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(共60张PPT)
专题课：竖直面内的圆周运动临界问题
学习任务一 “绳—球”（过山车）模型
学习任务二 “杆—球”（管道）模型问题分析
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 “绳—球”(过山车)模型
［模型建构］
对“绳—球”(过山车)模型问题的分析，应注意动力学分析和临界状态分析,相关
结论如下表所示：
“绳—球”模型 _____________________________________________________________________
过最高点的临界 条件
讨论分析
________________________________________________________
取竖直向下为正方向
续表
例1 ［2024·厦门双十中学高一月考］ 如图所示，质量为 的小球用长为
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.取
(1) 小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
[答案]
由牛顿第二定律得
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即不可能取负值，故有
联立解得
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 .
[解析] 在最高点，对小球受力分析如图甲所示
例1 ［2024·厦门双十中学高一月考］ 如图所示，质量为 的小球用长为
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.取
(2) 当小球在最高点的速度为 时，轻绳拉力为多大？
[答案]
[解析] 当时， .
例1 ［2024·厦门双十中学高一月考］ 如图所示，质量为 的小球用长为
的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.取
(3) 若轻绳能承受的最大张力为 ，则小球的速度不能超过多少？
[答案]
[解析] 由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙所示
由牛顿第二定律得
因，解得
即小球的速度不能超过 .
例2 (多选)如图所示,质量为 的小球在竖直平面内固定的光滑
圆轨道上做圆周运动,圆轨道的半径为,重力加速度为 .若小球
经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则此时( )
A.小球对圆轨道的压力等于 B.小球受到的向心力等于
C.小球的线速度等于0 D.小球的向心加速度等于
[解析] 小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则小球与圆轨道间无弹力，
重力刚好提供向心力,即,所以, .故选B、D.
√
√
学习任务二 “杆—球”(管道)模型问题分析
［模型建构］
对“杆—球”(管道)模型问题的分析，应注意动力学分析和临界状态分析,相关结
论如下表所示：
“杆—球”模型 ________________________________________________________________________________
过最高点的临界 条件
讨论分析
续表
___
_____________________________________________________
续表
取竖直向下为正方向
例3 ［2024·莆田二中高一月考］ 如图所示，有一轻质杆长为 ，一端固
定一小球，质量，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动.取
(1) 当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；
[答案]
[解析] 小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心
力有
解得
例3 ［2024·莆田二中高一月考］ 如图所示，有一轻质杆长为 ，一端固
定一小球，质量，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动.取
(2) 当小球运动到最高点速率分别为和 时，求小球对杆的作用力；
[答案] ，方向向下 ，方向向上
[解析] 当小球运动到最高点速率为时，此时小球 受到杆向上的支持力，
根据牛顿第二定律
代入数据解得
根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为 ，方向向下当小球运动到最高点
速率为时，此时小球 受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律
代入数据解得
根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为 ，方向向上
例3 ［2024·莆田二中高一月考］ 如图所示，有一轻质杆长为 ，一端固
定一小球，质量，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动.取
(3) 当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为 ，求小球运动的速率.
[答案]
[解析] 当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为 ，由牛顿第二定律有
代入数据解得
例4 (多选)［2024·泉州高一期末］ 如图所示，小球可以在竖直放置的光滑圆形
管道(圆形管道内径略大于小球直径)内做圆周运动，下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点的速度只要大于零即可完成圆周运动
B.小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C.小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D.小球在水平线 以上管道中运动时处于超重状态
√
√
[解析] 小球在最高点时，外壁和内壁都可以对小球产生弹力作用.当小球的速度等于0时，小球处于受力平衡状态，此时内壁对小球产生竖直向上的弹力，大小为 ，故最小速度为0，所以小球通过最高点的速度只要大于零就可以完成圆周运动，故A正确；当小球通过管道最高点时，如果完全由重力提供向心力，则管道对小球没有弹力，此时，解得
，即当小球到达最高点时的速度大小为
时，小球对管道无压力，故B错误；
当小球到达管道最低点时，对小球受力分析可知，小球受到管道竖直向上的弹力和竖直向下的重力 ，由牛顿第二定律得
，解得 ，根据牛顿
第三定 律可知，小球对管道的压力一定大于自身重力，
故C正确；小球在水平线 以上管道中运动时，加速度
在竖直方向的分量向下，所以小球处于失重状态，故D错误.
1.长均为的两根轻绳一端共同系住质量为 的小球,另一端
分别固定在等高的、两点,、两点间的距离也为 ,重力
加速度大小为.今使小球在竖直平面内以、 连线为轴做圆
周运动,若小球在最高点速率为 时,两根绳的拉力恰好均为零,
则小球在最高点速率为 时,每根绳的拉力大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 小球在最高点速率为 时,两根绳的拉力恰好均为零,有
,当小球在最高点的速率为 时,根据牛顿第二定律
得,解得 ,故A正确.
