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(共70张PPT)
专题课：涉及圆周运动的功能问题
学习任务一 动能定理在圆周运动中的应用
学习任务二 机械能守恒定律及功能关系在圆周运动中的应用
随堂巩固
备用习题
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 动能定理在圆周运动中的应用
［科学思维］
动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意:
(1)与平抛运动相结合时,要注意应用运动的合成与分解的方法,如分解位移或分
解速度求平抛运动的有关物理量.
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件:
①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动,物体能通过最高点的临界条件为
.
②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动,物体能通过最高点的临界条件为
重力恰好提供向心力.
[解析] 质点在最低点时，由牛顿第二定律可得
，解得 ，质点 从开始下滑至到达最低点过程中，由动能定理可得 ，解得克服摩擦力所做得功为
例1 ［2024·福州一中高一期中］ 如图所示一固定容器的内壁是半径为 的半球
面，在半球面水平直径的一端有一质量为质点 从内壁顶端无初速度下滑，重
力加速度大小为，当质点到达最低点时，容器对它支持力大小为 ，则质
点在最低点时速度大小为______，质点 从开始下滑至到达
最低点过程中克服摩擦力所做的功为_______.
例2 ［2024·漳州高一期末］ 某校校园文化艺术节举行无线遥控车大赛，其赛
道如图所示.质量为的遥控车(可视为质点)以额定功率 在水平
轨道的点由静止开始加速，经过时间到达 点，此时通过遥控关闭其
发动机，点右侧轨道均视为光滑轨道.遥控车经点进入半径 的竖直
圆轨道，恰好经过圆轨道最高点后，再次经过点沿着轨道 运动，最终从平
台末端点水平飞出后落到水平轨道上.取 ，求：
(1) 遥控车经过点时的速度大小 ；
[答案]
[解析] 遥控车恰好经过圆轨道最高点，由牛顿第二定律得
解得
例2 ［2024·漳州高一期末］ 某校校园文化艺术节举行无线遥控车大赛，其赛
道如图所示.质量为的遥控车(可视为质点)以额定功率 在水平
轨道的点由静止开始加速，经过时间到达 点，此时通过遥控关闭其
发动机，点右侧轨道均视为光滑轨道.遥控车经点进入半径 的竖直
圆轨道，恰好经过圆轨道最高点后，再次经过点沿着轨道 运动，最终从平
台末端点水平飞出后落到水平轨道上.取 ，求：
(2) 遥控车经过 点时，受到轨道的支
持力大小 ；
[答案]
[解析] 遥控车从到，由动能定理得
解得
在点由牛顿第二定律得
联立解得
例2 ［2024·漳州高一期末］ 某校校园文化艺术节举行无线遥控车大赛，其赛
道如图所示.质量为的遥控车(可视为质点)以额定功率 在水平
轨道的点由静止开始加速，经过时间到达 点，此时通过遥控关闭其
发动机，点右侧轨道均视为光滑轨道.遥控车经点进入半径 的竖直
圆轨道，恰好经过圆轨道最高点后，再次经过点沿着轨道 运动，最终从平
台末端点水平飞出后落到水平轨道上.取 ，求：
(3) 遥控车在 段克服摩擦力所做的功
；
[答案]
[解析] 由题可知，从运动到 点过程中，由动能定理得
解得
例2 ［2024·漳州高一期末］ 某校校园文化艺术节举行无线遥控车大赛，其赛
道如图所示.质量为的遥控车(可视为质点)以额定功率 在水平
轨道的点由静止开始加速，经过时间到达 点，此时通过遥控关闭其
发动机，点右侧轨道均视为光滑轨道.遥控车经点进入半径 的竖直
圆轨道，恰好经过圆轨道最高点后，再次经过点沿着轨道 运动，最终从平
台末端点水平飞出后落到水平轨道上.取 ，求：
(4) 平台末端的高度为多少时，遥控车在水平轨道上的落点与 点的水平距离最大.
[答案]
[解析] 遥控车从运动到点过程中，由动能定理得
车从点飞出后做平抛运动，设运动时间为，则竖直方向有
水平方向有
联立以上表达式并化简得
则当时，
水平距离 有最大值
学习任务二 机械能守恒定律及功能关系在圆周运动中的应用
例3 ［2024·莆田高一期中］ 如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，
下端系一质量的小球.现将小球拉到 点(保持绳绷直)与竖直方向夹角
为 由静止释放，当它经过 点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面
上的点，地面上的点与 在同一竖直线上，已知绳长，点离地高度，，重力加速度 取 ，不计空气阻力，求：
(1) 小球在 点的速度大小；
[答案]
[解析] 从到 由机械能守恒定律可知
在点时的速度
例3 ［2024·莆田高一期中］ 如图所示，一条不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，
下端系一质量的小球.现将小球拉到 点(保持绳绷直)与竖直方向夹角
为 由静止释放，当它经过 点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面
上的点，地面上的点与在同一竖直线上，已知绳长， 点离地高
[答案]
度，，重力加速度取 ，不计空气阻力，
求：(2) 地面上、两点间的距离 .
