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(共73张PPT)
第2节 万有引力定律的应用
第3节 人类对太空的不懈探索
第1课时 万有引力定律的应用
学习任务一 天体质量的计算
学习任务二 天体运行参量的分析与计算
学习任务三 预测未知天体
素养提升
随堂巩固
备用习题
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
◆
学习任务一 天体质量的计算
［科学思维］
1.中心天体质量的计算
(1)若已知中心天体的半径和中心天体表面的重力加速度 ,根据物体的重力近
似等于中心天体对物体的引力,有,得中心天体质量为 .
(2)若已知环绕天体的轨道半径和周期 ，将天体的运动近似看成匀速圆周运动,
天体所需的向心力都来自于万有引力,可得 .
2.天体密度的计算
(1)若已知中心天体的半径和中心天体表面的重力加速度 ,则中心天体的密度
,将代入可得 .
(2)若已知环绕天体的轨道半径和周期,则中心天体的密度 ,将
,代入可得 .
特殊情况:当卫星环绕中心天体在其表面附近运行时,卫星的轨道半径 可认为等
于中心天体的半径,则 .
考向一 重力加速度法求中心天体的质量
例1 卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确
性.应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地
球质量的人”.已知引力常量 ，地面上的重力加速度
取，地球半径 ，则地球质量约为( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据公式，可得 ，
故D正确.
√
例2 ［2024·广东东莞高一月考］地球表面的重力加速度为，地球半径为 ，引
力常量为.假设地球是一个质量分布均匀的球体，体积为 ，则地球的平均
密度是( )
A. B. C. D.
[解析] 由万有引力等于重力可得，解得 ，又地球体积为
，故密度为 ，故选A.
√
考向二 环绕法求中心天体的质量
例3 ［2024·浙江舟山高一期中］火星有“火卫1”和“火卫2”两颗卫星，是美国天
文学家霍尔在1877年8月火星大冲时发现的.其中“火卫1”的轨道离地高度为 ，
绕火星运行的周期为，火星半径为.引力常量为 ，忽略自转影响的条件下，
则火星的质量为( )
A. B. C. D.
[解析] 设“火卫1”的质量为 ，对“火卫1”根据万有引力提供向心力有
，解得火星的质量为 ，故选A.
√
例4 ［2024·海南高一期中］2024年9月4日，天问一号发布了全球分辨率最高的
火星彩色图像，填补了国际上火星探测数据的空白.已知该探测器在火星表面附
近做匀速圆周运动的周期为，火星表面的重力加速度为，引力常量为 .求：
(1) 火星的半径 ；
[答案]
[解析] 设探测器的质量为，绕火星表面做匀速圆周运动，有
得
例4 ［2024·海南高一期中］2024年9月4日，天问一号发布了全球分辨率最高的
火星彩色图像，填补了国际上火星探测数据的空白.已知该探测器在火星表面附
近做匀速圆周运动的周期为，火星表面的重力加速度为，引力常量为 .求：
(2) 火星的平均密度 .
[答案]
[解析] 设火星的质量为，探测器绕半径为 的火星表面做匀速圆周运动有
火星的体积
火星的平均密度
解得
学习任务二 天体运行参量的分析与计算
［科学思维］
行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
(1) 行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
[答案] 由，得 ，可见行星线速度的大小是由恒星的质
量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的.
(2) 行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自
身质量有关吗？
[答案] 无关，因为在中各项都含有 ，
可以消掉.
例5 ［2024·通化高一期末］如图所示，是在同一轨道平面上的三颗质量相同的
人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动.关于各物理量的关系，下列说法不正
确的是( )
A.线速度大小
B.周期
C.向心加速度大小
D.角速度
√
[解析] 由题意可得，则 ，
，，，由题图可知 ，可得
，， ，
，故选B.
例6 ［2024·四川成都高一期中］2024年3月，航天科技集团相关研究团队表示，中国计划2030年前后完成火星采样返回.火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的 ，火星的半径为地球半径的，火星的质量为地球质量的 ，火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动(探测器可视为火星的近地卫星)，探测器绕火星运行周期为 ，已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道，地球和火星可看作均匀球体，已知引力常量为 ，则( )
A.火星的公转周期和地球的公转周期之比为
B.火星的自转周期和地球的自转周期之比为
C.探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为
D.火星的平均密度为
√
[解析] 设太阳质量为，火星、地球质量分别为、，轨道半径分别为 、
，公转周期分别为、，则由万有引力提供向心力 ，
，解得 ，故A错误；由题意可知，
无法比较火星的自转周期和地球的自转周期，故B错误；设火星、地球的半径
分别为、，探测器质量为，运行速度分别为、，则 ，
，解得 ，故C正确；探测器绕火星
表面附近运行时，有，解得火星的质量为 ，火星
的体积为，即火星的平均密度为 ，故D错误.