√
2.(多选)如图所示,质量为的物体内有光滑圆形轨道,现有一质量为 的小滑块
沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动.、点为圆周的最高点和最低点,、 点
是与圆心在同一水平线上的点,重力加速度为 .小滑块运动时,物体在地面上静
止不动,则关于物体对地面的压力 和地面对物体的摩擦力,下列说法正确的是
( )
A.小滑块在点时, ,摩擦力方向向左
B.小滑块在点时, ,摩擦力方向向右
C.小滑块在点时, ,物体与地面无摩擦
D.小滑块在点时, ,摩擦力方向向左
√
√
[解析] 小滑块在 点时,滑块对物体的作用力在竖直方向上,物体在水平方向上不
受力,所以地面对物体没有摩擦力,故A错误.小滑块在 点时,需要的向心力向右,
所以物体对滑块有向右的支持力,对物体受力分析,可知地面对物体有向右的摩擦
力,在竖直方向上,由于没有加速度,物体受力平衡,所以物体对地面的压力 ,
故B正确.小滑块在 点时,滑块所受的合外力向上,所以滑块对物体的压力要大于
滑块的重力,故物体受到滑块的压力大于 ,那么物体对地
面的压力就要大于,故C正确.小滑块在点和 点
的受力类似,故D错误.
3.如图所示是马戏团中上演的飞车节目.在竖直平面内有半径
为 的圆轨道,表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动.已
知人和摩托车的总质量为,重力加速度为,人以
的速度通过轨道最高点,并以的速度通过最低点 ,
则在、 两点时轨道对摩托车的压力大小相差( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知,在点时,有 ,解得,在点时,有,解得 ,所以、两点轨道对车的压力大小相差 ,故选项D正确.
√
4.游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为 的8位同学,如图所示,“摩天轮”在
竖直平面内逆时针匀速转动,若某时刻转到顶点 上的甲同学让一小重物做自由
落体运动,并立即通知下面的同学接住,结果重物掉落时正处在 处(如图所示)的
乙同学恰好在第一次到达最低点处时接到.已知“摩天轮”半径为 ,重力加速度为
,不计人和吊篮的大小及小重物的质量.求:
(1) 接住前小重物下落的时间 ;
[答案]
[解析] 由
解得 .
4.游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为 的8位同学,如图所示,“摩天轮”在
竖直平面内逆时针匀速转动,若某时刻转到顶点 上的甲同学让一小重物做自由
落体运动,并立即通知下面的同学接住,结果重物掉落时正处在 处(如图所示)的
乙同学恰好在第一次到达最低点处时接到.已知“摩天轮”半径为 ,重力加速度为
(2) 人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小 ;
[答案]
,不计人和吊篮的大小及小重物的质量.求:
[解析] 由圆周运动的规律知
由几何关系得
联立解得 .
4.游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为 的8位同学,如图所示,“摩天轮”在
竖直平面内逆时针匀速转动,若某时刻转到顶点 上的甲同学让一小重物做自由
落体运动,并立即通知下面的同学接住,结果重物掉落时正处在 处(如图所示)的
乙同学恰好在第一次到达最低点处时接到.已知“摩天轮”半径为 ,重力加速度为
(3) 乙同学在最低点处对吊篮的压力 .
[答案] ,方向竖直向下
,不计人和吊篮的大小及小重物的质量.求:
[解析] 由牛顿第二定律得
解得
由牛顿第三定律可知,乙同学在最低点处对吊篮的压力
,方向竖直向下.
1.(“绳—球”模型问题)如图所示，长为的轻绳一端系一质量为
的小球，另一端固定于 点，当绳竖直时小球静止.现给小球一
水平初速度 ，使小球在竖直平面内做圆周运动，且刚好能过最
高点，重力加速度为 ，则( )
A.小球过最高点时，速度可能为零 B.小球过最高点时，绳的拉力为
C.开始运动时，绳的拉力为 D.小球过最高点时，速度大小为
[解析] 小球刚好能过最高点，可知，根据牛顿第二定律得 ，解
得 ，故A、B错误，D正确.开始运动时，根据牛顿第二定律得
，解得 ，故C错误.