[解析] 细绳断裂后做平抛运动，则
解得
例4 如图所示，光滑水平轨道与光滑半圆弧轨道 平滑对接且在同一竖直
面内，圆弧轨道圆心为，是最高点，是最低点，与圆心 等高.一轻质弹簧
左端固定在点处的挡板上，弹簧右端有一质量为 的小球，与弹簧不
拴接，将小球向左缓慢推至 点后无初速度释放，小球在水平轨道上离开弹簧
后进入圆弧轨道，并恰好能运动到点.已知圆弧轨道的半径为 ，小球可
(1) 小球运动到点速度大小 ；
[答案]
视为质点，不计空气阻力，重力加速度 取
，求：
[解析] 小球恰好能运动到点，表明小球在 点受到轨道的弹力为0，对小球进
行分析，由牛顿第二定律有
解得
例4 如图所示，光滑水平轨道与光滑半圆弧轨道 平滑对接且在同一竖直
面内，圆弧轨道圆心为，是最高点，是最低点，与圆心 等高.一轻质弹簧
左端固定在点处的挡板上，弹簧右端有一质量为 的小球，与弹簧不
拴接，将小球向左缓慢推至 点后无初速度释放，小球在水平轨道上离开弹簧
后进入圆弧轨道，并恰好能运动到点.已知圆弧轨道的半径为 ，小球可
(2) 小球从点释放时，弹簧的弹性势能 ；
[答案]
视为质点，不计空气阻力，重力加速度 取
，求：
[解析] 小球从点运动到 点过程中，对弹簧与小球构成的系统，由能量关系有
解得
例4 如图所示，光滑水平轨道与光滑半圆弧轨道 平滑对接且在同一竖直
面内，圆弧轨道圆心为，是最高点，是最低点，与圆心 等高.一轻质弹簧
左端固定在点处的挡板上，弹簧右端有一质量为 的小球，与弹簧不
拴接，将小球向左缓慢推至 点后无初速度释放，小球在水平轨道上离开弹簧
后进入圆弧轨道，并恰好能运动到点.已知圆弧轨道的半径为 ，小球可
(3) 小球运动到与圆心等高的 点时，克服重
力做功的功率 .(结果可保留根号)
视为质点，不计空气阻力，重力加速度取 ，求：
[答案]
[解析] 设小球在点时速度为，从到 ，对小球进行分析，由机械能守恒有
小球在点克服重力做功的功率
解得
1.如图所示，轨道的段和段为半径的四分之一光滑圆弧， 段为
长的水平面，圆弧和水平面平滑连接.质量的物体从 点处由静
止下滑，水平面与物体间的动摩擦因数为，重力加速度取 ，求：
(1) 物体第一次通过 点时对轨道的压力大小；
[答案]
[解析] 从点到点由动能定理有，在 点时
，联立两式解得 ，由牛顿第三定律可知，物体第一次通过 点时对轨道的压力大小
1.如图所示，轨道的段和段为半径的四分之一光滑圆弧， 段为
长的水平面，圆弧和水平面平滑连接.质量的物体从 点处由静
止下滑，水平面与物体间的动摩擦因数为，重力加速度取 ，求：
(2) 物体最终停下来的位置；
[答案] 点
[解析] 对物体运动的全过程有，解得
则物体恰好停在 点；
1.如图所示，轨道的段和段为半径的四分之一光滑圆弧， 段为
长的水平面，圆弧和水平面平滑连接.质量的物体从 点处由静
止下滑，水平面与物体间的动摩擦因数为，重力加速度取 ，求：
(3) 物体从 点静止下滑到停下来的过程中机械能损失了多少.
[答案]
[解析] 物体从 点静止下滑到停下来的过程中机械能损失了 .
2.如图所示，在粗糙水平地面上点固定一个半径为的光滑竖直圆轨道，在
点与地面平滑连接.轻弹簧左端固定在竖直墙上，自然伸长时右端恰好在 点，
.现将质量为的物块从与圆心等高处的 点由静止释放，物块压缩弹
簧至点时速度为点未标出，第一次弹回后恰好停在 点.已知物块与水平地
面间的动摩擦因数，重力加速度为 ，求：
(1) 物块第一次到达圆轨道 点时受到的弹力大小；
[答案]
[解析] 物块第一次通过点时的速度为，从点到 点的过程根据动能定理有
在点物块受到的弹力大小为，根据牛顿第二定律有
解得
2.如图所示，在粗糙水平地面上点固定一个半径为的光滑竖直圆轨道，在
点与地面平滑连接.轻弹簧左端固定在竖直墙上，自然伸长时右端恰好在 点，
.现将质量为的物块从与圆心等高处的 点由静止释放，物块压缩弹
簧至点时速度为点未标出，第一次弹回后恰好停在 点.已知物块与水平地
面间的动摩擦因数，重力加速度为 ，求：
(2) 的长度及弹簧的最大弹性势能；
[答案] ;
[解析] 设弹簧压缩到点弹簧的压缩量为，最大弹性势能为 ，根据功能关系得
由到，
由到，
联立解得
2.如图所示，在粗糙水平地面上点固定一个半径为的光滑竖直圆轨道，在
点与地面平滑连接.轻弹簧左端固定在竖直墙上，自然伸长时右端恰好在 点，
.现将质量为的物块从与圆心等高处的 点由静止释放，物块压缩弹
簧至点时速度为点未标出，第一次弹回后恰好停在 点.已知物块与水平地
面间的动摩擦因数，重力加速度为 ，求：
(3) 若换一个材料相同的物块，在弹簧右端将弹簧压缩到 点由静止释放，物
块质量多大时恰好过圆轨道最高点 .
[答案]
[解析] 设物块的质量为 ，物块恰好到达点时有
物块从点到 点，根据功能关系得
解得 .
1.(多选)［2024·泉州高一期中］ 如图所示，在竖直平面内有半径为 和
的两个光滑半圆形槽，其圆心在同一水平面上，质量相等的两小球分
别自半圆形槽左边缘的最高点无初速度地释放，在接下来的运动过程中，两小
球( )
A.经过最低点时机械能相等
B.经过最低点时动能相等
C.经最低点时受到的支持力大小相等
D.经最低点时受到的支持力大小不相等
√
√
[解析] 小球运动过程中机械能守恒，在开始时两球的机械能相等，可知经过最
低点时机械能也相等，选项A正确；根据,可知，因 可知，经过
最低点时动能不相等，选项B错误；经最低点时根据 ,
,可得受到的支持力大小 ,可得经最低点时受到的支持力
大小相等，选项C正确，D错误.