【要点总结】
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对
它的万有引力提供，即 .
2.常用关系
(1)万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力，有
.
(2)在天体表面物体的重力近似等于它受到的万有引力，即 ,可得
，该公式称为“黄金代换”.
3.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短”.
学习任务三 预测未知天体
［质疑创新］
海王星被称为“笔尖下发现的行星”，原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟
实际观测的结果非常接近.在18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，而天王
星的运动轨道与万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差.科学家大胆预测未
知行星的存在，根据万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道并在这条轨道
附近发现了它.
例7 (多选)［2024·莆田六中高一月考］ 下列说法正确的是( )
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D.天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星
受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
√
√
[解析] 由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而
发现的，海王星不是通过观测发现的，也不是直接由万有引力定律计算出轨道
而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万
有引力定律计算出“新”行星的轨道，从而发现了海王星，海王星的发现和哈雷
彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，选项A、B错误，C、D正确.
【要点总结】
除了可以应用万有引力定律计算天体的质量外，还可以应用万有引力定律发现
未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.
1.地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 ;假设月球绕地球做匀速圆周运
动,轨道半径为,向心加速度为.已知引力常量为,地球半径为 .下列说法中正
确的是( )
A.地球质量
B.地球质量
C.地球赤道表面处的重力加速度
D.向心加速度之比
√
[解析] 根据万有引力充当向心力,有,解得地球质量 ,选项A
正确,选项B错误; 设地球表面赤道处物体受到的支持力为 ,由牛顿第二定律有
,其中,则地球表面赤道处的重力加速度 ,选项C错
误;由于地球表面赤道处物体是由于地球自转而做匀速圆周运动,故向心加速度不
与半径的二次方成反比,选项D错误.
2.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为 .假设宇航员在
该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 的物体的重力,物体静止时,弹簧测力
计的示数为,已知引力常量为 ,忽略该行星的自转,则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
[解析] 设星球半径为,星球质量为,卫星质量为 ,卫星做圆周运动向心力由
万有引力提供,即 ,而星球表面物体所受的重力大小等于万有引力,
即,联立解得星球质量 ,故B正确.
√
3.在国产科幻片《流浪地球》中,人类带着地球流浪至木星附近时,上演了地球的
生死存亡之战.木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星,早期伽利略用自制的
望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为 ,它绕木星
做匀速圆周运动的周期约为.已知木星的半径约为,引力常量为 ,则由上述数
据可以估算出( )
A.木星的质量 B.“木卫三”的质量
C.“木卫三”的密度 D.“木卫三”的向心力
√
[解析] “木卫三”绕木星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有
,解得木星的质量 ,可以估算出木星的质量,但无法
估算出“木卫三”的质量,故A正确,B错误;根据密度公式可估算出木星的密度,由于
无法估算出“木卫三”的质量和不知道“木卫三”的半径,无法估算出“木卫三”的密
度,故C错误;由于无法估算出“木卫三”的质量,根据向心力公式可知,无法估算出
“木卫三”的向心力,故D错误.
4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间 小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间 小球落回原处.(地球表面重力加速度取 ,空气阻力不计)
(1) 求该星球表面附近的重力加速度 的大小;
[答案]
[解析] 在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球,经过时间 小球落回原处,根据运动学公式可知
同理,在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,经过时间 小球落回原处,则
联立解得 .
4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间 小球落回原处;若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间 小球落回原处.(地球表面重力加速度取 ,空气阻力不计)
(2) 已知该星球的半径与地球半径之比 ,求该星球的质量与地球质量之比 .
[答案]
[解析] 在天体表面时,物体的重力近似等于万有引力,即
所以
由此可得
.
5.如图所示,火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面启动后,以加速度
为地面附近的重力加速度 竖直向上匀加速运动, 升到某一高度时,火箭在此高
度绕地球做匀速圆周运动,测试仪对平台的压力为启动前压力的 .已知地球半径
为 ,求火箭此时离地面的高度.
