点，半甲球以速度v0沿ab方向入射的同时，在斜面上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是(　　)
A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇
B．甲、乙两球一定在斜面上相遇
C．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上
D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变可能不相同
√
1
题号
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12
C　[甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，与类平抛运动沿斜面向下方向上的运动规律相同，可知甲、乙两球在斜面上运动的过程中，相同时间内沿斜面向下的位移相同，即总是在同一水平线上，若斜面足够长，两球一定会在斜面上相遇，但是斜面不是足够长，所以两球不一定在斜面上相遇，故A、B错误，C正确；因为甲、乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同，故D错误。]
1
题号
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二、非选择题
11．如图所示，水平地面上有一高h＝4.2 m的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0 m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离x＝3.6 m、离地面高H＝5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球碰墙点离地面的高度h1。
(2)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球
能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什么条件？
1
题号
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[解析]　(1)小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有
水平方向上x＝v0t ①
竖直方向上H－h1＝gt2 ②
联立①②式并代入数据可得h1＝3.2 m。
1
题号
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(2)设小球以v1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律有
水平方向x＝v1t1 ③
竖直方向H－h＝ ④
联立③④式并代入数据可得v1＝9.0 m/s，所以小球越过墙要满足初速度v≥9.0 m/s。
1
题号
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12
[答案]　(1)3.2 m　(2)v≥9.0 m/s
12．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，测得ab间的距离L＝40 m，斜坡与水平方向的夹角为θ＝30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(计算结果可用根式表示)：
1
题号
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12
(1)运动员在空中的飞行时间及在b处着陆时的速率是多少？
(2)运动员飞出后经多长时间离坡面最远，最远距离是多少？
(3)若斜坡足够长、与水平方向的夹角为θ，则运动员在斜坡上飞行的距离L与运动员从跳台a处水平飞出的速度v0之间有怎样的函数关系？已知重力加速度为g。
1
题号
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[解析]　(1)依题意，运动员在空中做平抛运动，竖直方向有h＝gt2
又因为h＝L sin 30°＝20 m
解得t＝＝2 s
水平方向x＝L cos 30°＝20 m
所以得v0＝＝10 m/s，vy＝gt＝20 m/s
vb＝＝10 m/s。
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题号
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(2)法一：当速度与斜坡平行时距离斜坡最远，如图所示
则有vy1＝v0tan 30°＝gt1
所以t1＝＝1 s
又aC＝v0t1＝10 m
所以有CE＝h＝10 m，CD＝＝5 m
DE＝CE－CD＝5 m
此时离开斜坡最远距离DF＝DE cos 30°＝ m。
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题号
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法二：将v0与g向平行斜面方向与垂直斜面方向分解，当运动员垂直斜面方向的速度减为0时离斜面最远，如图所示
则有v1＝v0sin 30°，g1＝g cos 30°，在垂直斜面方向上＝2g1H，t1＝＝1 s
所以H＝ m。
1
题号
2
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(3)设运动员在空中的飞行时间为t，则h＝gt2，x＝v0t
由tan θ＝
得t＝
所以x＝v0t＝
L与v0之间的函数关系L＝。
1
题号
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[答案]　(1)2 s　10 m/s　(2)1 s　 m　(3)L＝
章末综合测评(一)
√
一、选择题(共10小题，1～7题为单选题，8～10题为多选题)
1．曲水流觞是我国古代汉族民间的一种传统习俗。每年农历三月上巳日，人们坐在河渠两旁，让盛着酒水的木杯(觞)顺流而下，觞流经面前时，人们就取觞饮酒。如图所示的觞随着河水自西向东飘向下游时，突然吹来一阵南风，则之后觞可能的运动轨迹为(　　)
A．轨迹1　　　 B．轨迹2