2.［2024·山西朔州高一月考］人们用滑道从高处向低处运送货物，如图所示，
可看作质点的货物从四分之一圆弧滑道顶端 点由静止释放，沿滑道运动到圆
弧末端点时速度大小为.已知货物质量，滑道半径 ，且
过点的切线水平，重力加速度取.关于货物从点运动到 点的过程，
下列说法正确的是( )
A.重力做的功为
B.经过点时货物对轨道的压力大小为
C.经过点时货物的向心加速度大小为
D.货物克服阻力做的功为
√
[解析] 重力做的功为,故A错误；设经过 点时轨道对货物的
支持力大小为，根据牛顿第二定律可得,解得 ,根据牛
顿第三定律可得，点货物对轨道的压力大小为，故B错误；经过 点时
货物的向心加速度大小为 ,故C正确；设货物克服阻力做的功为
，根据动能定理可得 , 解得
,故D错误.
3.［2024·福州高一期末］游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，游
客却不会掉下来，我们把这种情形抽象为如图所示的模型.水平轨道的右端
与半径为的圆轨道相接，圆轨道向右出口与一水平导轨 连接.一个
可以视为质点的玩具过山车且质量，从水平轨道左端 以额定功率
由静止启动，沿着水平轨道运动到 点关闭电动机，恰好能通过竖直圆
轨道的最高点，最后滑上水平导轨 .所有摩擦不计，轨道连接处无能量损失，
重力加速度取 .求：
(1) 玩具过山车通过点时的速度大小 ；
[答案]
[解析] 根据题意，设过山车通过圆轨道最高点的速度为 ，在最高点，由牛
顿第二定律有
解得
3.［2024·福州高一期末］游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，游
客却不会掉下来，我们把这种情形抽象为如图所示的模型.水平轨道的右端
与半径为的圆轨道相接，圆轨道向右出口与一水平导轨 连接.一个
可以视为质点的玩具过山车且质量，从水平轨道左端 以额定功率
由静止启动，沿着水平轨道运动到 点关闭电动机，恰好能通过竖直圆
轨道的最高点，最后滑上水平导轨 .所有摩擦不计，轨道连接处无能量损失，
重力加速度取 .求：(2) 玩具过山车运动
到竖直圆轨道最低点 时对轨道压力的大小；
[答案]
[解析] 过山车从 点沿光滑圆轨道向上滑行到最高点的过程中，根据动能定理
有
过点时，由牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律得，过点时玩具过山车对轨道的压力大小
3.［2024·福州高一期末］游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，游
客却不会掉下来，我们把这种情形抽象为如图所示的模型.水平轨道的右端
与半径为的圆轨道相接，圆轨道向右出口与一水平导轨 连接.一个
可以视为质点的玩具过山车且质量，从水平轨道左端 以额定功率
由静止启动，沿着水平轨道运动到 点关闭电动机，恰好能通过竖直圆
轨道的最高点，最后滑上水平导轨 .所有摩擦不计，轨道连接处无能量损失，
重力加速度取 .求：
(3) 玩具过山车从运动到 的时间.
[答案]
[解析] 玩具过山车从运动到，由动能定理得
解得
练习册
1.［2024·三明一中高一月考］如图所示，质量相同的两个小球，
分别用长为和 的细绳悬挂在天花板上.分别拉起小球使细绳伸
直呈水平状态，然后由静止释放.当小球到达最低位置时( )
A.两球运动的线速度大小相等 B.两球的向心加速度大小相等
C.两球运动的角速度相等 D.两球的机械能不相等
√
[解析] 当小球到达最低位置时，根据机械能守恒有 ，解得
，知两小球线速度不相等，故A错误；向心加速度，与 无
关，所以两球的向心加速度相等，故B正确；角速度 ，知两球的角
速度不相等，故C错误；两球摆动过程中机械能守恒，在最高点时机械能相等，
则在最低点时的机械能仍相等，故D错误.
2.如图所示，一固定容器的内壁是半径为 的光滑半球面，
在半球面水平直径的一端的正上方距离为 处有一质量为
的小球 ，它沿竖直方向由静止自由下落后恰好沿容器
内壁切线滑下，已知重力加速度大小为.设小球 在最低
点时，向心加速度的大小为 ，容器对它的支持力大小为
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 设小球到最低点时速度为，根据机械能守恒定律有 ，则
其向心加速度为 ，故A错误，B正确；最低点时支持力与重力的合力
提供向心力，有，解得 ，C、D错误.
√
3.如图所示，半径为的金属环竖直放置，环上套有一质量为 的小球，小球开
始时静止于最低点，现使小球以初速度为重力加速度 沿环上滑，
小环运动到环的最高点时与环恰无作用力，则小球从最低点运动到最高点的过
程中( )
A.小球的机械能守恒
B.小球在最低点时对金属环的压力是
C.小球在最高点时，重力的功率是
D.小球的机械能不守恒，且克服摩擦力所做的功是
√
[解析] 小球在最高点与环的作用力恰为零时，设其速度为，有 ，解
得 ，从最低点到最高点，由动能定理得
，又，解得 ，所以机
械能不守恒，且克服摩擦力所做的功是 ，故A错误，D
正确；在最低点，根据向心力公式得 ，解得
，由牛顿第三运动定律知，小球在最低点时对金属
环的压力是 ，故B错误；小球在最高点时，重力方向与速
度方向垂直，重力的功率为零，故C错误.
