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(共59张PPT)
专题课：水平面内的圆周运动临界问题
学习任务一 与摩擦力有关的临界问题
学习任务二 与弹力有关的临界问题
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
［科学思维］
物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力
(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变,
即出现临界状态.
(1)水平面内的圆周运动常见的临界问题:
①物体恰好(没有)发生相对滑动,静摩擦力达到最大值.
②物体恰好要离开接触面,物体与接触面之间的弹力为0.
③绳子恰好断裂,绳子的张力达到最大承受值.
④物体所受支持力为0或绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0.
(2)解题关键：
①在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运
动过程中存在临界点.
②分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程.
学习任务一 与摩擦力有关的临界问题
［模型探究］
(1) 特点:向心加速度沿______方向,重力不能提供向心力.
水平
(2) 动力学分析:静摩擦力沿______方向,提供向心力,根据牛顿第二定律得
,当______时,得 ,可见物体是否相对转台滑动,
与质量无关.
半径
(3) 运动状态分析:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度 变化时,物体有
______或______圆心运动的(半径有变化)趋势.若角速度突然变大,物体做圆周运
动所需要的向心力也会变大,物体就会有______趋势;若角速度突然变小,物体则
会有______趋势.
远离
靠近
离心
近心
例1 (多选)［2024·三门中学高一月考］ 如图所示,用同样材料做成的、、
三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动.已知三物体质量
间的关系是,转动半径之间的关系是 ,那么以下说
法中正确的是( )
A.物体 受到的摩擦力最大
B.物体 受到的摩擦力最小
C.物体 受到的摩擦力最大
D.转台转速加快时,物体 最先开始滑动
√
√
[解析] 、、 三物体绕同一中心轴转动,角速度相等,静摩擦力充当向心力,设
,,由向心力公式可知 ,
,,故物体受到的摩擦力最大,物体 受到的摩擦力最小,故A
错误,B、C正确;转台转速加快时,恰好发生相对滑动时有 ,解得
,故、同时滑动, 最后滑动,D错误.
例2 ［2024·泉州高一期中］ 如图所示，倾角 的斜面固定在可以绕竖
直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴上.将质量为 的小物块
(可视为质点)放置于斜面的顶端，斜面底面长为 ，小物块始终和斜面相对静止；
(1) 当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度
为多少？
[答案]
已知小物块与斜面之间动摩擦因数为 ，重力加速
度为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
[解析] 当小物块不受摩擦力时
解得
例2 ［2024·泉州高一期中］ 如图所示，倾角 的斜面固定在可以绕竖
直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴上.将质量为 的小物块
(可视为质点)放置于斜面的顶端，斜面底面长为 ，小物块始终和斜面相对静止；
(2) 要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台的
角速度 取值范围是多少？
[答案]
已知小物块与斜面之间动摩擦因数为 ，重力加速
度为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
[解析] 当小物块刚要沿斜面下滑时，受力分析如图甲所示
水平方向上有
竖直方向上有
解得
当小物块刚要沿斜面上滑时，受力分析如图乙所示
水平方向上有
竖直方向上有
解得
则要使小物块不下滑，水平转台的角速度取值范围为
学习任务二 与弹力有关的临界问题
例3 (多选)［2024·南充一中高一期中］ 质量为的小球由轻绳和 分别系于一
轻质细杆的点和点，如图所示，若两绳均伸直，绳水平且长为，绳 与水
平方向成 角.当轻杆绕竖直轴以角速度 匀速转动时，小球在水平面内做
匀速圆周运动，下列说法正确的是重力加速度为 ( )
A. 绳的张力不可能为零
B.绳的张力随角速度 的增大而增大
C.当角速度时， 绳中有弹力
D.若绳突然被剪断，则 绳的张力一定发生变化
√
√
[解析] 小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提
供向心力，所以绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知 绳的张力不可能为
零，故A正确；根据竖直方向上受力平衡得，解得 ，可知绳的拉力不变，故B错误；当 绳拉力为零时，有，解得 ，可知当角速度时，绳中有弹力，
故C正确；由于 绳可能没有弹力，故绳突然被剪断，
绳的张力可能不变，故D错误.
例4 ［2024·罗平二中高一期中］ 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌
面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 ，一条长度为 的绳
(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为 的小球
(可看成质点)，小球以角速度 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，
重力加速度为 .求：
(1) 小球静止时所受拉力和支持力大小；
[答案]
[解析] 对小球受力分析可知
例4 ［2024·罗平二中高一期中］ 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌
面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 ，一条长度为 的绳
(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为 的小球
(可看成质点)，小球以角速度 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，
重力加速度为 .求：
(2) 小球刚要离开锥面时的角速度；
[答案]
[解析] 小球刚要离开锥面时 ，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛
顿第二定律，有
解得
例4 ［2024·罗平二中高一期中］ 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌
面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 ，一条长度为 的绳
(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点处，另一端拴着一个质量为 的小球
(可看成质点)，小球以角速度 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，
重力加速度为 .求：
(3) 小球以 的角速度转动时所受拉力和支持力的大小.