[答案]
[解析] 启动前测试仪对平台的压力大小
设火箭离地面的高度为时,测试仪对平台的压力大小为 ,根据牛顿第三定律可
知,平台对测试仪的支持力大小也等于
对测试仪,由牛顿第二定律得
由题意得
联立解得
根据万有引力定律知
联立解得 .
重力与万有引力的关系
1.物体在地球(地球被视为规则的球体)不同纬度的位置，随地球的自转做半径不
同的匀速圆周运动，请思考：
(1) 物体在地球不同纬度的位置，受到的万有引力大小一样吗
[答案] 根据万有引力定律 ，可知物体在地球的不同位置，受到的万
有引力大小一样
(2) 不考虑自转，万有引力和重力有何关系？
[答案] 不考虑自转，万有引力等于重力
(3) 物体在地球的不同位置，什么力提供向心力
[答案] 万有引力的一个分力提供物体随地球转动需要的向心力
2.假设地球不自转，重力与万有引力相等.考虑地球自转，地表的物体做匀速圆
周运动，圆心在地轴上的某点，此时物体所需的向心力由万有引力 指向地
轴的分力提供，而另一个分力则是物体的重力 ，如图所示.因此，重力与万有
引力是分力与合力的关系.
3.重力和纬度的关系
(1)在两极处的重力：在两极处,物体自转需要的向心力为零,满足 ,方
向指向地心.
(2)在赤道处的重力：在赤道处,物体所受的万有引力 可以分解成两个同方向的
力,其中一个是物体的重力 ,另一个是物体随地球自转需要的向心力.假设地球自
转的角速度为 ,则有,所以 ,方向指向
地心.若不考虑地球自转，则重力等于万有引力.
(3)在其他位置时，物体的重力随纬度的升高而增大，在赤道处最小，在两极处
最大.
4.星球上空某一高度处有， ，随着高度的增加，重力
加速度逐渐减小.
示例 ［2024·杭州外国语学校高一月考］若有一颗“宜居”行星，其质量为地球
的倍，半径为地球的 倍，则该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度
的比值为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据万有引力等于重力，有，，行星质量为地球的 倍，
半径为地球的倍，所以该行星表面由引力产生的重力加速度 与地球表面的重
力加速度的比值为 ，故A正确，B、C、D错误.
√
变式 ［2024·温州中学高一月考］为探究地球表面万有引力与重力的关系,一科
学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为 的物体
所受的重力.假设在两极时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为 ,在赤道上时,物
体静止时竖直方向的弹簧弹力为.地球自转角速度为 ,设地球为标准的球体,
半径为,质量为,引力常量为 .则以下表达式正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 地球自转不可忽略时，物体受到的万有引力可分解为重力和向心力，所
以物体在不同纬度处所受重力不同，在两极时轨道半径为零，向心力为零，此
时万有引力等于重力，即 ，在赤道上时轨道半径为地球半径，有
，即 ，C正确，A、B、D错误.
1.(天体运行参量的分析与计算)(多选)2023年2月10日，远在火星执行全球遥感科
学探测任务的“天问一号”火星环绕器(以下简称环绕器)，已经在火星“上岗”满两
年.作为一位功能强大的“太空多面手”，环绕器在“天问一号”火星探测任务中，
分饰了飞行器、通信器和探测器三大角色，创下多项国内外首次记录.若已知环
绕器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为、周期为，火星的半径为 ，引力
常量为 ，则可以推算出( )
A.火星的质量为
B.环绕器的质量为
C.火星表面的重力加速度大小为
D.火星的密度为
√
√
[解析] 环绕器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得
，解得火星的质量为 ，环绕器的质量无法求出，故A正
确，B错误；在火星表面，有，联立解得 ，故C错误；火星
的密度为，又，联立解得 ，故D正确.
2.(计算中心天体的质量)宇航员站在某一星球上距离星球表面 高度处以初速度
沿水平方向抛出一个小球，经过时间 ，小球落到星球表面.不计空气阻力，
已知该星球的半径为，引力常量为 ，则该星球的质量为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据，得星球表面的重力加速度,根据 ，得星
球的质量 ,故A正确.
√
3.(天体运行参量的分析与计算)(多选)如图所示，、 为北
斗导航系统中的两颗卫星，它们绕地球做匀速圆周运动的
轨道半径分别为、，周期分别为、 ，线速度大小
分别为、 ，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 根据得，，由于 ,可知
， ，故选A、D.