4.一小球以一定的初速度从如图所示的位置进入光滑的
轨道,小球先进入圆轨道1,再进入圆轨道2.轨道1的半径为
,轨道2的半径是轨道1的1.8倍,小球的质量为 .若小球恰
好能通过轨道2的最高点 ,则小球在轨道1上经过最高点
时对轨道的压力为重力加速度为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 小球恰好能通过轨道2的最高点,有 ,小球在轨道1上经过最高
点时,有,对小球从点运动到 点的过程,根据机械能守恒定律,有
,解得 ,由牛顿第三运动定律知，小球对轨道的
压力 ，选项C正确.
√
5.［2024·师大附中高一月考］如图所示,在竖直平面内有一半径为 的圆弧轨道,
半径水平、竖直,点位于点正上方,一个质量为的小球从 点由静止开
始自由下落,小球沿轨道到达最高点时恰好对轨道没有压力.已知 ,重力
加速度为,则小球从点到 点的运动过程中( )
A.重力做功为 B.机械能减少
C.合外力做功为 D.克服摩擦力做功为
√
[解析] 小球到达点时,恰好对轨道没有压力,只受重力作用, 根据 得,小
球在点的速度，小球从点到点的运动过程中,重力做功 ,
故选项A错误;减少的机械能 ,故选项B错误;合外力
做功 ,故选项C错误;根据动能定理得
,所以 ,故
选项D正确.
6.(11分)［2024·福州高一期末］ 如图所示，光滑半圆弧轨道半径为， 为水
平半径，为竖直直径.水平轨道与圆弧轨道在点相切，水平轨道 的长
度，一质量为的小物块自处以竖直向下的初速度 滑下，到
点后进入水平轨道，在处碰撞反弹后恰能通过点，在 处碰撞过程中无能
量损失，反弹后速度仍为水平方向，重力加速度为 ，求：
(1) (5分)物块第一次进入半圆轨道 点时对轨道
的压力大小；
[答案]
[解析] 从到 由动能定理有
在点时有
解得
根据牛顿第三定律可知，物块第一次进入半圆轨道 点时对轨道的压力大小为
6.(11分)［2024·福州高一期末］ 如图所示，光滑半圆弧轨道半径为， 为水
平半径，为竖直直径.水平轨道与圆弧轨道在点相切，水平轨道 的长
度，一质量为的小物块自处以竖直向下的初速度 滑下，到
点后进入水平轨道，在处碰撞反弹后恰能通过点，在 处碰撞过程中无能
量损失，反弹后速度仍为水平方向，重力加速度为 ，求：
(2) (6分)小物块与水平轨道 间的动摩擦因数.
[答案] 0.5
[解析] 物块在点时
则从点开始到最终到 点的过程中由能量关系有
解得
7.(多选)如图所示，、、 分别为固定竖直光滑圆弧轨道的右端点、最低点和
左端点，为水平半径，点和圆心的连线与竖直方向的夹角 .现从
点正上方的点由静止释放一质量 的小球(可视为质点)，小球经圆弧轨
道飞出后以水平速度通过点.已知圆弧轨道的半径 ，重力加
速度取，， ，不计空气阻力.下列分析正确
的是 ( )
A.小球从点运动到点的过程中重力所做的功为
B.、两点的高度差为
C.小球运动到点时对轨道的压力大小为
D.小球运动到点时的速度大小为
√
√
[解析] 小球从到的逆过程为平抛运动，小球运动到 点
时的速度大小,小球运动到 点
时竖直分速度大小,则
、 两点的高度差，设、两点
的高度差为，从到 ，由机械能守恒定律得,解得，小球从 点运动到 点的过程中，重力所做的功为 , 故A正确，B、D错误；
从到，由机械能守恒定律得,小球在点时，有,联立解得,根据牛顿第三运动定律知，小球运动到点时对轨道的压力大小为 ，故C正确.
8.(多选)［2024·福州高一期中］ 如图所示，一轻杆可绕光滑固定转轴.在竖直平
面内自由转动，杆的两端固定有小球和(可看作质点)，、 的质量分别为
和，到转轴的距离分别为和，重力加速度为 .现将轻杆从水平位置由
静止释放，轻杆开始绕轴自由转动，当球 到达最低点时，下列说法正确的是
( )
A.球的速度大小为 B.球的速度大小为
C.杆对球的拉力大小为 D.杆对球做的功为
√
√
[解析] 对于、 两球及轻杆组成的系统，只有重力做功，则系统的机械能守恒，
可得，由可知 ，解得
，，故A错误，B正确.设当 球到达最低点时，
杆对球的作用力为，根据牛顿第二定律有 ，解得
，由牛顿第三定律可知球对杆的作用力大小为 ，方向竖直向
下，设当球到达最高点时，杆对球
的作用力为 ，
根据牛顿第二定律有，解得，则轻杆对 球竖直向上的作用力，大小为，由牛顿第三定律可知球对杆的作用力大小为 ，方向竖直向下，对轻杆受力分析可知点对轻杆的作用力大小为 ，方向竖直向上；由牛顿第三定律可知杆对球的拉力大小为 ，方向竖直向下，故C正确. 从释放到球到达最低点的过程，对球 ，根据动能定理有
，解得杆对球做的功为 ，故D错误.
(1) (6分)若游客从点由静止开始滑下，到点时
的速度 ，求轨道摩擦力对其所做的功 ；
9.(12分)图为某游乐场内的水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，
表面粗糙的段轨道与四分之一光滑圆轨道在点水平相切.点 距水面的高
度为，圆弧轨道的半径为，圆心恰在水面上.一质量为 的游客
(视为质点)可从轨道的任意位置滑下，不计空气阻力，重力加速度为 .