[答案]
[解析] 因为
说明小球已离开锥面，
设绳与竖直方向的夹角为 ，如图所示
则有
解得
1.如图所示,半径为 的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台
上,转台转轴与过陶罐球心的对称轴 重合.转台静止不转动时,将一质量为
、可视为质点的小物块放入陶罐内,小物块恰能静止于陶罐内壁的 点,
且点与陶罐球心的连线与对称轴成 角.重力加速度取 ,
, ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则:
(1) 物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少
[答案] 0.75
[解析] 由平衡条件得
解得
1.如图所示,半径为 的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台
上,转台转轴与过陶罐球心的对称轴 重合.转台静止不转动时,将一质量为
、可视为质点的小物块放入陶罐内,小物块恰能静止于陶罐内壁的 点,
且点与陶罐球心的连线与对称轴成 角.重力加速度取 ,
, ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则:
(2) 当转台绕转轴匀速转动时,若物块在陶罐中的 点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0,则转台转动的角速度为多少
[答案]
[解析] 根据
圆周运动半径
得
1.如图所示,半径为 的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台
上,转台转轴与过陶罐球心的对称轴 重合.转台静止不转动时,将一质量为
、可视为质点的小物块放入陶罐内,小物块恰能静止于陶罐内壁的 点,
且点与陶罐球心的连线与对称轴成 角.重力加速度取 ,
, ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则:
(3) 若转台转动的角速度为 ,物块仍在陶罐中的 点随陶罐一起转动,则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少
[答案] ;
[解析] 当转台的角速度为 时,物块有向外滑的趋势,摩擦力向内,则有
,
解得,
1.(与摩擦力有关的临界问题)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的、 两
物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.、 都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.运动所需的向心力大于 运动所需的向心力
C.盘对的摩擦力是对 的摩擦力的2倍
D.若相对圆盘先滑动，则、间的动摩擦因数 小于盘
与间的动摩擦因数
√
[解析] 把、 当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以摩擦力提供
向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物
块做匀速圆周运动，向心力，、 质量相同，一起做匀速圆周运动的
角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分
析可知对的摩擦力等于，盘对的摩擦力等于，故C正确；若 相对圆盘
先滑动，则，即 ，故D错误.
2.(与弹力有关的临界问题) 如图所示，底面半径为 的平底漏斗水平放置，质量
为的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为 ，重力
加速度为.现给小球一垂直于半径向里的某一初速度 ，使之在漏斗底面内做
圆周运动，则( )
A.小球一定受到两个力的作用
B.小球可能受到三个力的作用
C.当 时，小球对底面的压力为零
D.当 时，小球对侧壁的压力为零
√
[解析] 对小球，由牛顿第二定律，有 ， ，
可知侧壁对小球的支持力不可能为零，底面对小球的支持力 可能为零，所
以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用，由牛顿第三定律可
知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，
B正确；当 时，，
由牛顿第三定律可知，当 时，小球
对底面的压力不为零，故C错误.
3.(与摩擦力有关的临界问题)［2024·厦门一中高一月考］ 如图所示,水平转盘上
放有质量为的物块,物块到转轴的距离为 ,物块和转轴用细绳相连,物块和转盘
间的动摩擦因数为 ,设物块受到的最大静摩擦力等于
滑动摩擦力,已知重力加速度为 .
(1) 当转盘的角速度时,求细绳的拉力 的大小;
[答案] 0
[解析] 由题意可知,当物块刚好只有最大静摩擦力提供向心力时,有,,当角速度 时,静摩擦力提供向心力,细绳对物块的拉力为0,即 .
3.(与摩擦力有关的临界问题)［2024·厦门一中高一月考］ 如图所示,水平转盘上
放有质量为的物块,物块到转轴的距离为 ,物块和转轴用细绳相连,物块和转盘
间的动摩擦因数为 ,设物块受到的最大静摩擦力等于
滑动摩擦力,已知重力加速度为 .
(2) 当转盘的角速度时,求细绳的拉力 的大小.
[答案]
[解析] 由题意可知, ,拉力和最大静摩擦力一起提供向心力,根据牛顿第二定律得 ,得 .
练习册
1.［2024·南通高一期末］一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，
角速度恒定，则( )
A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B.杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C.杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D.若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动
√
[解析] 杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，
故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，
故B正确；杯子做匀速圆周运动，则有 ，离转盘中心越近，所需摩擦
力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据
可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误.