√
√
4.(求天体质量与公转周期)［2024·武平一中高一月考］ 2022年5月10日，天舟
四号顺利完成与天和核心舱对接，正式开启了中国空间站全面建造的大幕.天舟
四号完成对接后，在圆形轨道绕地球做匀速圆周运动.已知天舟四号距地面高度
为，地球表面的重力加速度为，地球半径为，引力常量为 .地球可视为质
量均匀分布的球体.求：
(1) 地球的质量 ；
[答案]
[解析] 物体在地球表面受到的万有引力大小等于重力，则有
解得地球的质量 .
4.(求天体质量与公转周期)［2024·武平一中高一月考］ 2022年5月10日，天舟
四号顺利完成与天和核心舱对接，正式开启了中国空间站全面建造的大幕.天舟
四号完成对接后，在圆形轨道绕地球做匀速圆周运动.已知天舟四号距地面高度
为，地球表面的重力加速度为，地球半径为，引力常量为 .地球可视为质
量均匀分布的球体.求：
(2) 天舟四号运动的周期 .
[答案]
[解析] 天舟四号绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
,解得天舟四号运动的周期为
.
练习册
知识点一 天体质量和密度的计算
1.已知地球质量约为月球质量的81倍，地球表面重力加速度约为月球表面重力
加速度的6倍.则忽略自转的情况下，地球和月球的密度之比为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 忽略自转的情况下，根据，解得 ，
解得， ，可得
，故D正确.
2.已知引力常量为 ，则根据下面的哪组数据可以算出地球的质量( )
A.月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离
B.地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离
C.地球绕太阳运行的速度及地球中心到太阳中心的距离
D.地球表面的重力加速度及地球中心到太阳中心的距离
√
[解析] 已知星球绕中心天体做圆周运动的轨道半径和周期，由 ，
得 ，可以计算出中心天体的质量，故选项B错误，A正确.已知星球绕
中心天体做圆周运动的轨道半径和速度，由，得 ，可以计
算出中心天体的质量，选项C错误.若已知地球表面的重力加速度和地球半径，
由，得地球质量，式中 是地球半径，选项D错误.
3.我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十六号卫
星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星绕地球做匀速圆周运动，
运行的周期为，运行轨道离地球表面的高度为，地球的半径为 ，引力常量
为 ，则地球的质量可表示为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据，得地球的质量 ，故选B.
√
4.(3分)［2024·三明一中高一月考］ 当前我国载人航天工程全面迈进“空间站时
代”，中国正式跻身世界航天强国，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员在中国
空间站生活180余天后成功返回地球.已知中国天宫空间站绕地球做匀速圆周运
动的轨道半径为，周期为，引力常量为 ，由此信息可得天宫空间站绕地球
做圆周运动的线速度大小为____，地球的质量为______.
[解析] 根据所给条件可知天宫空间站绕地球做圆周运动的线速度大小为 .
根据可得地球的质量为 .
知识点二 天体运行参量的分析与计算
5.［2024·广东揭阳高一期中］如图所示，卫星和卫星 分别在半径相同的轨道
上绕金星和地球做匀速圆周运动，已知金星的质量小于地球的质量，则( )
A.卫星、的线速度大小相等
B.卫星 的角速度较大
C.卫星的周期较大
D.卫星 的向心加速度较大
√
[解析] 卫星绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
，解得， ，
，，分析题意可知，金星的质量小于地球的质量，则 的角速度
大，的周期小，的线速度大， 的
向心加速度大，选项C正确.
6.如图所示，2024年11月我国发射的天舟八号货运飞船成功进入轨道高度约为
280公里的预定轨道做匀速圆周运动，已知空间站的轨道高度约为430公里.若只
考虑地球对它们的作用，则天舟八号在预定轨道运行与空间站在其轨道上运行
相比( )
A.天舟八号在轨道上运行时的向心加速度较小
B.它们各自在轨道上运行时的周期相等
C.天舟八号在轨道上运行时的线速度较大
D.天舟八号在轨道上运行时的角速度较小
√
[解析] 由题可知，万有引力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得
，解得 ，由于空间站运行的轨道半径大于天舟八号运行的轨
道半径，故天舟八号的向心加速度较大，A错误；同理，根据牛顿第二定律有
，解得 ，
故空间站的运行周期大于天舟八号
的运行周期，B错误；
根据牛顿第二定律可知，解得 ，由于天舟八号运行的轨道半径小于空间站运行的轨道半径，故天舟八号在轨运行的线速度大于空间站运
行的线速度，C正确；根据，可得 ，结合上述分析可知，空间站的运行周期大于天舟八号的运行周期，故天舟八号在轨道上运行时的角速度较大，D错误.