[答案]
[解析] 从到 ，根据动能定理得
解得
9.(12分)图为某游乐场内的水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，
表面粗糙的段轨道与四分之一光滑圆轨道在点水平相切.点 距水面的高
度为，圆弧轨道的半径为，圆心恰在水面上.一质量为 的游客
(视为质点)可从轨道的任意位置滑下，不计空气阻力，重力加速度为 .
(2) (6分)若游客从段某处滑下，恰好停在 点，又因为受到微小扰动，继续
[答案]
沿圆弧轨道滑到点后离开轨道，求 点离水
面的高度 .
[解析] 设与的夹角为 ，游客受到的支持力为，在点时的速度为 ，
从到 ，由机械能守恒定律得
过点时，根据向心力公式得
因为在点处，
解得
10.(16分)［2023·古田一中高一月考］ 如图所示，在足够长的光滑水平桌面上
固定一个四分之一光滑圆形槽，半径 ，末端与桌面相切.将质量
的小球(可视为质点)从槽的顶端无初速度释放，经桌面上 点水平飞
出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，、
为圆弧的两端点，其连线水平，为圆弧最低点.已知圆弧对应圆心角 ，
半径，取，， .求：
(1) (5分)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时的速度
大小；
[答案]
[解析] 小球沿圆弧形槽下滑到槽底端的过程中，由机械能守恒定律得
解得
10.(16分)［2023·古田一中高一月考］ 如图所示，在足够长的光滑水平桌面上
固定一个四分之一光滑圆形槽，半径 ，末端与桌面相切.将质量
的小球(可视为质点)从槽的顶端无初速度释放，经桌面上 点水平飞
出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，、
为圆弧的两端点，其连线水平，为圆弧最低点.已知圆弧对应圆心角 ，
(2) (5分)桌面离水平地面的高度 ；
[答案]
半径，取， ，
.求：
[解析] 小球离开桌面后以的初速度做平抛运动，竖直方向上有
小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从 点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，则
解得，
10.(16分)［2023·古田一中高一月考］ 如图所示，在足够长的光滑水平桌面上
固定一个四分之一光滑圆形槽，半径 ，末端与桌面相切.将质量
的小球(可视为质点)从槽的顶端无初速度释放，经桌面上 点水平飞
出，小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从点进入固定的竖直光滑圆弧轨道，、
为圆弧的两端点，其连线水平，为圆弧最低点.已知圆弧对应圆心角 ，
(3) (6分)小球运动至 点时对圆弧轨道的压力
大小.
半径，取，， .求：
[答案]
[解析] 小球由点到 点，由机械能守恒定律得
在圆弧轨道最低点，由牛顿第二运动定律得
解得
根据牛顿第三定律，小球对圆弧轨道的
压力大小为 ，方向竖直向下.
例1
例2 （1） （2） （3） （4）
例3 （1） （2）
例4 （1） （2） （3）
随堂巩固
1.AC 2.C 3.（1） （2） （3）
基础巩固练
1.B 2.B 3.D 4.C 5.D
6.（1） （2）0.5
综合提升练
7.AC 8.BC 9.（1） （2）
10.（1） （2） （3）专题课:涉及圆周运动的功能问题
1.B　[解析] 当小球到达最低位置时,根据机械能守恒有mgl=mv2,解得v=,知两小球线速度不相等,故A错误;向心加速度a==2g,与l无关,所以两球的向心加速度相等,故B正确;角速度ω==,知两球的角速度不相等,故C错误;两球摆动过程中机械能守恒,在最高点时机械能相等,则在最低点时的机械能仍相等,故D错误.
2.B　[解析] 设小球到最低点时速度为v,根据机械能守恒定律有2mgR=mv2,则其向心加速度为a==4g,故A错误,B正确;最低点时支持力与重力的合力提供向心力,有N-mg=ma,解得N=5mg,C、D错误.
3.D　[解析] 小球在最高点与环的作用力恰为零时,设其速度为v,有mg=m,解得v=,从最低点到最高点,由动能定理得-mg·2R-W克=mv2-m,又v0=,解得W克=0.5mgR,所以机械能不守恒,且克服摩擦力所做的功是0.5mgR,故A错误,D正确;在最低点,根据向心力公式得N-mg=m,解得N=7mg,由牛顿第三运动定律知,小球在最低点时对金属环的压力是7mg,故B错误;小球在最高点时,重力方向与速度方向垂直,重力的功率为零,故C错误.
4.C　[解析] 小球恰好能通过轨道2的最高点B,有mg=,小球在轨道1上经过最高点A时,有F+mg=,对小球从A点运动到B点的过程,根据机械能守恒定律,有1.6mgR=m-m,解得F=4mg,由牛顿第三运动定律知,小球对轨道的压力F'=F=4mg,选项C正确.
5.D　[解析] 小球到达B点时,恰好对轨道没有压力,只受重力作用,根据mg=得,小球在B点的速度v=,小球从P点到B点的运动过程中,重力做功W=mgR,故选项A错误;减少的机械能ΔE减=mgR-mv2=mgR,故选项B错误;合外力做功W合=mv2=mgR,故选项C错误;根据动能定理得mgR-Wf=mv2-0,所以Wf=mgR-mv2=mgR,故选项D正确.