2.细绳一端系住一个质量为 的小球(可视为质点)，另一端
固定在光滑水平桌面上方高度处，绳长大于 ，使小球在
桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为 .若要
小球不离开桌面，其转速不得超过( )
A. B. C. D.
[解析] 对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力、水平桌面支持力 、
绳子拉力.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为 ，由几何关
系可知 ，受力分析可知 ，
，当球即将离开水平桌面时，
，转速有最大值，此时 ，故选D.
√
3.［2024·鲁迅中学高一月考］一圆盘可绕竖直轴在水平面内运动,、 两物体
(可看作质点)质量分别为和,两物体所受的最大静摩擦力均为正压力的 倍,两
物体用一根长为的轻绳相连,轻绳能承受的拉力足够大, 放在圆盘中心轴处,轻
绳刚好被拉直,重力加速度为 .现让圆盘缓慢转动,要使两物体与圆盘均不发生相
对滑动,则圆盘转动的角速度不能超过( )
A. B.
C. D.
[解析] 当绳子的拉力等于 的最大静摩擦力时,角速度达到最大且不发生相对滑
动,有,,得 ,故选D.
√
4.如图所示,水平圆盘上放置一物体,用一轻质弹簧将该物体和圆盘中心 固连,
此时弹簧处于拉伸状态,圆盘能绕通过其中心的竖直轴自由转动.现让圆盘从静止
开始缓慢加速转动,直到与圆盘发生相对滑动,则在此过程中 与圆盘间的摩擦
力( )
A.先增大后减小 B.先减小后增大 C.一直增大 D.一直减小
[解析] 由合力提供向心力得,由于弹力 不变,角速度增大,则摩擦
力先减小直到为0,之后角速度继续增大,则摩擦力反向增大,故B正确.
√
5.(多选)［2024·莆田一中高一期中］ 如图所示，光滑的圆锥体固定在水平地面
上，其轴线沿竖直方向，在圆锥体顶用长 的细线悬挂一质量为
小球(可视为质点)，小球静止时细线与圆锥表面平行且细线与轴线的
夹角 .现使圆锥体绕其轴线缓慢加速转动，小球也随圆锥体一起做角速
度缓慢增大的圆周运动(不同时间内均可视为匀速圆周运动).重力加速度 取
，， ，下列说法正确的是( )
A.当小球的角速度大小为 时，其恰要离开锥面
B.当小球的角速度大小为 时，其恰要离开锥面
C.当小球的角速度大小为时，细线上的拉力大小为
D.当小球的角速度大小为时，细线上的拉力大小为
√
√
[解析] 小球即将离开圆锥体表面时，以小球为研究对象，根据牛顿第二定律可
得 ，解得角速度大小为 ，故A正确，
B错误；当小球的角速度大小为时，由于 ，可知小球未离
开圆锥体表面，以小球为研究对象，竖直方向根据受力平衡可得
，水平方向根据牛顿第二定律可得
，联立解得细线上的拉力大小为
，故C正确，D错误.
6.［2024·河北石家庄二中高一月考］如图所示,一茶杯(视为质点)放在水平餐桌
的转盘上,茶杯到转轴的距离为,转盘以周期 匀速转动时,茶杯与转盘保持相对
静止.茶杯与转盘间的动摩擦因数为 ,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力
加速度为 ,下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B.若减少茶杯中的水量,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
C.若减小转盘的转动周期,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
D.若转盘减速转动,则茶杯受到的摩擦力方向始终指向转轴
√
[解析] 根据牛顿第二定律得,解得 ,
动摩擦因数 的最小值为 ,故A错误;若减少茶杯中的
水量,以相同的周期匀速转动转盘,上述等式仍然成立,茶杯不能发生相对滑动,故B错误;根据 ,若减小转盘的转动周期 ,茶杯所受的静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时,茶杯与转盘发生相对滑动,故C正确;若转盘减速转动,茶杯与转盘仍保持相对静止,茶杯受到的摩擦力的方向不指向转轴,摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向,摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小,故D错误.