7.(多选)已知空间站离地面的高度为，地球的半径为 ，地球表面的重力加速
度为，引力常量为 ，忽略地球自转.若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，
则下列说法正确的是( )
A.空间站的周期为
B.空间站的线速度大小为
C.空间站的角速度为
D.空间站中的航天员在睡眠区睡眠时，他们相对于地心处于平衡状态
√
√
[解析] 由万有引力提供向心力，可得 ，其中，在地球表
面有，解得 ，A正确；由万有引力提供向心力，可得，解得 ，B正确；由万有引力提供向心力，可，解得 ，C错误；空间站中的航天员在睡眠区睡眠时，他们随空间站绕地心做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，处于完全失重状态，因此他们相对于地心没有处于平衡状态，D错误.
知识点三 发现未知天体
8.瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹 因为发现了围绕其他类太阳恒星
运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为 ,
质量为,公转半径为,公转周期为.一质量为 的宇宙飞船围绕该系外行星做匀
速圆周运动,半径为,周期为.不考虑其他天体的影响,已知引力常量为 ,则有
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 质量为 的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动，它们之间的万有
引力提供宇宙飞船所需的向心力，可得，整理可得 ，故
C正确，D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体，题中系外
行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同，不能使用开普勒第三定
律，故A、B错误.
9.［2023·同安一中高一月考］中国“天问一号”探测器进入环火轨道，标志着我
国航天强国建设迈出坚定步伐.假设“天问一号”环绕火星的轨道半径等于某个环
绕地球运动的卫星的轨道半径，若地球表面重力加速度是火星表面的重力加速
度的倍，火星的半径是地球半径的 倍(不考虑它们本身的自转)，火星和地球
均可视为均匀球体，则下列说法正确的是 ( )
A.“天问一号”与该卫星的环绕运动周期之比为
B.火星与地球的密度之比为
C.火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为
D.“天问一号”与该卫星的环绕速度之比为
√
[解析] 设火星与地球的质量分别是、，由，得 ，又
，知，用表示“天问一号”环绕火星运动的周期，
表示该卫星环绕地球运动的周期，则，故A正确；由 ，得
火星与地球的密度之比为，故B错误；由 ，得火星表面卫星与地
球表面卫星的环绕速度之比为，故C错误；由， ，
得“天问一号”与该卫星的线速度之比为 ，故D错误.
10.(多选)［2024·南平一中高一月考］ 一宇宙飞船以速度 环绕行星表面匀速飞
行，测得其周期为.已知引力常量为 ，行星可视为均匀球体，忽略行星自转.
则( )
A.该行星的半径为 B.该行星的质量为
C.该行星的平均密度为 D.该行星表面的重力加速度为
√
√
[解析] 由公式可得，飞船的轨道半径为 ，由于飞船在行星表面飞
行，则行星的半径等于飞船的轨道半径，即 ，故A正确；由万有引力提供
向心力有，解得行星的质量为，又有 ，
行星的平均密度为 ，故B、C错误；由万有引力等于重力有
，解得 ，故D正确.
11.我国口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“ ”，其自转周
期 .假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为
.以周期 稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A. B. C. D.
[解析] 脉冲星自转，质量为 的边缘物体恰对星体无压力时万有引力提供向心
力，则有，又知 ，整理得密度
.
√
12.恒星的引力坍缩的结果是形成一颗致密星，如白矮星、中子星、黑洞等，由
于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放，通过对引力坍缩进行计算机数
值模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一，中
子星(可视为均匀球体)，自转周期为 时恰能维持星体的稳定(不因自转而瓦解)，
当中子星的自转周期增为 时，某物体在该中子星“两极”所受重力大小与
在“赤道”所受重力大小的比值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当中子星的自转周期为时恰能维持星体的稳定，则其赤道上质量为
的物体所受万有引力恰好提供其自转的向心力，即 ;当中子星的
自转周期增为时，质量为 的物体在两极的线速度为零，所受重力大小
等于万有引力，即;设物体在赤道所受的重力大小为 ，根据牛顿
第二定律有，联立解得 ，故D正确.