6.(1)12mg　(2)0.5
[解析] (1)从A到C由动能定理有
mgr=m-m
在C点时有NC-mg=m
解得NC=12mg
根据牛顿第三定律可知,物块第一次进入半圆轨道C点时对轨道的压力大小为12mg
(2)物块在B点时mg=m
则从A点开始到最终到B点的过程中由能量关系有m=m+mgr+2μmgL
解得μ=0.5
7.AC　[解析] 小球从c到Q的逆过程为平抛运动,小球运动到c点时的速度大小vc== m/s=5 m/s,小球运动到c点时竖直分速度大小vcy=v·tan α=3× m/s=4 m/s,则Q、c两点的高度差h== m=0.8 m,设P、a两点的高度差为H,从P到c,由机械能守恒定律得mg(H+Rcos α)=m,解得H=0.65 m,小球从P点运动到Q点的过程中,重力所做的功为W=mg[(H+Rcos α)-h]=1×10×[(0.65+1×0.6)-0.8] J=4.5 J,故A正确,B、D错误;从P到b,由机械能守恒定律得mg(H+R)=m,小球在b点时,有N-mg=m,联立解得N=43 N,根据牛顿第三运动定律知,小球运动到b点时对轨道的压力大小为43 N,故C正确.
8.BC　[解析] 对于A、B两球及轻杆组成的系统,只有重力做功,则系统的机械能守恒,可得2mg×2L-mgL=×2m+m,由v=ωr可知vA=2vB,解得vB=, vA=2=,故A错误,B正确.设当A球到达最低点时,杆对A球的作用力为FA,根据牛顿第二定律有FA-2mg=2m,解得FA=4mg,由牛顿第三定律可知球A对杆的作用力大小为4mg,方向竖直向下,设当B球到达最高点时,杆对B球的作用力为FB,根据牛顿第二定律有mg+FB=m,解得FB=-mg,则轻杆对B球竖直向上的作用力,大小为mg,由牛顿第三定律可知球B对杆的作用力大小为mg,方向竖直向下,对轻杆受力分析可知O点对轻杆的作用力大小为F=FA+FB=5mg,方向竖直向上;由牛顿第三定律可知杆对球O的拉力大小为5mg,方向竖直向下,故C正确.从释放到球A到达最低点的过程,对球A,根据动能定理有W+2mg×2L=×2m,解得杆对球A做的功为W=-mgL,故D错误.
9.(1)mg(2R-H)　(2)
[解析] (1)从A到B,根据动能定理得
mg(H-R)+Wf=m
解得Wf=mg(2R-H)
(2)设OP与OB的夹角为θ,游客受到的支持力为N,在P点时的速度为vP,从B到P,由机械能守恒定律得
mg(R-Rcos θ)=m-0
过P点时,根据向心力公式得mgcos θ-N=m
因为在P点处N=0,cos θ=
解得h=
10.(1)3 m/s　(2)0.8 m　(3)4.3 N
[解析] (1)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端的过程中,由机械能守恒定律得mgR=m
解得v1=3 m/s
(2)小球离开桌面后以3 m/s的初速度做平抛运动,竖直方向上有h=gt2
小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道,则tan 53°=
解得t=0.4 s,h=0.8 m
(3)小球由A点到O点,由机械能守恒定律得
mg(h+r-rcos 53°)=m-m
在圆弧轨道最低点,由牛顿第二运动定律得
F-mg=m
解得F=4.3 N
根据牛顿第三定律,小球对圆弧轨道的压力大小为4.3 N,方向竖直向下.专题课:涉及圆周运动的功能问题
例1　　 mgR
[解析] 质点P在最低点时,由牛顿第二定律可得N-mg=m,解得v=,质点P从开始下滑至到达最低点过程中,由动能定理可得mgR-Wf=mv2-0,解得克服摩擦力所做得功为Wf=mgR
例2　(1)1 m/s　(2)60 N　(3)27.5 J　(4)0.125 m
[解析] (1)遥控车恰好经过圆轨道最高点D,由牛顿第二定律得mg=m
解得vD=1 m/s
(2)遥控车从C到D,由动能定理得
-mg·2R=m-m
解得vC= m/s
在C点由牛顿第二定律得N-mg=m
联立解得N=60 N
(3)由题可知vC=vB,从A运动到B点过程中,由动能定理得P0t0-Wf=m-0
解得Wf=27.5 J
(4)遥控车从C运动到F点过程中,由动能定理得
-mgh=m-m
车从F点飞出后做平抛运动,设运动时间为t,则竖直方向有h=gt2
水平方向有x=vFt
联立以上表达式并化简得x===
则当h= m=0.125 m时,水平距离x有最大值
例3　(1) m/s　(2) m
[解析] (1)从A到B由机械能守恒定律可知
mgL(1-cos 60°)=m
在B点时的速度vB= m/s
(2)细绳断裂后做平抛运动,则s=vBt
H=gt2
解得s= m
例4　(1)2 m/s　(2)7 J　(3)14 W
[解析] (1)小球恰好能运动到A点,表明小球在A点受到轨道的弹力为0,对小球进行分析,由牛顿第二定律有mg=m
解得v=2 m/s
(2)小球从N点运动到A点过程中,对弹簧与小球构成的系统,由能量关系有Ep=mg·2R+mv2
解得Ep=7 J
(3)设小球在B点时速度为vB,从B到A,对小球进行分析,由机械能守恒有m=mgR+mv2
小球在B点克服重力做功的功率P=mgvB
解得P=14 W
随堂巩固
1.AC　[解析] 小球运动过程中机械能守恒,在开始时两球的机械能相等,可知经过最低点时机械能也相等,选项A正确;根据Ek=mgR,可知,因r2.C　[解析] 重力做的功为WG=mgr=400 J,故A错误;设经过Q点时轨道对货物的支持力大小为N,根据牛顿第二定律可得N-mg=m,解得N=140 N,根据牛顿第三定律可得,Q点货物对轨道的压力大小为140 N,故B错误;经过Q点时货物的向心加速度大小为a==4 m/s2,故C正确;设货物克服阻力做的功为Wf,根据动能定理可得mgr-Wf=mv2-0,解得Wf=320 J,故D错误.