7.(多选)［2024·泉州高一期中］ 如图所示，在水平转台上放一个质量
的木块，它与转台间的最大静摩擦力 ，绳的一端系着木块，通过转
台的中心孔(孔光滑)，另一端悬挂一个质量 的物体，当转台以角速
度匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到点的距离可以是
取，木块和物体均可看成质点 ( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 木块所受的摩擦力和绳子对木块的拉力的合力提供木块做匀速圆周运动
的向心力，根据向心力公式得，解得 ，当
时，最大，，当时， 最小，
则 ，故B、C正确，A、D错误．
8.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点的上方高处 点固定细绳的一端,细绳的另一端拴接一质量为 的小球,绳长,重力加速度为 ,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动.当转动的角速度
逐渐增大时,下列说法正确的是( )
A.小球始终受三个力的作用
B.细绳上的拉力始终保持不变
C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为
D.若小球离开了水平面,则角速度为
√
[解析] 当转动的角速度 逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项A错
误;小球在水平面内做匀速圆周运动时, 细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面
对小球的支持力的合力大小等于小球的重力,细绳的拉力在水平方向的分力提供
小球运动的向心力,当转动的角速度 逐渐增大时,所需向心力逐渐增大,细绳的
拉力逐渐增大,而当小球离开水平面后, 角速度增大时,绳子
与竖直方向的夹角变大,拉力变大,选项B错误;要使小球刚好
不离开水平面,则有,其中 ,
,联立解得 ,选项C正确; 若小球离开了水
平面,则角速度大于 ,选项D错误.
9.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定转
轴以恒定角速度 匀速转动，盘面上离转轴 处有一
小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止，设最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面间的夹角为
，取 ，则( )
A.若 越大，则小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
B.小物体受到的摩擦力不可能背离圆心
C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则 的最大值是
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则 的最大值是
√
[解析] 小物体在最高点时，由牛顿第二定律得 ，解得
，当时 ，当
时，，即摩擦力方向背离圆心， 越大，则小物体受到的
摩擦力越小，当时， ，即摩擦力
方向指向圆心， 越大，则小物体受到的摩擦力
越大，故A、B错误；
小物体在最低点摩擦力达到滑动摩擦力时，此时圆盘转动的角速度最大，由牛顿第二定律得，将，代入上式得，最大角速度 ，故C正确，D错误.
10.(12分)［2024·仙游华侨中学高一月考］ 如图所示，两绳系一质量为
的小球，绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为 与
，取 .
(1) (6分)球的角速度 在什么范围内，两绳始终张紧？
[答案]
[解析] 当绳拉直但没有力时，即恰为零时，由重力和绳的拉力 的合力
提供向心力，根据牛顿第二定律，有
解得
同理，当 恰为零时，根据牛顿第二定律，有
解得
所以当 时两绳均张紧.
10.(12分)［2024·仙游华侨中学高一月考］ 如图所示，两绳系一质量为
的小球，绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为 与
，取 .
(2) (6分)当角速度为 时，上、下两绳拉力分别为多大？
[答案] ;
[解析] 当时，两绳均处于张紧状态，此时小球受、、 三
力作用，正交分解后可得，水平方向与竖直方向分别有
代入数据后解得
11.(16分)［2024·浙江杭州高一期中］ 如图所示，半径为 的半球形陶罐，固定
在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴 重合.
转台以某一角速度匀速转动，一质量为 的小物块落入陶罐内，经过一段时间
后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且它和点的连线与 之间的夹角
为 ，重力加速度为 .
(1) (5分)若此时陶罐对小物块摩擦力恰好为零，
求陶罐对小物块的支持力大小；
[答案]
11.(16分)［2024·浙江杭州高一期中］ 如图所示，半径为 的半球形陶罐，固定
在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴 重合.
转台以某一角速度匀速转动，一质量为 的小物块落入陶罐内，经过一段时间
后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且它和点的连线与 之间的夹角
为 ，重力加速度为 .
(2) (5分)若此时陶罐对小物块摩擦力恰好为零，
求小物块的线速度大小；
[答案]
[解析] (1)(2)当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有
解得，
11.(16分)［2024·浙江杭州高一期中］ 如图所示，半径为 的半球形陶罐，固定
在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴 重合.
转台以某一角速度匀速转动，一质量为 的小物块落入陶罐内，经过一段时间
后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，且它和点的连线与 之间的夹角
为 ，重力加速度为 .
(3) (6分)若已知小物块与陶罐间的动摩擦因数 ，
半径 ，小物块能一直相对陶罐静止(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，取 ，求转台转动的角速度 的范围.
[解析] 重力和支持力的合力不够提供向心力，当物块刚好不上滑时，最大静摩
擦力沿切线向下，设此最大角速度为 ，受力如图所示
水平方向有
竖直方向有
且
代入数据解得
[答案]
当物块刚好不下滑时，最大静摩擦力沿切线向上，此时水平方向有
竖直方向有
且
代入数据解得
则转台转动的角速度范围为
［模型探究］ （1）水平 （2）半径 （3）远离 靠近
离心 近心 例1 BC 例2 （1） （2）
例3 AC 例4 （1） （2） （3）
随堂巩固
1.C 2.B 3.（1）0 （2）
基础巩固练
1.B 2.D 3.D 4.B 5.AC
综合提升练
6.C 7.BC 8.C 9.C
10.（1） （2）
11.（1） （2） （3）专题课:水平面内的圆周运动临界问题
1.B　[解析] 杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力,向心力不是物体的实际受力,故A错误;杯子做匀速圆周运动,向心力由摩擦力提供,始终指向转盘中心,故B正确;杯子做匀速圆周运动,则有f=mω2r,离转盘中心越近,所需摩擦力越小,越不容易达到最大静摩擦力,越不容易做离心运动,故C错误;根据f=mω2r≤μmg可知,给杯子中加水,杯子不会更容易做离心运动,故D错误.