C．轨迹3 D．轨迹4
题号
1
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章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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15
B　[若没有风吹，则觞随着河水自西向东漂向下游，现有南风吹来，依据运动的合成与分解，之后觞可能的运动轨迹为2，不可能为1，原因是轨迹1沿河方向的速度最后变成了与水流相反的方向，也不可能是轨迹3或4，原因是吹的南风，合速度不可能不改变或是向下偏，故选B。]
题号
2
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2．2023年诺贝尔物理学奖授予三位物理科学家，表彰他们对于超快激光和阿秒物理科学的开创性工作。阿秒激光脉冲(1阿秒＝10-18秒)是目前人们所能控制的最短时间过程，可用来测量原子内绕核运动电子的动态行为等超快物理现象。其应用类似于频闪照相机，下面三幅图是同一小球，在同一地点，用同一频闪照相仪得到的运动照片，下列说法正确
的是(　　)
题号
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√
14
15
A．三种运动过程中，小球的加速度逐渐增大
B．前两种运动小球处于完全失重状态，而斜上抛运动的小球上升过程处于超重状态
C．三种运动过程中，相等时间内小球速度变化量相同
D．三种运动过程中，相等时间内小球在竖直方向上位移相同
题号
2
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C　[三种运动小球均只受重力，小球处于完全失重状态，加速度为重力加速度，保持不变，故A、B错误；平抛运动和斜抛运动水平方向分运动是匀速直线运动，水平分速度不变，只有竖直分速度变化，根据Δvy＝gΔt可知，三种运动过程中，相等时间内速度变化量相同，故C正确；自由落体运动和平抛运动相等时间内在竖直方向上的位移相同，斜上抛运动在竖直方向上做竖直上抛运动，与前两种运动相等时间内位移不同，故D错误。]
1
题号
3
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3．如图甲所示，一条小河宽度为d，两河岸P、Q平行，一小船以恒定速度v0从河岸P出发，船头总保持与河岸P垂直，河水速度v与小船离河岸P的距离x的关系图像如图乙所示，则小船在小河中运动的轨迹可能正确的是(　　)
√
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题号
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D　[在小船船头垂直于河岸P匀速运动的过程中，河水的速度先增加，后减小，即小船沿河岸方向先加速后减速到零。故选D。]
1
题号
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√
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15
4．如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过定滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动。则关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是(　　)
A．F不变、v不变
B．F减小、v减小
C．F增大、v减小
D．F增大、v增大
1
题号
4
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15
C　[设轻绳与竖直方向的夹角为θ，物块A向上做匀速直线运动，设速度为v1，物块在竖直方向受合力是零，则有F cos θ＝mg，随θ角的增大，拉力F增大；拉力作用点的移动速度为v＝v1cos θ，速度v1不变，随θ角的增大，则v减小。故选C。]
1
题号
2
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3
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
5．某运动员进行高台跳雪训练，如图所示，运动员从水平雪道末端以不同的初速度v0沿水平方向飞出，经时间t落到雪坡(可视为倾角为θ的斜面)上，此时其速度方向与
雪坡的夹角为α，不计空气阻力。下
列关于t与v0、tan α与v0关系的图像
可能正确的
是(　　)
1
　
A　　　　　　　B
　
C　　　　　　　D
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[跳雪运动员做平抛运动，设水平位移为x，竖直位移为y，则x＝v0t，y＝gt2，由几何关系得tan θ＝，解得t＝，故A错误，B正确；跳雪运动员的速度偏向角满足tan (α＋θ)＝，化简得tan (α＋θ)＝2tan θ，所以α不随v0的变化而变化，故C、D错误。]
1
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
√
14
15
6．如图所示，边长为a的正方体无盖盒子放在水平地面上，O为直线A′B′上一点，O与A′的距离为a。将小球(可视为质点)从O点正上方距离3a处以某一速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为g。为使小球能落在盒子内部，则小球抛出时的
速度不超过(　　)
A． B．
C． D．
1
题号
2
4
5
3
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
B　[当小球恰好落到C点时，水平速度最快，此时小球的水平位移为x＝a，根据x＝v0t，h＝3a－a＝gt2，联立得v0＝，故选B。]
1
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
√
14
15
7．如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为