3.(1)2 m/s　(2)12 N　(3)2 s
[解析] (1)根据题意,设过山车通过圆轨道最高点C的速度为vC,在最高点,由牛顿第二定律有mg=m
解得vC=2 m/s
(2)过山车从B点沿光滑圆轨道向上滑行到最高点的过程中,根据动能定理有-mg·2R=m-m
过B点时,由牛顿第二定律有N-mg=m
解得N=12 N
根据牛顿第三定律得,过B点时玩具过山车对轨道的压力大小N'=N=12 N
(3)玩具过山车从A运动到B,由动能定理得Pt=m
解得t=2 s1.[2024·三明一中高一月考] 如图所示,质量相同的两个小球,分别用长为L和2L的细绳悬挂在天花板上.分别拉起小球使细绳伸直呈水平状态,然后由静止释放.当小球到达最低位置时 (　)
A.两球运动的线速度大小相等
B.两球的向心加速度大小相等
C.两球运动的角速度相等
D.两球的机械能不相等
2.如图所示,一固定容器的内壁是半径为R的光滑半球面,在半球面水平直径的一端的正上方距离为R处有一质量为m的小球P,它沿竖直方向由静止自由下落后恰好沿容器内壁切线滑下,已知重力加速度大小为g.设小球P在最低点时, 向心加速度的大小为a,容器对它的支持力大小为N,则 (　)
A.a=3g 　　　 B.a=4g
C.N=3mg 　　　D.N=4mg
3.如图所示,半径为R的金属环竖直放置,环上套有一质量为m的小球,小球开始时静止于最低点,现使小球以初速度v0=(g为重力加速度)沿环上滑,小环运动到环的最高点时与环恰无作用力,则小球从最低点运动到最高点的过程中 (　)
A.小球的机械能守恒
B.小球在最低点时对金属环的压力是6mg
C.小球在最高点时,重力的功率是mg
D.小球的机械能不守恒,且克服摩擦力所做的功是0.5mgR
4.一小球以一定的初速度从如图所示的位置进入光滑的轨道,小球先进入圆轨道1,再进入圆轨道2.轨道1的半径为R,轨道2的半径是轨道1的1.8倍,
小球的质量为m.若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过最高点A时对轨道的压力为(重力加速度为g) (　)
A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg
5.[2024·师大附中高一月考] 如图所示,在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道,半径OA水平、OB竖直,P点位于A点正上方,一个质量为m的小球从P点由静止开始自由下落,小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力.已知AP=2R,重力加速度为g,则小球从P点到B点的运动过程中 (　)
A.重力做功为2mgR
B.机械能减少mgR
C.合外力做功为mgR
D.克服摩擦力做功为mgR
6.(11分)[2024·福州高一期末] 如图所示,光滑半圆弧轨道半径为r,OA为水平半径,BC为竖直直径.水平轨道CM与圆弧轨道在C点相切,水平轨道CM的长度L=3r,一质量为m的小物块自A处以竖直向下的初速度v0=滑下,到C点后进入水平轨道,在M处碰撞反弹后恰能通过B点,在M处碰撞过程中无能量损失,反弹后速度仍为水平方向,重力加速度为g,求:
(1)(5分)物块第一次进入半圆轨道C点时对轨道的压力大小;
(2)(6分)小物块与水平轨道CM间的动摩擦因数.
7.(多选)如图所示,a、b、c分别为固定竖直光滑圆弧轨道的右端点、最低点和左端点,Oa为水平半径,c点和圆心O的连线与竖直方向的夹角α=53°.现从a点正上方的P点由静止释放一质量m=1 kg的小球(可视为质点),小球经圆弧轨道飞出后以水平速度v=3 m/s通过Q点.已知圆弧轨道的半径R=1 m,重力加速度g取10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,不计空气阻力.下列分析正确的是 (　)
A.小球从P点运动到Q点的过程中重力所做的功为4.5 J
B.P、a两点的高度差为0.8 m
C.小球运动到b点时对轨道的压力大小为43 N
D.小球运动到c点时的速度大小为4 m/s
8.(多选)[2024·福州高一期中] 如图所示,一轻杆可绕光滑固定转轴.在竖直平面内自由转动,杆的两端固定有小球A和B(可看作质点),A、B的质量分别为2m和m,到转轴O的距离分别为2L和L,重力加速度为g.现将轻杆从水平位置由静止释放,轻杆开始绕O轴自由转动,当球A到达最低点时,下列说法正确的是 (　)
A.球B的速度大小为
B.球A的速度大小为
C.杆对球O的拉力大小为5mg
D.杆对球A做的功为mgL
9.(12分)图为某游乐场内的水上滑梯轨道示意图,整个轨道在同一竖直平面内,表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆轨道BC在B点水平相切.点A距水面的高度为H,圆弧轨道BC的半径为R,圆心O恰在水面上.一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下,不计空气阻力,重力加速度为g.
(1)(6分)若游客从A点由静止开始滑下,到B点时的速度vB=,求轨道摩擦力对其所做的功Wf;
(2)(6分)若游客从AB段某处滑下,恰好停在B点,又因为受到微小扰动,继续沿圆弧轨道滑到P点后离开轨道,求P点离水面的高度h.