2.D　[解析] 对小球受力分析,小球受三个力的作用,重力mg、水平桌面支持力N、绳子拉力F.小球所受合力提供向心力,设绳子与竖直方向夹角为θ,由几何关系可知R=htan θ,受力分析可知Fcos θ+N=mg,Fsin θ=mω2R=4mπ2n2R=4mπ2n2htan θ,当球即将离开水平桌面时,N=0,转速n有最大值,此时nm=,故选D.
3.D　[解析] 当绳子的拉力等于A的最大静摩擦力时,角速度达到最大且不发生相对滑动,有T+kmg=mω2L,T=kMg,得ω=,故选D.
4.B　[解析] 由合力提供向心力得F-f=mω2r,由于弹力F不变,角速度增大,则摩擦力先减小直到为0,之后角速度继续增大,则摩擦力反向增大,故B正确.
5.AC　[解析] 小球即将离开圆锥体表面时,以小球为研究对象,根据牛顿第二定律可得mgtan θ=mω2Lsin θ,解得角速度大小为ω==5 rad/s,故A正确,B错误;当小球的角速度大小为ω'= rad/s时,由于ω'<ω,可知小球未离开圆锥体表面,以小球为研究对象,竖直方向根据受力平衡可得F1cos θ+Nsin θ=mg,水平方向根据牛顿第二定律可得F1sin θ-Ncos θ=mω'2Lsin θ,联立解得细线上的拉力大小为F1=5.1 N,故C正确,D错误.
6.C　[解析] 根据牛顿第二定律得μmg=mr,解得μ= ,动摩擦因数μ的最小值为,故A错误;若减少茶杯中的水量,以相同的周期匀速转动转盘,上述等式仍然成立,茶杯不能发生相对滑动,故B错误;根据f=mr,若减小转盘的转动周期T,茶杯所受的静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时,茶杯与转盘发生相对滑动,故C正确;若转盘减速转动,茶杯与转盘仍保持相对静止,茶杯受到的摩擦力的方向不指向转轴,摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向,摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小,故D错误.
7.BC　[解析] 木块所受的摩擦力和绳子对木块的拉力的合力提供木块做匀速圆周运动的向心力,根据向心力公式得mg+f=Mω2r,解得r=,当f=Fmax=6.0 N时,r最大,rmax= m=0.32 m,当f=-6.0 N时,r最小,则rmin= m=0.08 m,故B、C正确,A、D错误.
8.C　[解析] 当转动的角速度ω逐渐增大时,小球可能只受重力和细绳的拉力,选项A错误;小球在水平面内做匀速圆周运动时,细绳的拉力在竖直方向的分力与水平面对小球的支持力的合力大小等于小球的重力,细绳的拉力在水平方向的分力提供小球运动的向心力,当转动的角速度ω逐渐增大时,所需向心力逐渐增大,细绳的拉力逐渐增大,而当小球离开水平面后,角速度增大时,绳子与竖直方向的夹角变大,拉力变大,选项B错误;要使小球刚好不离开水平面,则有mgtan θ=mω2r,其中tan θ=,r=,联立解得ω=,选项C正确;若小球离开了水平面,则角速度大于,选项D错误.
9.C　[解析] 小物体在最高点时,由牛顿第二定律得mgsin 30°+f=mω2r,解得ω=,当f=0时ω== rad/s= rad/s,当ω< rad/s时,f<0,即摩擦力方向背离圆心,ω越大,则小物体受到的摩擦力越小,当ω> rad/s时,f>0,即摩擦力方向指向圆心,ω越大,则小物体受到的摩擦力越大,故A、B错误;小物体在最低点摩擦力达到滑动摩擦力时,此时圆盘转动的角速度最大,由牛顿第二定律得μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2r,将μ=,r=2 m代入上式得,最大角速度ω= rad/s,故C正确,D错误.
10.(1)2.4 rad/s<ω<3.16 rad/s　(2)0.27 N　1.09 N
[解析] (1)当AC绳拉直但没有力时,即T1恰为零时,由重力和绳BC的拉力T2的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,有mgtan 45°=mr
r=Lsin 30°
解得ωmax=3.16 rad/s
同理,当T2恰为零时,根据牛顿第二定律,有
mgtan 30°=mr
解得ωmin=2.4 rad/s
所以当2.4 rad/s<ω<3.16 rad/s时两绳均张紧.