1 m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为(重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)
C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
1
题号
2
4
5
3
7
6
8
9
10
11
12
13
14
15
C　[小球做平抛运动，水平方向有x1＝v0t，竖直方向有y1＝gt2，球第一次打在曲面上的坐标为(x1，y0－y1)，有y0－y1＝，解得t＝1 s，x1＝1 m，y1＝5 m，故球第一次打在曲面上的坐标为(1 m，1 m)。故C正确。]
1
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
√
14
15
8．如图所示，有一条宽为50 m的河道，一小船从岸边的某点渡河。已知小船在静水中的速度大小为5 m/s，水流速度大小为3 m/s。下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河的最短时间是10 s
B．小船在河水中航行的轨迹是曲线
C．小船渡河要位移最小，船头应斜向上游，
船与河岸的夹角应为53°
D．小船在河水中的合速度大小可能为9 m/s
1
√
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
14
15
AC　[当船头始终垂直河岸渡河时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝ s＝10 s，故A正确；小船在静水中的速度和水流的速度均恒定，则小船渡河过程中合速度恒定，即小船渡河时做匀速直线运动，因此小船在河水中航行的轨迹是直线，故B错误；小船渡河要位移最小，即合位移为河宽，因此合速度
必须垂直于河岸，如图所示，
1
题号
2
4
5
3
8
6
7
9
10
11
12
13
14
15
根据几何关系可得cos θ＝，可得θ＝53°，故C正确；当船顺流而下，即船速与水速同向时，船的合速度最大，最大值为v合max＝v水＋v船＝8 m/s，故D错误。]
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
√
14
15
9．一质量为0.2 kg的小球在如图甲所示的xOy平面上运动，在x方向的v-t图像和y方向的s-t图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内小球做匀变速直线
运动
B．小球的初速度大小为8 m/s
C．2 s末小球的速度大小为4 m/s
D．前2 s内小球所受合外力大小为0.8 N
1
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
CD　[由v -t图像可知，小球在x方向上做初速度为8 m/s，加速度为a＝ m/s2＝－4 m/s2的匀减速运动，x方向上受力为Fx＝ma＝0.8 N，而在y方向上，小球做速度为4 m/s的匀速运动，y方向上受力为Fy＝0，可知在前2 s内小球做匀变速曲线运动，F合＝＝0.8 N，故A错误，D正确；小球的初速度为水平分速度和竖直分速度的合速度，故初速度为v0＝ m/s＝4 m/s，故B错误；2 s末小球的速度只有竖直分速度，速度为－4 m/s，故C正确。]
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
√
14
15
10．如图所示，质量相同的乒乓球1、2落台后恰好在等高处水平越过球网。不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．起跳时，两球在竖直方向的速度相同
B．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
C．起跳时，球1与球2速度大小相等
D．起跳时，球1的速度大于球2的速度
1
√
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
AD　[两球越过球网前做斜抛运动，上升的最大高度相同，根据＝2gh，可知起跳时，两球在竖直方向的速度相同，故A正确；根据vy＝gt，两球飞行时间相等，故B错误；根据x＝vxt，v0＝，球1水平位移较大，水平分速度较大，则起跳时球1的速度大于球2的速度，故C错误，D正确。]
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
12
13
14
15
二、实验题(共2小题)
11．“频闪摄影”是摄像机每隔一定时间就对运动物体拍摄一次，因此拍摄到物体的图像是不连续的，但从这些不连续的图像中可发现物体运动的规律。小明利用如图甲所示的装置和频闪摄影探究平抛运动的特点。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(1)现有以下材质的小球，实验中A、B球应当选用________。
A．乒乓球　 B．塑料球　　　 C．钢球
(2)按顺序进行实验操作：
①将A、B球放置实验装置甲上
②调整频闪摄像机位置，将频闪摄像机正对实验装置甲所在的位置
③打开摄像机，开始摄像
④敲击弹片，让A、B球同时开始运动
⑤小球落在实验台上时停止摄像
其中步骤①中________(选填“需要”或“不需要”)将两球重心调整至同一水平线。
1
C
需要
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(3)实验中，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下，图乙为某次实验的频闪照片，分析该照片，可得出的实验结论是________。
A．仅可判断A球竖直方向做自由落体运动
B．仅可判断A球水平方向做匀速直线运动
C．可判断A球竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动
(4)测得乙图中A球连续3个位置的距离如图丙所示，已知物体的实际大小与照片上物体影像大小的比值为k，重力加速度为g, 则A球平抛
的初速度表达式v0＝__________。
1
C
x0
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(5)若A球从距实验台高度为0.8 m处水平飞出，摄像机每秒频闪20次，重力加速度g取10 m/s2，则最多可以得到A球在空中运动的________个位置。