13.(12分)［2024·莆田一中高一月考］ 如图所示，绕地球做圆周运动的卫星的运行周期为，对地张角. 地球的半径为，引力
常量为 ，球的体积，其中 为球的半径.求：
(1) (4分)地球的质量 ；
[答案]
[解析] 根据几何关系可知，该卫星的轨道半径
设该卫星的质量为 ，根据牛顿第二定律得
解得
13.(12分)［2024·莆田一中高一月考］ 如图所示，绕地球做圆周运动的卫星的
运行周期为，对地张角. 地球的半径为，引力常量为 ，球的体积
，其中 为球的半径.求：
(2) (4分)地球的平均密度 ；
[答案]
[解析] 地球的体积
地球的密度为
解得
13.(12分)［2024·莆田一中高一月考］ 如图所示，绕地球做圆周运动的卫星的
运行周期为，对地张角. 地球的半径为，引力常量为 ，球的体积
，其中 为球的半径.求：
(3) (4分)地球近地卫星的运行周期 .
[答案]
[解析] 设某地球近地卫星的质量为 ，根据牛顿第二
定律得
解得
例1 D 例2 A 例3 A 例4 （1） （2） ［科学思维］ （1）由，得，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的. （2）无关，因为在中各项都含有，可以消掉. 例5 B 例6 C > 例7 CD 素养提升 1.（1）根据万有引力定律，可知物体在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样 （2）不考虑自转，万有引力等于重力
（3）万有引力的一个分力提供物体随地球转动需要的向心力 示例 A 变式 C
随堂巩固 1.AD 2.A 3.AD 4.（1） （2）
基础巩固练
1.D 2.A 3.B 4. 5.C 6.C 7.AB 8.C
综合提升练
9.A 10.AD 11.C
拓展挑战练
12.D 13.（1） （2） （3）第2节　万有引力定律的应用　第3节　人类对太空的不懈探索
第1课时　万有引力定律的应用
1.D　[解析] 忽略自转的情况下,根据G=mg,解得R=,解得===, ρ===,可得=·=6×=,故D正确.
2.A　[解析] 已知星球绕中心天体做圆周运动的轨道半径和周期,由G=mr,得M=,可以计算出中心天体的质量,故选项B错误,A正确.已知星球绕中心天体做圆周运动的轨道半径和速度,由G=m,得M=,可以计算出中心天体的质量,选项C错误.若已知地球表面的重力加速度和地球半径,由=mg,得地球质量M=,式中R是地球半径,选项D错误.
3.B　[解析] 根据G=m(R+h),得地球的质量M=,故选B.
4.　
[解析] 根据所给条件可知天宫空间站绕地球做圆周运动的线速度大小为v=.根据G=mr可得地球的质量为M=.
5.C　[解析] 卫星绕星球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=m=mr=mω2r=ma,解得ω=,T=2π,v= ,a=,分析题意可知,金星的质量小于地球的质量,则b的角速度大,b的周期小,b的线速度大,b的向心加速度大,选项C正确.
6.C　[解析] 由题可知,万有引力提供圆周运动的向心力,根据牛顿第二定律可得G=ma,解得a=,由于空间站运行的轨道半径大于天舟八号运行的轨道半径,故天舟八号的向心加速度较大,A错误;同理,根据牛顿第二定律有=mr,解得T=2π,故空间站的运行周期大于天舟八号的运行周期,B错误;根据牛顿第二定律可知=m,解得v=,由于天舟八号运行的轨道半径小于空间站运行的轨道半径,故天舟八号在轨运行的线速度大于空间站运行的线速度,C正确;根据T=,可得ω=,结合上述分析可知,空间站的运行周期大于天舟八号的运行周期,故天舟八号在轨道上运行时的角速度较大,D错误.
7.AB　[解析] 由万有引力提供向心力,可得G=m(R+h),其中,在地球表面有G=mg,解得T=2π,A正确;由万有引力提供向心力,可得G=m,解得v=,B正确;由万有引力提供向心力,可得G=mω2(R+h),解得ω=,C错误;空间站中的航天员在睡眠区睡眠时,他们随空间站绕地心做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,处于完全失重状态,因此他们相对于地心没有处于平衡状态,D错误.
8.C　[解析] 质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供宇宙飞船所需的向心力,可得G=mr1,整理可得=,故C正确,D错误.开普勒第三定律仅适用于绕同一中心天体运动的物体,题中系外行星公转和宇宙飞船绕系外行星飞行的中心天体不同,不能使用开普勒第三定律,故A、B错误.