√
2.(“杆—球”模型问题)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管
道半径为(重力加速度为 ).现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在
弯管里运动，当小球通过最高点时速率为 ，下列说法中错误的是( )
A.若 ，则小球对管内壁无压力
B.若 ，则小球对管内上壁有压力
C.若 ，则小球对管内下壁有压力
D.不论 为多大，小球对管内下壁都有压力
√
[解析] 小球到达管道的最高点时,假设小球恰好与管壁无作用力，则小球仅受重
力,由重力提供向心力,有，解得，选项A正确.若 ,
则小球到达最高点时有离心的趋势，与内上壁接触,从而受到内上壁向下的压力，
所以小球对管内上壁有压力，选项B正确.若 ,则小球到达最高点时
有向心的趋势，与内下壁接触,从而对管内下壁有压力，选项C正确.若 ，
则小球对管内上壁有压力，若 ，则小球对管内
下壁有压力，选项D错误.
3.(绳—球模型问题)(多选)［2024·莆田高一期末］ 如图甲，一质量为 、可视
为质点的小球通过长为的轻绳悬挂在钉子 点，现使小球在最低点获得不同的
水平初速度，在竖直面内做完整的圆周运动.小球经过最低点时轻绳拉力与
的关系如图乙.已知轻绳能承受的最大拉力为，重力加速度取 ，
空气阻力不计.则下列说法正确的是 ( )
A.小球质量m=0.5kg
B.轻绳长度
C. 时小球可在竖直面内做完整的圆周运动
D.球在竖直面内做完整的圆周运动经过最高点的最大速度为
√
√
[解析] 当时，根据牛顿第二定律可得
，当 时，可得
，联立解得，
，故A错误，B正确；由图乙可知拉力最大时，小球的速度为,所以 时小球不能在竖直面内做完整的圆周运动，故C错误；根据图乙可知，当 时，绳子拉力达到最大，对应的速度 ，从最低点到最高点，根据动能定理可得，解得 ，故D正确.
练习册
1.(多选)［2024·宁德高级中学高一月考］ 杂技表演水流星如图所示，一根绳系
着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半
径为，水的质量为，杯子的质量为 ，
绳子质量不计，重力加速度取 ，
则下列说法正确的是( )
知识点一 “绳—球”模型问题分析
A.杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为
B.当杯子到最高点速度为 时，则水对杯子的弹力大小为
，方向竖直向下
C.杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度
增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向
D.杯子在最低点时处于超重状态
√
√
[解析] 杯子运动到最高点时，水刚好不落下，对水则有 ，所以杯子
在最高点时的速度为 ，故A错误；当杯子到最高
点速度为时，对水根据牛顿第二定律有，
解得 ，即杯子对水的弹力为 ，方向竖直向下，根
据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为 ，方向竖直向
上，故B错误；杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周
下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向，故C正确；杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D正确.
2.［2024·河北石家庄高一期末］如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量
为的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度为 .下列说法正确的是( )
A.车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，
没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座位不可能产生大小为 的压力
C.人在最低点时对座位的压力等于
D.人在最低点时对座位的压力大于
√
[解析] 在最高点时，只要速度够大，人就会对座位产生一个向上的作用力，即
使没有安全带，人也不会掉下去，A错误；若在最高点时，人对座位产生压力
为，则，解得，故只要速度 ，人在最高
点时就对座位产生大小为 的压力，B错误；人在最低点时，受到座位的支持
力和重力，两力的合力充当向心力，即 ，
解得 ，故C错误，D正确.
知识点二 “杆—球”模型问题分析
3.如图所示为马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为
的圆轨道，表演者骑摩托车在圆轨道内做圆周运动.已知人和摩
托车的总质量为，以( 为重力加速度)的速度通过轨
道最高点，则此时轨道对车的作用力 为 ( )
A.、方向竖直向下 B. 、方向竖直向上
C.、方向竖直向下 D. 、方向竖直向上
[解析] 人和摩托车通过最高点时，对其受力分析，重力和轨道对其压力的合力
提供向心力，根据牛顿第二定律有，解得 ，方向竖直向
下，故选A.
√
4.［2024·泉州七中高一月考］如图所示，质量为 的小球在竖直放置的内壁光
滑的圆形细管内做半径为的圆周运动，小球过最高点速度为 ，重力加速度为
，小球可视为质点，则下列说法中正确的是( )
A.的最小值为
B.小球通过最高点时一定受到管壁向上的弹力
C.若由 减小，则小球在最高点受到的管壁弹力也减小
D.若由 增大，则小球在最高点受到的管壁弹力也增大
√
[解析] 小球在最高点，由于细管对小球的弹力可以向上，也可以向下，则 的
最小值为零，故A错误.在最高点时，若 ，细管对小球的弹力方向向下，
若，细管对小球的弹力方向向上，故B错误.若由 减小，细管对小
球的弹力方向向上，根据牛顿第二定律得， ，速度减小，弹力变
大，故C错误.若由 增大，细管对小球的弹力方向向下，根据牛顿第二定律
得 ，速度增大，弹力变大，故D正确.