1
8
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
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12
13
14
15
[解析]　(1)为了减小空气阻力的影响，实验中A、B球应当选用钢球。故选C。
(2)为了保证A、B球运动的初位置高度相同，需要将两球重心调整至同一水平线。
(3)实验中，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下，题图乙为某次实验的频闪照片，从照片可以看出两球在竖直方向具有相同的运动情境，即A球竖直方向做自由落体运动；从照片可以看出A球在相同时间内通过的水平位移相等，则A球水平方向做匀速直线运动。故选C。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(4)竖直方向有Δy＝k(y2－y1)＝gT2
可得T＝
水平方向有kx0＝v0T
联立可得A球平抛的初速度表达式v0＝x0。
(5)根据h＝gt2
可得t＝ s＝0.4 s
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
摄像机每秒频闪20次，则频闪周期为
T＝ s＝0.05 s
则有＝8
可知最多可以得到A球在空中运动的8个位置。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
12．在“研究平抛运动”实验中：
(1)为描出钢球做平抛运动的轨迹，要将钢球在轨道上合适位置由静止释放，每次释放钢球的位置应________(选填“相同”或“不同”)。
(2)如图是横挡条卡住平抛小球，用铅笔标注
小球最高点，确定平抛运动轨迹的方法，坐
标原点应选小球在斜槽末端点时的________。
1
A．球心 B．球的上端　　 C． 球的下端
相同
B
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(3)如图是利用实验装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片，由照片可判断实验操作错误的是________。
A．释放小球时初速度不为0
B．释放小球的初始位置不同
C．斜槽末端切线不水平
1
C
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(4)如图是利用稳定的细水柱显示平抛运动轨迹的装置，其中正确的是________。
1
B
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(5)如图为钢球运动轨迹上的三个点，图中背景方格的边长均为5 cm，取g＝10 m/s2，可得钢球做平抛运动的初速度v0＝________ m/s。
1
1.5
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
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14
15
[解析]　(1)为描出钢球做平抛运动的轨迹，要将钢球在轨道上合适位置由静止释放，每次释放钢球的位置应相同。
(2)确定平抛运动轨迹的方法，轨迹中标注小球最高点，坐标原点应选小球在斜槽末端点时的最高点。故选B。
(3)由题图可知，小球出现斜抛，可判断实验操作错误的是斜槽末端切线不水平。故选C。
(4)要形成稳定的细水柱显示平抛运动轨迹的装置，要使细管两端的压力差恒定，应如题图B所示安装。故选B。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
11
12
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14
15
(5)A到B、B到C的水平位移相同，故所用时间相同，设为T，水平方向可得3L＝v0T
竖直方向可得
5L－3L＝gT 2
联立解得v0＝＝1.5 m/s。
1
题号
9
2
4
5
3
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6
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11
12
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14
15
三、计算题(共3小题)
13．某河宽200 m，河水的流速与离某河岸距离的变化关系如图所示，小船在静水中的航行速度恒为 4 m/s，则：
(1)小船渡河的最短时间是多少？
(2)以最短时间过河过程中，小船在河水中航行的最大速度是多少？速度方向与河岸夹角是多少？
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
[解析]　(1)设水流速度为v1，小船在静水中的速度为v2，河宽为d。
当船头垂直河岸渡河时，时间最短，最短时间为t＝
代入数据可得t＝50 s。
(2)小船驶至距河岸100 m时水流速度最大，此时船的实际速度也最大，则v1m＝3 m/s。
根据平行四边形法则得
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
vm＝ m/s＝5 m/s
设此时该速度方向与河岸的夹角为θ
则tan θ＝，所以θ＝53°。
1
[答案]　(1)50 s　(2)5 m/s　53°
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
14．无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)求包裹释放点到落地点的水平距离x；
(2)求包裹落地时的速度大小v；
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
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13
14
15
[解析]　(1)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，h＝gt2，t＝
水平分运动是匀速直线运动，x＝v0t
联立解得x＝v0。
(2)落地时，竖直方向分速度vy＝gt