9.A　[解析] 设火星与地球的质量分别是M1、M2,由G=mg,得=,又G=mr,知T=2π,用T1表示“天问一号”环绕火星运动的周期,T2表示该卫星环绕地球运动的周期,则==,故A正确;由ρ=,得火星与地球的密度之比为=,故B错误;由v=,得火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为∶,故C错误;由G=m,G=mg,得“天问一号”与该卫星的线速度之比为q∶,故D错误.
10.AD　[解析] 由公式v=可得,飞船的轨道半径为r=,由于飞船在行星表面飞行,则行星的半径等于飞船的轨道半径,即R=,故A正确;由万有引力提供向心力有=m,解得行星的质量为M==,又有V=πR3=,行星的平均密度为ρ==,故B、C错误;由万有引力等于重力有=mg,解得g==,故D正确.
11.C　[解析] 脉冲星自转,质量为m的边缘物体恰对星体无压力时万有引力提供向心力,则有G=mr,又知M=ρ·πr3,整理得密度ρ== kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
12.D　[解析] 当中子星的自转周期为T0时恰能维持星体的稳定,则其赤道上质量为m的物体所受万有引力恰好提供其自转的向心力,即G=mR;当中子星的自转周期增为T=3T0时,质量为m的物体在两极的线速度为零,所受重力大小等于万有引力,即mg=G;设物体在赤道所受的重力大小为mg',根据牛顿第二定律有G=mR+mg',联立解得=,故D正确.
13.(1)　(2)　(3)T0
[解析] (1)根据几何关系可知,该卫星的轨道半径r1==2R
设该卫星的质量为m1,根据牛顿第二定律得
G=m1r1
解得M=
(2)地球的体积V=πR3
地球的密度为ρ=
解得ρ=
(3)设某地球近地卫星的质量为m2,根据牛顿第二定律得
G=m2R
解得T=T0第1课时　万有引力定律的应用
例1　D　[解析] 根据公式=mg,可得m地== kg=6×1024 kg,故D正确.
例2　A　[解析] 由万有引力等于重力可得=mg,解得M=,又地球体积为V=πR3,故密度为ρ==,故选A.
例3　A　[解析] 设“火卫1”的质量为m,对“火卫1”根据万有引力提供向心力有=m··(R+h),解得火星的质量为M=,故选A.
例4　(1)　(2)
[解析] (1)设探测器的质量为m,绕火星表面做匀速圆周运动,有mg=mr
得r=
(2)设火星的质量为M,探测器绕半径为r的火星表面做匀速圆周运动有G=mr
火星的体积V=πr3
火星的平均密度ρ=
解得ρ=
[科学思维] (1)由G=m,得v=,可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星绕恒星运动的轨道半径共同决定的.
(2)无关,因为在G=ma=m=mω2r=mr中各项都含有m,可以消掉.
例5　B　[解析] 由题意可得=m=mR=mω2R=ma,则a=,v=,ω=,T=,由题图可知RAvB>vC,aA>aB>aC,ωA>ωB>ωC,故选B.
例6　C　[解析] 设太阳质量为M,火星、地球质量分别为m1、m2,轨道半径分别为r1、r2,公转周期分别为T1、T2,则由万有引力提供向心力G=m1r1,G=m2r2,解得===,故A错误;由题意可知,无法比较火星的自转周期和地球的自转周期,故B错误;设火星、地球的半径分别为R1、R2,探测器质量为m,运行速度分别为v1、v2,则G=m,G=m,解得===,故C正确;探测器绕火星表面附近运行时,有G=mR1,解得火星的质量为m1=,火星的体积为V=π,即火星的平均密度为ρ==,故D错误.
例7　CD　[解析] 由行星的发现历史可知,天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的,海王星不是通过观测发现的,也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的,而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出“新”行星的轨道,从而发现了海王星, 海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位,选项A、B错误,C、D正确.
素养提升
1.(1)根据万有引力定律F=G,可知物体在地球的不同位置,受到的万有引力大小一样　(2)不考虑自转,万有引力等于重力　(3)万有引力的一个分力提供物体随地球转动需要的向心力
示例　A　[解析] 根据万有引力等于重力,有=mg,g=,行星质量为地球的a倍,半径为地球的b倍,所以该行星表面由引力产生的重力加速度g'与地球表面的重力加速度g的比值为=,故A正确,B、C、D错误.
变式　C　[解析] 地球自转不可忽略时,物体受到的万有引力可分解为重力和向心力,所以物体在不同纬度处所受重力不同,在两极时轨道半径为零,向心力为零,此时万有引力等于重力,即F1=,在赤道上时轨道半径为地球半径,有=F2+mω2R,即F1=F2+mω2R,C正确,A、B、D错误.