(2)当ω=3 rad/s时,两绳均处于张紧状态,此时小球受TAC、TBC、mg三力作用,正交分解后可得,水平方向与竖直方向分别有TACsin 30°+TBCsin 45°=mω2lsin 30°
TACcos 30°+TBCcos 45°=mg
代入数据后解得TAC≈0.27 N
TBC≈1.09 N
11.(1)2mg　(2)　(3) rad/s≤ω≤ rad/s
[解析] (1)(2)当摩擦力为零,支持力和重力的合力提供向心力,有Ncos 60°=mg
Nsin 60°=m
解得N=2mg,v=
(3)重力和支持力的合力不够提供向心力,当物块刚好不上滑时,最大静摩擦力沿切线向下,设此最大角速度为ω1,受力如图所示
水平方向有fcos 60°+Nsin 60°=mRsin 60°
竖直方向有Ncos 60°-fsin 60°=mg
且f=μN
代入数据解得ω1= rad/s
当物块刚好不下滑时,最大静摩擦力沿切线向上,此时水平方向有N'sin 60°-f'cos 60°=mRsin 60°
竖直方向有N'cos 60°+f'sin 60°=mg
且f'=μN'
代入数据解得ω2= rad/s
则转台转动的角速度范围为 rad/s≤ω≤ rad/s专题课:水平面内的圆周运动临界问题
[模型探究] (1)水平　(2)半径　μmg　(3)远离　靠近　离心　近心
例1　BC　[解析] A、B、C三物体绕同一中心轴转动,角速度相等,静摩擦力充当向心力,设mA=2mB=3mC=m,rC=rA=2rB=r,由向心力公式可知FA=mrω2,FB=,FC=,故物体A受到的摩擦力最大,物体B受到的摩擦力最小,故A错误,B、C正确;转台转速加快时,恰好发生相对滑动时有μmg=mrω2,解得ω=,故A、C同时滑动,B最后滑动,D错误.
例2　(1)　(2)≤ω≤
[解析] (1)当小物块不受摩擦力时mgtan 30°=mL
解得ω0=
(2)当小物块刚要沿斜面下滑时,受力分析如图甲所示
水平方向上有Nsin 30°-μNcos 30°=mL
竖直方向上有Ncos 30°+μNsin 30°=mg
解得ω1=
当小物块刚要沿斜面上滑时,受力分析如图乙所示
水平方向上有Nsin 30°+μNcos 30°=mL
竖直方向上有Ncos 30°=μNsin 30°+mg
解得ω2=
则要使小物块不下滑,水平转台的角速度取值范围为
≤ω≤
例3　AC　[解析] 小球做匀速圆周运动,在竖直方向上的合力为零,水平方向上的合力提供向心力,所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等,可知a绳的张力不可能为零,故A正确;根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ=mg,解得Fa=,可知a绳的拉力不变,故B错误;当b绳拉力为零时,有=mlω2,解得ω=,可知当角速度ω>时,b绳中有弹力,故C正确;由于b绳可能没有弹力,故b绳突然被剪断,a绳的张力可能不变,故D错误.
例4　(1)mg　 mg　(2)　(3)3mg　0
[解析] (1)对小球受力分析可知
T=mgcos θ=mg
N=mgsin θ=mg
(2)小球刚要离开锥面时N=0,由重力和拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,有
mgtan θ=mr
r=Lsin θ
解得ω0==
(3)因为ω1=>ω0=
说明小球已离开锥面,N=0
设绳与竖直方向的夹角为α,如图所示
则有T1sin α=mL sin α
解得T1=3mg
随堂巩固
1.C　[解析] 把A、B当成一个整体,在水平方向上只受摩擦力作用,所以摩擦力提供向心力,摩擦力方向指向圆心,物块有沿径向向外滑动的趋势,故A错误;物块做匀速圆周运动,向心力F=m,A、B质量相同,一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等,所以两者运动所需的向心力相等,故B错误;由受力分析可知B对A的摩擦力等于F,盘对B的摩擦力等于2F,故C正确;若B相对圆盘先滑动,则2μBmg-μAmg<μAmg,即μB<μA,故D错误.
2.B　[解析] 对小球,由牛顿第二定律,有N2sin θ=m ,N1+N2cos θ=mg ,可知侧壁对小球的支持力N2不可能为零,底面对小球的支持力N1可能为零,所以小球可能受到三个力的作用,也可能受到两个力的作用,由牛顿第三定律可知,小球对侧壁的压力不可能为零,所以A、D错误,B正确;当v0<时,N1=mg->0,由牛顿第三定律可知,当v0<时,小球对底面的压力不为零,故C错误.