5.［2024·莆田二中高一月考］如图所示，长为 的轻杆一端与小球相连，另一端可绕光滑转轴在竖直面内自由转动.现在最低点使小球获得 的水平速度，使小球开始绕轴做圆周运动，重力加速度取，小球质量为 ，则当小球运动到最高点时，杆对小球的作用力大小为 ( )
A.0 B. C. D.
[解析] 小球从最低点到达最高点，由动能定理有 ,在
最高点对小球受力分析，有,解得 ,故选B.
√
6.(多选)如图所示，轻绳拴着质量为的物体，在竖直平面内做半径为 的圆
周运动，重力加速度为 .下列说法正确的是( )
A.小球过最高点时，绳子拉力可以为零
B.小球过最高点时的最小速度是0
C.若将轻绳 换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作
用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D.若将轻绳 换成轻杆，则小球过最高点时，小球过最高点时
的最小速度是
√
√
[解析] 小球在最高点，向心力由重力和轻绳拉力共同提供，有 ，
当轻绳拉力变小时，小球速度会随之减小，当拉力为零时，小球具有最小速度
为，故A正确；B错误；若将轻绳 换成轻杆，则小球过最高点时，轻
杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反，此时满足
，即小球过最高点的速度为零，故C正确，
D错误.
7.［2024·山西大同一中高一月考］如图所示,半径为 、内径很小的光滑半圆管
竖直放置.两个质量均为的小球、以不同的速度进入管内,重力加速度为,
通过最高点时,对管壁上部的压力为,通过最高点 时,对管壁下部的压力为
,则、两小球通过 点的速度大小之比为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知,球通过最高点时受到竖直向下的重力 和上管壁施加的
竖直向下的弹力,,由圆周运动向心力公式可得 ,解得
,球经过最高点时,受到竖直向下的重力 和下管壁施加的竖直向
上的支持力,,由圆周运动向心力公式可得 ,解得
,所以、两小球通过点的速度大小之比
为 ,故B正确.
8.如图甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一个小球，让小球在竖直平面
内做半径为的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 ，小球
在最高点的速度大小为，其 图像如图乙所示.下列说法错误的是( )
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C. 时，小球对杆的弹力方向向上
D. 时，小球受到的弹力与重力大小相等
√
[解析] 由乙图知，当小球的速度为零时，小球受到的弹力为 ，则小球重
力 ；当弹力为零时，小球的向心力完全由重力提供，对小球有
，代入数据解得，故A项正确.
小球重力 ，质量为，
所以当地重力加速度为，
即B项错误.
当 时，重力不足以提供小球所需的向心力，杆需要对小球提供竖直向下的弹力，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的弹力方向向上，即C项正确. 时，对小球有,将， 和代入方程可以解得 ，即D项正确.
9.(3分)［2024·福清一中高一月考］ 如图所示，长度为的轻杆，
端固定一个质量为的小球，小球以 点为圆心在竖直平面内做圆周运
动.若小球在圆周最高点的速率为，取 ，则在圆周最高点时，小
球所需要的向心力是_____，此时小球受到支持力的大小_____ .
[解析] 在圆周最高点时，小球所需要的向心力为
，设此时小球受到支持力的大小为，根据牛顿第二定律可得 ，解得 .
10.(12分)如图所示，质量为的小球固定在长为 的轻绳一端，
球可绕过点的水平转轴在竖直平面内转动，取 .
(1) (6分)小球在最高点的速度 为多大时，绳对球的拉力为零？
[答案]
[解析] 当小球在最高点，绳对球的拉力为零时，小球只受重力，
有
解得 .
10.(12分)如图所示，质量为的小球固定在长为 的轻绳一端，
球可绕过点的水平转轴在竖直平面内转动，取 .
(2) (6分)当小球在最低点的速度 时，球对绳的拉力为多大？
[答案]
[解析] 当小球在最低点的速度 时，对小球受力分析，由牛顿第二定
律得
解得
根据牛顿第三定律可得，球对绳的拉力为 .
11.(16分)［2024·福州高一期末］ 电动打夯机可以用来平整地面.如图为某小型电
动打夯机的结构示意图，质量为的摆锤通过轻杆与总质量为 的底座(含电动机)
上的转轴相连，电动机通过皮带传动，使摆锤绕转轴在竖直面内以角速度 匀
速转动，转动半径为，重力加速度为 .已知打夯机底座始终没有离开地面.