则合速度v＝，解得v＝。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
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10
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14
15
(3)在竖直方向上y＝gt2
在水平方向上x＝v0t
消t可得y＝x2(0≤x≤v0)。
1
[答案]　(1)v0　(3)y＝x2(0≤x≤v0)
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
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13
14
15
15．如图所示，半径R＝1.0 m的半球紧贴着竖直墙固定在水平地面上。体积可忽略的小球在竖直墙最高点最右侧以v0水平向右抛出。已知墙高H＝1.8 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，小球落地后不反弹。试求：
(1)若小球刚好击中半球的最高点，则小球水平
抛出的初速度v0大小；
(2)若小球不与半球相碰，则小球水平抛出的初
速度v0大小的取值范围。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
[解析]　(1)小球做平抛运动，竖直方向上有
H－R＝
水平方向上有
R＝v0t1
解得
v0＝2.5 m/s。
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
(2)小球恰不与半球相碰，即轨迹恰好与圆轨道相切，设此时速度方向与竖直方向所成夹角为θ，由几何关系有
tan θ＝
水平方向有
R＋R cos θ＝v0t
竖直方向上有
H－R sin θ＝gt2
1
题号
9
2
4
5
3
8
6
7
10
11
12
13
14
15
且sin2θ＋cos2θ＝1
解得
t＝s
v0＝1.5 m/s
小球水平抛出初速度范围为
v0≥1.5 m/s。
1
[答案]　(1)2.5 m/s　(2)v0≥1.5 m/s
THANKS素养提升练(二)
一、选择题
1．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的(　　)
A．b与c之间某一点　 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
2．如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，不计空气阻力，斜面的倾角为30°，则关于h和初速度v0的关系，下列图像正确的是(　　)
　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
3．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则(　　)
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
4．(多选)如图所示，一个电影演员准备跑过一个屋顶，水平地跳跃并离开屋顶，然后落在下一栋建筑物的屋顶上。如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应大于6.2 m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5 m/s
5．如图所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。设甲、乙两球的初速度分别为v甲、v乙，在空中运动的时间分别为t甲、t乙，则下列判断正确的是(　　)
A．t甲＝t乙 B．t甲C．v甲＞v乙 D．v甲＜v乙
6．利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是(　　)
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
7．(多选)如图所示，斜面AB固定在水平地面上，斜面的倾角α＝37°、长度为l＝1 m。在顶点水平向左抛出一个小球，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，经过一段时间后，小球落在水平地面上或者斜面上，对于这一过程，下列说法正确的是(　　)
A．若小球的初速度为3 m/s，则小球落在水平地面上
B．若小球落在水平地面上，则小球在空中运动的时间为0.4 s
C．若小球落在斜面上，则初速度越大，落点处的速度方向与水平方向的夹角越大
D．只要小球落在斜面上，落点处的速度方向与水平方向的夹角就都相同
8．如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
9．(多选)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(g取10 m/s2)(　　)
A．12 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．2 m/s
10．如图所示，abcd是倾角为θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ab、bc均与ab垂直。在斜面上的a点，半甲球以速度v0沿ab方向入射的同时，在斜面上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是(　　)
A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇
B．甲、乙两球一定在斜面上相遇
C．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上
D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变可能不相同
二、非选择题
11．如图所示，水平地面上有一高h＝4.2 m的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0 m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离x＝3.6 m、离地面高H＝5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球碰墙点离地面的高度h1。