3.(1)0　(2)μmg
[解析] (1)由题意可知,当物块刚好只有最大静摩擦力提供向心力时,有μmg=mω2r,ω=,当角速度ω1<ω时,静摩擦力提供向心力,细绳对物块的拉力为0,即T1=0.
(2)由题意可知,ω2>ω,拉力和最大静摩擦力一起提供向心力,根据牛顿第二定律得T2+μmg=mr,得T2=μmg.1.[2024·南通高一期末] 一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动,角速度恒定,则 (　)
A.杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B.杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C.杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D.若给杯子中加水,杯子更容易做离心运动
2.细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点),另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处,绳长l大于h,使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动,重力加速度为g.若要小球不离开桌面,其转速不得超过 (　)
A. B.2π
C. D.
3.[2024·鲁迅中学高一月考] 一圆盘可绕竖直轴在水平面内运动,A、B两物体(可看作质点)质量分别为M和m,两物体所受的最大静摩擦力均为正压力的k倍,两物体用一根长为L的轻绳相连,轻绳能承受的拉力足够大,A放在圆盘中心轴处,轻绳刚好被拉直,重力加速度为g.现让圆盘缓慢转动,要使两物体与圆盘均不发生相对滑动,则圆盘转动的角速度不能超过 (　)
A. B.
C. D.
4.如图所示,水平圆盘上放置一物体P,用一轻质弹簧将该物体和圆盘中心O固连,此时弹簧处于拉伸状态,圆盘能绕通过其中心的竖直轴自由转动.现让圆盘从静止开始缓慢加速转动,直到P与圆盘发生相对滑动,则在此过程中P与圆盘间的摩擦力 (　)
A.先增大后减小 B.先减小后增大
C.一直增大 D.一直减小
5.(多选)[2024·莆田一中高一期中] 如图所示,光滑的圆锥体固定在水平地面上,其轴线沿竖直方向,在圆锥体顶用长L=0.5 m的细线悬挂一质量为m=0.6 kg小球(可视为质点),小球静止时细线与圆锥表面平行且细线与轴线的夹角θ=37°.现使圆锥体绕其轴线缓慢加速转动,小球也随圆锥体一起做角速度缓慢增大的圆周运动(不同时间内均可视为匀速圆周运动).重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,下列说法正确的是 (　)
A.当小球的角速度大小为5 rad/s时,其恰要离开锥面
B.当小球的角速度大小为 rad/s时,其恰要离开锥面
C.当小球的角速度大小为 rad/s时,细线上的拉力大小为5.1 N
D.当小球的角速度大小为 rad/s时,细线上的拉力大小为5.3 N
6.[2024·河北石家庄二中高一月考] 如图所示,一茶杯(视为质点)放在水平餐桌的转盘上,茶杯到转轴的距离为r,转盘以周期T匀速转动时,茶杯与转盘保持相对静止.茶杯与转盘间的动摩擦因数为μ,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　)
A.μ的最小值为
B.若减少茶杯中的水量,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
C.若减小转盘的转动周期,则茶杯与转盘可能发生相对滑动
D.若转盘减速转动,则茶杯受到的摩擦力方向始终指向转轴
7.(多选)[2024·泉州高一期中] 如图所示,在水平转台上放一个质量M=2 kg的木块,它与转台间的最大静摩擦力Fmax=6.0 N,绳的一端系着木块,通过转台的中心孔O(孔光滑),另一端悬挂一个质量m=1.0 kg的物体,当转台以角速度ω=5 rad/s匀速转动时,木块相对转台静止,则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2,木块和物体均可看成质点)　 (　)
A.0.04 m
B.0.08 m
C.0.16 m
D.0.36 m
8.如图所示,转动轴垂直于光滑水平面,交点O的上方h高处(A点)固定细绳的一端,细绳的另一端拴接一质量为m的小球B,绳长l>h,重力加速度为g,转动轴带动小球在光滑水平面内做圆周运动.当转动的角速度ω逐渐增大时,下列说法正确的是 (　)
A.小球始终受三个力的作用
B.细绳上的拉力始终保持不变
C.要使小球不离开水平面,角速度的最大值为
D.若小球离开了水平面,则角速度为
9.如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定转轴以恒定角速度ω匀速转动,盘面上离转轴2 m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面间的夹角为30°,g取10 m/s2,则 (　)
A.若ω越大,则小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
B.小物体受到的摩擦力不可能背离圆心
C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则ω的最大值是 rad/s
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则ω的最大值是2.5 rad/s
10.(12分)[2024·仙游华侨中学高一月考] 如图所示,两绳系一质量为m=0.1 kg的小球,绳AC长L=2 m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°,g取10 m/s2.