(1) (8分)求摆锤在最低点和最高点时打夯机
对地面的压力差；
[答案]
[解析] 当摆锤转到顶端时，轻杆对摆锤的作用力大小为 ，有
对打夯机有
当摆锤转到底端时，轻杆对摆锤的作用力大小为，有
对打夯机有
故
联立解得
11.(16分)［2024·福州高一期末］ 电动打夯机可以用来平整地面.如图为某小型电
动打夯机的结构示意图，质量为的摆锤通过轻杆与总质量为 的底座(含电动机)
上的转轴相连，电动机通过皮带传动，使摆锤绕转轴在竖直面内以角速度 匀
速转动，转动半径为，重力加速度为 .已知打夯机底座始终没有离开地面.
(2) (8分)要使第(1)问压力差达到最大，求打夯机
角速度 的值和压力差的最大值.
[答案] ;
[解析] 当底座刚好对地面无压力，打夯机转动的角速度达到最大，有
解得
代入
得
例1 （1） （2） （3）
例2 BD
例3 （1） （2），方向向下 ，方向向上 （3） 例4 AC
随堂巩固
1.D 2.D 3.BD
基础巩固练
1.CD 2.D 3.A 4.D 5.B
综合提升练
6.AC 7.B 8.B 9.
10.（1） （2）
11.（1） （2） 专题课:竖直面内的圆周运动临界问题
1.CD　[解析] 杯子运动到最高点时,水刚好不落下,对水则有mg=m,所以杯子在最高点时的速度为v==2 m/s,故A错误;当杯子到最高点速度为6 m/s时,对水根据牛顿第二定律有N+mg=m,解得N=16 N,即杯子对水的弹力为16 N,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16 N,方向竖直向上,故B错误;杯子在运动过程中做的是变速圆周运动,沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向,故C正确;杯子在最低点时加速度方向竖直向上,此时杯子处于超重状态,故D正确.
2.D　[解析] 在最高点时,只要速度够大,人就会对座位产生一个向上的作用力,即使没有安全带,人也不会掉下去,A错误;若在最高点时,人对座位产生压力为mg,则mg+mg=m,解得v=,故只要速度v=,人在最高点时就对座位产生大小为mg的压力,B错误;人在最低点时,受到座位的支持力和重力,两力的合力充当向心力,即N-mg=m,解得N=m+mg>mg,故C错误,D正确.
3.A　[解析] 人和摩托车通过最高点时,对其受力分析,重力和轨道对其压力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律有F+mg=m,解得F =mg,方向竖直向下,故选A.
4.D　[解析] 小球在最高点,由于细管对小球的弹力可以向上,也可以向下,则v的最小值为零,故A错误.在最高点时,若v>,细管对小球的弹力方向向下,若v<,细管对小球的弹力方向向上,故B错误.若v由减小,细管对小球的弹力方向向上,根据牛顿第二定律得,mg-F=m,速度减小,弹力变大,故C错误.若v由增大,细管对小球的弹力方向向下,根据牛顿第二定律得mg+F=m,速度增大,弹力变大,故D正确.
5.B　[解析] 小球从最低点到达最高点,由动能定理有-mg·2L=mv2-m,在最高点对小球受力分析,有mg+N=m,解得N=2 N,故选B.
6.AC　[解析] 小球在最高点,向心力由重力和轻绳拉力共同提供,有F+mg=m,当轻绳拉力变小时,小球速度会随之减小,当拉力为零时,小球具有最小速度为v=,故A正确;B错误;若将轻绳OA换成轻杆,则小球过最高点时,轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等,方向相反,此时满足F-mg=m=0,即小球过最高点的速度为零,故C正确,D错误.
7.B　[解析] 由题意可知,a球通过最高点A时受到竖直向下的重力mg和上管壁施加的竖直向下的弹力Na,Na=3mg,由圆周运动向心力公式可得mg+Na=m,解得va=2,b球经过最高点A时,受到竖直向下的重力mg和下管壁施加的竖直向上的支持力Nb,Nb=0.75mg,由圆周运动向心力公式可得mg-Nb=m,解得vb=,所以a、b两小球通过A点的速度大小之比为va∶vb=4∶1,故B正确.
8.B　[解析] 由乙图知,当小球的速度为零时,小球受到的弹力为F=a,则小球重力G=a;当弹力为零时,小球的向心力完全由重力提供,对小球有F向=G=,代入数据解得m=,故A项正确.小球重力G=a,质量为m=,所以当地重力加速度为g=,即B项错误.当v2=c>b时,重力不足以提供小球所需的向心力,杆需要对小球提供竖直向下的弹力,根据牛顿第三定律可知,小球对杆的弹力方向向上,即C项正确.v2=2b时,对小球有F向=G+F=,将G=a,m=和v2=2b代入方程可以解得F=G,即D项正确.