(2)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什么条件？
12．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，测得ab间的距离L＝40 m，斜坡与水平方向的夹角为θ＝30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(计算结果可用根式表示)：
(1)运动员在空中的飞行时间及在b处着陆时的速率是多少？
(2)运动员飞出后经多长时间离坡面最远，最远距离是多少？
(3)若斜坡足够长、与水平方向的夹角为θ，则运动员在斜坡上飞行的距离L与运动员从跳台a处水平飞出的速度v0之间有怎样的函数关系？已知重力加速度为g。
素养提升练(二)
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A D C BC D C AD C AB C
1．A　[
当水平速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点的水平直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点(如图)，即以速度2v0水平抛出小球时将落在斜面上的b与c之间的某一点。]
2．D　[将小球刚要打到斜面上的速度沿竖直和水平方向进行分解，则有tan 30°＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，由几何关系得tan 30°＝，解得h＝，h-v0图像应是开口向上的抛物线，而图像应是过原点的一条直线，选项A、B、C错误，D正确。]
3．C
4．BC　[由h＝gt2，x＝v0t，将h＝5 m、x＝6.2 m代入，解得安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2 m/s，B、C正确，A、D错误。]
5．D　[根据平抛运动规律可知，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落高度小于甲球，故t乙＜t甲，选项A、B错误；水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，选项D正确，C错误。]
6．C　[在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误；在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误；在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C正确；在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D错误。]
7．AD　[当小球恰好落在B点时，l·cos α＝v0t，l·sin α＝得t＝ s，v0＝ m/s≈2.3 m/s＜3 m/s，A正确，B错误；若初速度小于v0，小球始终落在斜面上，位移偏角保持不变，故速度夹角也保持不变，C错误，D正确。]
8．C　[小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，设为t，对A球x＝v1t，y＝gt2，又tan 30°＝，联立得v1＝gt；小球B恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝，则v2＝gt，所以v1∶v2＝3∶2，所以C正确。]
9．AB　[依题意，可得小球刚好越过围墙时有L＝v1t1，H－h＝，联立求得v1＝5 m/s，当小球刚好落在马路上的右侧边缘线上时有L＋x＝v2t，H＝，联立求得v2＝13 m/s，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，则小球的速度满足5 m/s≤v≤13 m/s，故选AB。]
10．C　[甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，与类平抛运动沿斜面向下方向上的运动规律相同，可知甲、乙两球在斜面上运动的过程中，相同时间内沿斜面向下的位移相同，即总是在同一水平线上，若斜面足够长，两球一定会在斜面上相遇，但是斜面不是足够长，所以两球不一定在斜面上相遇，故A、B错误，C正确；因为甲、乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同，故D错误。]
11．解析：(1)小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有
水平方向上x＝v0t ①
竖直方向上H－h1＝gt2 ②
联立①②式并代入数据可得h1＝3.2 m。
(2)设小球以v1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律有
水平方向x＝v1t1 ③
竖直方向H－h＝ ④
联立③④式并代入数据可得v1＝9.0 m/s，所以小球越过墙要满足初速度v≥9.0 m/s。
答案：(1)3.2 m　(2)v≥9.0 m/s
12．解析：(1)依题意，运动员在空中做平抛运动，竖直方向有h＝
又因为h＝L sin 30°＝20 m
解得t＝＝2 s
水平方向x＝L cos 30°＝20 m
所以得v0＝＝10 m/s，vy＝gt＝20 m/s
vb＝＝10 m/s。
(2)法一：当速度与斜坡平行时距离斜坡最远，如图所示
则有vy1＝v0tan 30°＝gt1
所以t1＝＝1 s
又aC＝v0t1＝10 m
所以有CE＝h＝10 m，CD＝＝5 m
DE＝CE－CD＝5 m
此时离开斜坡最远距离DF＝DE cos 30°＝ m。
法二：将v0与g向平行斜面方向与垂直斜面方向分解，当运动员垂直斜面方向的速度减为0时离斜面最远，如图所示
则有v1＝v0sin 30°，g1＝g cos 30°，在垂直斜面方向上＝2g1H，t1＝＝1 s
所以H＝ m。
(3)设运动员在空中的飞行时间为t，则h＝gt2，x＝v0t
由tan θ＝
得t＝
所以x＝v0t＝
L与v0之间的函数关系L＝。
答案：(1)2 s　10 m/s　(2)1 s　 m
(3)L＝
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