(1)(6分)球的角速度ω在什么范围内,两绳始终张紧
(2)(6分)当角速度为3 rad/s时,上、下两绳拉力分别为多大
11.(16分)[2024·浙江杭州高一期中] 如图所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合.转台以某一角速度匀速转动,一质量为m的小物块落入陶罐内,经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,且它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°,重力加速度为g.
(1)(5分)若此时陶罐对小物块摩擦力恰好为零,求陶罐对小物块的支持力大小;
(2)(5分)若此时陶罐对小物块摩擦力恰好为零,求小物块的线速度大小;
(3)(6分)若已知小物块与陶罐间的动摩擦因数μ=,半径R=0.25 m,小物块能一直相对陶罐静止(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力),g取10 m/s2,求转台转动的角速度ω的范围.
专题课:涉及圆周运动的功能问题 (时间:40分钟　总分:71分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)专题课:水平面内的圆周运动临界问题
[科学思维] 物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化,进而出现某些物理量或运动状态的突变,即出现临界状态.
(1)水平面内的圆周运动常见的临界问题:
①物体恰好(没有)发生相对滑动,静摩擦力达到最大值.
②物体恰好要离开接触面,物体与接触面之间的弹力为0.
③绳子恰好断裂,绳子的张力达到最大承受值.
④物体所受支持力为0或绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0.
(2)解题关键:
①在圆周运动问题中,当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时,说明运动过程中存在临界点.
②分析临界状态的受力,列出临界条件下的牛顿第二定律方程.
学习任务一　与摩擦力有关的临界问题
[模型探究]
(1)特点:向心加速度沿　　　　方向,重力不能提供向心力.
(2)动力学分析:静摩擦力沿　　　　方向,提供向心力,根据牛顿第二定律得F静=mω2r,当F静=Fmax=　　　　时,得ω临=, 可见物体是否相对转台滑动,与质量无关.
(3)运动状态分析:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有　　　　或　　　　圆心运动的(半径有变化)趋势.若角速度突然变大,物体做圆周运动所需要的向心力也会变大,物体就会有　　　　趋势;若角速度突然变小,物体则会有　　　　趋势.
例1 (多选)[2024·三门中学高一月考] 如图所示,用同样材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动.已知三物体质量间的关系是mA=2mB=3mC,转动半径之间的关系是rC=rA=2rB,那么以下说法中正确的是 (　)
A.物体C受到的摩擦力最大
B.物体B受到的摩擦力最小
C.物体A受到的摩擦力最大
D.转台转速加快时,物体B最先开始滑动
[反思感悟]
例2 [2024·泉州高一期中] 如图所示,倾角θ=30°的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上,斜面最低点在转轴O1O2上.将质量为m的小物块(可视为质点)放置于斜面的顶端,斜面底面长为L,小物块始终和斜面相对静止;已知小物块与斜面之间动摩擦因数为,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.
(1)当小物块不受摩擦力时,水平转台的角速度ω0为多少
(2)要使小物块始终和斜面相对静止,水平转台的角速度ω取值范围是多少
学习任务二　与弹力有关的临界问题
例3 (多选)[2024·南充一中高一期中] 质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,如图所示,若两绳均伸直,绳b水平且长为l,绳a与水平方向成θ角.当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,下列说法正确的是(重力加速度为g) (　)
A.a绳的张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度ω的增大而增大
C.当角速度ω>时,b绳中有弹力
D.若b绳突然被剪断,则a绳的张力一定发生变化
例4 [2024·罗平二中高一期中] 如图所示,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=60°,一条长度为L的绳(质量不计),一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质量为m的小球(可看成质点),小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动,重力加速度为g.求:
(1)小球静止时所受拉力和支持力大小;
(2)小球刚要离开锥面时的角速度;
(3)小球以ω1=的角速度转动时所受拉力和支持力的大小.
1.(与摩擦力有关的临界问题)如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A、B两物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 (　)
A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B相对圆盘先滑动,则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
2.(与弹力有关的临界问题) 如图所示,底面半径为R的平底漏斗水平放置,质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁,漏斗内表面光滑,侧壁的倾角为θ,重力加速度为g.现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0,使之在漏斗底面内做圆周运动,则 (　)
A.小球一定受到两个力的作用
B.小球可能受到三个力的作用
C.当v0<时,小球对底面的压力为零
D.当v0=时,小球对侧壁的压力为零
3.(与摩擦力有关的临界问题)[2024·厦门一中高一月考] 如图所示,水平转盘上放有质量为m的物块,物块到转轴的距离为r,物块和转轴用细绳相连,物块和转盘间的动摩擦因数为μ,设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,已知重力加速度为g.
(1)当转盘的角速度ω1=时,求细绳的拉力T1的大小;
(2)当转盘的角速度ω2=时,求细绳的拉力T2的大小.

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