9.0.75　2.25
[解析] 在圆周最高点时,小球所需要的向心力为F=m=0.75 N,设此时小球受到支持力的大小为N,根据牛顿第二定律可得mg-N=F,解得N=2.25 N.
10.(1)3 m/s　 (2)10 N
[解析] (1)当小球在最高点,绳对球的拉力为零时,小球只受重力,有mg=m
解得v1==3 m/s.
(2)当小球在最低点的速度v2=6 m/s时,对小球受力分析,由牛顿第二定律得T-mg=m
解得T=mg+m=10 N
根据牛顿第三定律可得,球对绳的拉力为10 N.
11.(1)2mω2R　(2)　2(M+m)g
[解析] (1)当摆锤转到顶端时,轻杆对摆锤的作用力大小为F1,有F1+mg=mω2R
对打夯机有N1+F1=Mg
当摆锤转到底端时,轻杆对摆锤的作用力大小为F2,有F2-mg=mω2R
对打夯机有N2=Mg+F2
故ΔF=N2-N1
联立解得ΔF=2mω2R
(2)当底座刚好对地面无压力,打夯机转动的角速度达到最大,有F=Mg
mg+F=mR
解得ωm=
代入ΔF=2mω2R
得ΔFm=2(M+m)g专题课:竖直面内的圆周运动临界问题
例1　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s
[解析] (1)在最高点,对小球受力分析如图甲所示
由牛顿第二定律得mg+F1=m
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力,即F1不可能取负值,故有F1≥0
联立解得v1≥=2 m/s
所以,小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s.
(2)当v2=4 m/s时,F2=m-mg=15 N.
(3)由分析可知,小球在最低点时轻绳张力最大,对小球受力分析如图乙所示
由牛顿第二定律得F3-mg=m
因F3≤45 N,解得v3≤4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s.
例2　BD　[解析] 小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则小球与圆轨道间无弹力,重力刚好提供向心力,即F=mg=m=ma,所以v=,a=g.故选B、D.
例3　(1) m/s　(2)4 N,方向向下　11 N,方向向上
(3)6 m/s
[解析] (1)小球在最高点时刚好对杆无作用力,此时重力提供向心力有mg=m
解得v= m/s
(2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时,此时小球A受到杆向上的支持力,根据牛顿第二定律mg-F1=m
代入数据解得F1=4 N
根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N,方向向下当小球运动到最高点速率为4 m/s时,此时小球A受到杆向下的拉力,根据牛顿第二定律F2+mg=m
代入数据解得F2=11 N
根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为11 N,方向向上
(3)当小球运动到最低点时,小球受杆的拉力为41 N,由牛顿第二定律有F-mg=m
代入数据解得v4=6 m/s
例4　AC　[解析] 小球在最高点时,外壁和内壁都可以对小球产生弹力作用.当小球的速度等于0时,小球处于受力平衡状态,此时内壁对小球产生竖直向上的弹力,大小为mg,故最小速度为0,所以小球通过最高点的速度只要大于零就可以完成圆周运动,故A正确;当小球通过管道最高点时,如果完全由重力提供向心力,则管道对小球没有弹力,此时mg=m,解得v=,即当小球到达最高点时的速度大小为时,小球对管道无压力,故B错误;当小球到达管道最低点时,对小球受力分析可知,小球受到管道竖直向上的弹力N和竖直向下的重力mg,由牛顿第二定律得N-mg=m,解得N=mg+m>mg,根据牛顿第三定律可知,小球对管道的压力一定大于自身重力,故C正确;小球在水平线ab以上管道中运动时,加速度在竖直方向的分量向下,所以小球处于失重状态,故D错误.
随堂巩固
1.D　[解析] 小球刚好能过最高点,可知T=0,根据牛顿第二定律得mg=m,解得v=,故A、B错误,D正确.开始运动时,根据牛顿第二定律得T-mg=m,解得T=mg+m,故C错误.