10.(16分)[2023·古田一中高一月考] 如图所示,在足够长的光滑水平桌面上固定一个四分之一光滑圆形槽,半径R=0.45 m,末端与桌面相切.将质量m=0.1 kg的小球(可视为质点)从槽的顶端无初速度释放,经桌面上A点水平飞出,小球恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入固定的竖直光滑圆弧轨道,B、C为圆弧的两端点,其连线水平,O为圆弧最低点.已知圆弧对应圆心角θ=106°,半径r=1 m,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.求:
(1)(5分)小球沿圆弧形槽下滑到槽底端时的速度大小;
(2)(5分)桌面离水平地面的高度h;
(3)(6分)小球运动至O点时对圆弧轨道的压力大小.
本章易错过关(三) (时间:40分钟　总分:73分)
一、选择题(本题共7小题,单选题每小题4分,多选题每小题6分,共36分)专题课:涉及圆周运动的功能问题
学习任务一　动能定理在圆周运动中的应用
[科学思维] 动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合,解决这类问题要特别注意:
(1)与平抛运动相结合时,要注意应用运动的合成与分解的方法,如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.
(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时,应特别注意隐藏的临界条件:
①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动,物体能通过最高点的临界条件为vmin=0.
②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动,物体能通过最高点的临界条件为重力恰好提供向心力mg=.vmin=
例1 [2024·福州一中高一期中] 如图所示一固定容器的内壁是半径为R的半球面,在半球面水平直径的一端有一质量为m质点P从内壁顶端无初速度下滑,重力加速度大小为g,当质点P到达最低点时,容器对它支持力大小为2mg,则质点P在最低点时速度大小为　　　　,质点P从开始下滑至到达最低点过程中克服摩擦力所做的功为　　　　.
例2 [2024·漳州高一期末] 某校校园文化艺术节举行无线遥控车大赛,其赛道如图所示.质量为m=1 kg的遥控车(可视为质点)以额定功率P0=15 W在水平轨道的A点由静止开始加速,经过时间t0=2 s到达B点,此时通过遥控关闭其发动机,B点右侧轨道均视为光滑轨道.遥控车经C点进入半径R=0.1 m的竖直圆轨道,恰好经过圆轨道最高点D后,再次经过C点沿着轨道CF运动,最终从平台末端F点水平飞出后落到水平轨道EG上.g取10 m/s2,求:
(1)遥控车经过D点时的速度大小vD;
(2)遥控车经过C点时,受到轨道的支持力大小N;
(3)遥控车在AB段克服摩擦力所做的功Wf;
(4)平台末端F的高度h为多少时,遥控车在水平轨道EG上的落点与F点的水平距离最大.
学习任务二　机械能守恒定律及功能关系在圆周运动中的应用
例3 [2024·莆田高一期中] 如图所示,一条不可伸长的轻绳上端悬挂于O点,下端系一质量m=1.0 kg的小球.现将小球拉到A点(保持绳绷直)与竖直方向夹角为60°由静止释放,当它经过B点时绳恰好被拉断,小球平抛后落在水平地面上的C点,地面上的D点与OB在同一竖直线上,已知绳长L=1.0 m,B点离地高度 H=1.0 m,,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)小球在B点的速度大小;
(2)地面上D、C两点间的距离s.
例4 如图所示,光滑水平轨道MC与光滑半圆弧轨道ABC平滑对接且在同一竖直面内,圆弧轨道圆心为O,A是最高点,C是最低点,B与圆心O等高.一轻质弹簧左端固定在M点处的挡板上,弹簧右端有一质量为m=0.7 kg的小球,与弹簧不拴接,将小球向左缓慢推至N点后无初速度释放,小球在水平轨道上离开弹簧后进入圆弧轨道,并恰好能运动到A点.已知圆弧轨道的半径R为0.4 m,小球可视为质点,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)小球运动到A点速度大小v;
(2)小球从N点释放时,弹簧的弹性势能Ep;
(3)小球运动到与圆心等高的B点时,克服重力做功的功率P.(结果可保留根号)
1.(多选)[2024·泉州高一期中] 如图所示,在竖直平面内有半径为r和R(rA.经过最低点时机械能相等
B.经过最低点时动能相等
C.经最低点时受到的支持力大小相等
D.经最低点时受到的支持力大小不相等
2.[2024·山西朔州高一月考] 人们用滑道从高处向低处运送货物,如图所示,可看作质点的货物从四分之一圆弧滑道顶端P点由静止释放,沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为4 m/s.已知货物质量m=10 kg,滑道半径r=4 m,且过Q点的切线水平,重力加速度g取10 m/s2.关于货物从P点运动到Q点的过程,下列说法正确的是 (　)
A.重力做的功为600 J
B.经过Q点时货物对轨道的压力大小为280 N
C.经过Q点时货物的向心加速度大小为4 m/s2
D.货物克服阻力做的功为80 J
3.[2024·福州高一期末] 游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行,游客却不会掉下来,我们把这种情形抽象为如图所示的模型.水平轨道AB的右端B与半径为R=0.4 m的圆轨道相接,圆轨道向右出口与一水平导轨BD连接.一个可以视为质点的玩具过山车且质量m=0.2 kg,从水平轨道左端A以额定功率P=1 W由静止启动,沿着水平轨道运动到B点关闭电动机,恰好能通过竖直圆轨道的最高点C,最后滑上水平导轨BD.所有摩擦不计,轨道连接处无能量损失,重力加速度g取10 m/s2.求:
(1)玩具过山车通过C点时的速度大小vC;
(2)玩具过山车运动到竖直圆轨道最低点B时对轨道压力的大小;
(3)玩具过山车从A运动到B的时间.

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