2.D　[解析] 小球到达管道的最高点时,假设小球恰好与管壁无作用力,则小球仅受重力,由重力提供向心力,有mg=m,解得v0=,选项A正确.若v0>,则小球到达最高点时有离心的趋势,与内上壁接触,从而受到内上壁向下的压力,所以小球对管内上壁有压力,选项B正确.若0,则小球对管内上壁有压力,若03.BD　[解析] 当T=3 N时,根据牛顿第二定律可得T-mg=,当T'=5 N时,可得T'-mg=,联立解得m=0.05 kg,L=0.2 m,故A错误,B正确;由图乙可知拉力最大时,小球的速度为3 m/s<5 m/s,所以v=5 m/s时小球不能在竖直面内做完整的圆周运动,故C错误;根据图乙可知,当T=5 N时,绳子拉力达到最大,对应的速度vm=3 m/s,从最低点到最高点,根据动能定理可得-2mgL=mv″2-m,解得v″= m/s,故D正确.◆ 知识点一　“绳—球”模型问题分析
1.(多选)[2024·宁德高级中学高一月考] 杂技表演水流星如图所示,一根绳系着盛水的杯子,随着演员的抡动,杯子就在竖直平面做圆周运动,已知轨迹半径为r=0.4 m,水的质量为200 g,杯子的质量为50 g,绳子质量不计,重力加速度g取10 m/s2,则下列说法正确的是 (　)
A.杯子运动到最高点时,水刚好不落下,则最高点速度为4 m/s
B.当杯子到最高点速度为6 m/s时,则水对杯子的弹力大小为16 N,方向竖直向下
C.杯子在运动过程中做的是变速圆周运动,沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向
D.杯子在最低点时处于超重状态
2.[2024·河北石家庄高一期末] 如图所示,乘坐游乐园的翻滚过山车时,质量为m的人随车在竖直平面内旋转,重力加速度为g.下列说法正确的是(　)
A.车在最高点时人处于倒坐状态,全靠保险带拉住,没有保险带,人就会掉下来
B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
◆ 知识点二　“杆—球”模型问题分析
3.如图所示为马戏团中上演的飞车节目,在竖直平面内有半径为R的圆轨道,表演者骑摩托车在圆轨道内做圆周运动.已知人和摩托车的总质量为m,以v=(g为重力加速度)的速度通过轨道最高点,则此时轨道对车的作用力F为　　 (　)
A.mg、方向竖直向下
B.mg、方向竖直向上
C.3mg、方向竖直向下
D.3mg、方向竖直向上
4.[2024·泉州七中高一月考] 如图所示,质量为m的小球在竖直放置的内壁光滑的圆形细管内做半径为R的圆周运动,小球过最高点速度为v,重力加速度为g,小球可视为质点,则下列说法中正确的是 (　)
A.v的最小值为v=
B.小球通过最高点时一定受到管壁向上的弹力
C.若v由减小,则小球在最高点受到的管壁弹力也减小
D.若v由增大,则小球在最高点受到的管壁弹力也增大
5.[2024·莆田二中高一月考] 如图所示,长为L=0.3 m的轻杆一端与小球相连,另一端可绕光滑转轴在竖直面内自由转动.现在最低点使小球获得v0= m/s的水平速度,使小球开始绕轴做圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,小球质量为0.1 kg,则当小球运动到最高点时,杆对小球的作用力大小为　　 (　)
A.0 　　　B.2 N
C.0.5 N 　　　D. N
6.(多选)如图所示,轻绳OA拴着质量为m的物体,在竖直平面内做半径为R的圆周运动,重力加速度为g.下列说法正确的是 (　)
A.小球过最高点时,绳子拉力可以为零
B.小球过最高点时的最小速度是0
C.若将轻绳OA换成轻杆,则小球过最高点时,轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等,方向相反
D.若将轻绳OA换成轻杆,则小球过最高点时,小球过最高点时的最小速度是
7.[2024·山西大同一中高一月考] 如图所示,半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置.两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内,重力加速度为g,a通过最高点A时,对管壁上部的压力为3mg,b通过最高点A时,对管壁下部的压力为0.75mg,则a、b两小球通过A点的速度大小之比为 (　)
A. 1∶4 B. 4∶1
C. 1∶16 D. 16∶1
8.如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一个小球,让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,其F v2图像如图乙所示.下列说法错误的是 (　)
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向上
D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等
9.(3分)[2024·福清一中高一月考] 如图所示,长度为L=0.4 m的轻杆OA,A端固定一个质量为m=0.3 kg的小球,小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动.若小球在圆周最高点的速率为1 m/s,g取10 m/s2,则在圆周最高点时,小球所需要的向心力是　　　　 N,此时小球受到支持力的大小　　　　 N.
10.(12分)如图所示,质量为m=0.2 kg的小球固定在长为L=0.9 m的轻绳一端,球可绕过O点的水平转轴在竖直平面内转动,g取10 m/s2.
(1)(6分)小球在最高点的速度v1为多大时,绳对球的拉力为零
(2)(6分)当小球在最低点的速度v2=6 m/s时,球对绳的拉力为多大
11.(16分)[2024·福州高一期末] 电动打夯机可以用来平整地面.如图为某小型电动打夯机的结构示意图,质量为m的摆锤通过轻杆与总质量为M的底座(含电动机)上的转轴相连,电动机通过皮带传动,使摆锤绕转轴O在竖直面内以角速度ω匀速转动,转动半径为R,重力加速度为g.已知打夯机底座始终没有离开地面.
(1)(8分)求摆锤在最低点和最高点时打夯机对地面的压力差;
(2)(8分)要使第(1)问压力差达到最大,求打夯机角速度ω的值和压力差的最大值.
专题课:水平面内的圆周运动临界问题 (时间:40分钟　总分:68分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)专题课:竖直面内的圆周运动临界问题
学习任务一　“绳—球”(过山车)模型
[模型建构] 对“绳—球”(过山车)模型问题的分析,应注意动力学分析和临界状态分析,相关结论如下表所示:
“绳—球” 模型
过最高点的 临界条件 由mg=m得v临=
讨论分析 (1)能过最高点时,v≥,N+mg=m,绳、轨道对球产生弹力N; (2)不能过最高点时,v<,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
在最高点的 N v2图线 取竖直向下为正方向
例1 [2024·厦门双十中学高一月考] 如图所示,质量为0.5 kg的小球用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.(g取10 m/s2)
(1)小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为多大
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳拉力为多大
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N,则小球的速度不能超过多少
例2 (多选)如图所示,质量为m的小球在竖直平面内固定的光滑圆轨道上做圆周运动,圆轨道的半径为R,重力加速度为g.若小球经过圆轨道最高点时刚好不脱离圆轨道,则此时 (　)
A.小球对圆轨道的压力等于mg
B.小球受到的向心力等于mg
C.小球的线速度等于0
D.小球的向心加速度等于g
[反思感悟]
学习任务二　“杆—球”(管道)模型问题分析
[模型建构] 对“杆—球”(管道)模型问题的分析,应注意动力学分析和临界状态分析,相关结论如下表所示:
“杆—球” 模型
过最高点的 临界条件 v临=0
讨论分析 (1)当v=0时,N=mg,N为支持力,沿半径背离圆心; (2)当0时,mg+N=m,N指向圆心,随v的增大而增大
在最高点的 N v2图线 取竖直向下为正方向
例3 [2024·莆田二中高一月考] 如图所示,有一轻质杆长L为0.5 m,一端固定一小球,质量m=0.5 kg,杆绕另一端在竖直面内做圆周运动.(g取10 m/s2)
(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力,求此时的速度大小;
(2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时,求小球对杆的作用力;
(3)当小球运动到最低点时,小球受杆的拉力为41 N,求小球运动的速率.
例4 (多选)[2024·泉州高一期末] 如图所示,小球可以在竖直放置的光滑圆形管道(圆形管道内径略大于小球直径)内做圆周运动,下列说法正确的是 (　)
A.小球通过最高点的速度只要大于零即可完成圆周运动
B.小球通过管道最高点时对管道一定有压力
C.小球通过管道最低点时对管道的压力一定大于自身重力
D.小球在水平线ab以上管道中运动时处于超重状态
[反思感悟]
1.(“绳—球”模型问题)如图所示,长为L的轻绳一端系一质量为m的小球A,另一端固定于O点,当绳竖直时小球静止.现给小球一水平初速度v0,使小球在竖直平面内做圆周运动,且刚好能过最高点,重力加速度为g,则 (　)
A.小球过最高点时,速度可能为零
B.小球过最高点时,绳的拉力为mg
C.开始运动时,绳的拉力为m
D.小球过最高点时,速度大小为
2.(“杆—球”模型问题)如图所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R(重力加速度为g).现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,当小球通过最高点时速率为v0,下列说法中错误的是 (　)
A.若v0=,则小球对管内壁无压力
B.若v0>,则小球对管内上壁有压力
C.若0D.不论v0为多大,小球对管内下壁都有压力
3.(绳—球模型问题)(多选)[2024·莆田高一期末] 如图甲,一质量为m、可视为质点的小球通过长为L的轻绳悬挂在钉子O点,现使小球在最低点获得不同的水平初速度v,在竖直面内做完整的圆周运动.小球经过最低点时轻绳拉力T与v2的关系如图乙.已知轻绳能承受的最大拉力为5.0 N,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计.则下列说法正确的是 (　 )
A.小球质量m=0.5 kg
B.轻绳长度L=0.2 m
C.v=5 m/s时小球可在竖直面内做完整的圆周运动
D.球在竖直面内做完整的圆周运动经过最高点的最大速度为 m/s

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