随堂巩固
1.AD　[解析] 环绕器绕火星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,可得=mr,解得火星的质量为M=,环绕器的质量无法求出,故A正确,B错误;在火星表面,有=mg,联立解得g=,故C错误;火星的密度为ρ=,又V=πR3,联立解得ρ=,故D正确.
2.A　[解析] 根据h=gt2,得星球表面的重力加速度g=,根据G=mg,得星球的质量M==,故A正确.
3.AD　[解析] 根据G=m=mr得v=,T=,由于rA>rB,可知TA>TB ,vA4.(1)　(2)
[解析] (1)物体在地球表面受到的万有引力大小等于重力,则有=m0g
解得地球的质量M=.
(2)天舟四号绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力可得=m(R+h),解得天舟四号运动的周期为T===.◆ 知识点一　天体质量和密度的计算
1.已知地球质量约为月球质量的81倍,地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍.则忽略自转的情况下,地球和月球的密度之比为 (　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.已知引力常量为G,则根据下面的哪组数据可以算出地球的质量 (　)
A.月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离
B.地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离
C.地球绕太阳运行的速度及地球中心到太阳中心的距离
D.地球表面的重力加速度及地球中心到太阳中心的距离
3.我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,成功将遥感三十六号卫星顺利送入预定轨道,发射任务获得圆满成功.该卫星绕地球做匀速圆周运动,运行的周期为T,运行轨道离地球表面的高度为h,地球的半径为R,引力常量为G,则地球的质量可表示为 (　)
A. B.
C. D.
4.(3分)[2024·三明一中高一月考] 当前我国载人航天工程全面迈进“空间站时代”,中国正式跻身世界航天强国,翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员在中国空间站生活180余天后成功返回地球.已知中国天宫空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r,周期为T,引力常量为G,由此信息可得天宫空间站绕地球做圆周运动的线速度大小为　　　　,地球的质量为　　　　.
◆ 知识点二　天体运行参量的分析与计算
5.[2024·广东揭阳高一期中] 如图所示,卫星a和卫星b分别在半径相同的轨道上绕金星和地球做匀速圆周运动,已知金星的质量小于地球的质量,则　　 (　)
A.卫星a、b的线速度大小相等
B.卫星a的角速度较大
C.卫星a的周期较大
D.卫星a的向心加速度较大
6.如图所示,2024年11月我国发射的天舟八号货运飞船成功进入轨道高度约为280公里的预定轨道做匀速圆周运动,已知空间站的轨道高度约为430公里.若只考虑地球对它们的作用,则天舟八号在预定轨道运行与空间站在其轨道上运行相比 (　)
A.天舟八号在轨道上运行时的向心加速度较小
B.它们各自在轨道上运行时的周期相等
C.天舟八号在轨道上运行时的线速度较大
D.天舟八号在轨道上运行时的角速度较小
7.(多选)已知空间站离地面的高度为h,地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,忽略地球自转.若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动,则下列说法正确的是 (　)
A.空间站的周期为2π
B.空间站的线速度大小为
C.空间站的角速度为
D.空间站中的航天员在睡眠区睡眠时,他们相对于地心处于平衡状态
◆ 知识点三　发现未知天体
8.瑞士天文学家迪迪埃·奎洛兹(Didier Queloz)因为发现了围绕其他类太阳恒星运行的系外行星而获得了2019年诺贝尔物理学奖.假设某一系外行星的半径为R,质量为M,公转半径为r,公转周期为T.一质量为m的宇宙飞船围绕该系外行星做匀速圆周运动,半径为r1,周期为T1.不考虑其他天体的影响,已知引力常量为G,则有 (　)
A.= B.=
C.= D.=
9.[2023·同安一中高一月考] 中国“天问一号”探测器进入环火轨道,标志着我国航天强国建设迈出坚定步伐.假设“天问一号”环绕火星的轨道半径等于某个环绕地球运动的卫星的轨道半径,若地球表面重力加速度是火星表面的重力加速度的k倍,火星的半径是地球半径的q倍(不考虑它们本身的自转),火星和地球均可视为均匀球体,则下列说法正确的是 (　)
A.“天问一号”与该卫星的环绕运动周期之比为∶q
B.火星与地球的密度之比为q∶k
C.火星表面卫星与地球表面卫星的环绕速度之比为q∶
D.“天问一号”与该卫星的环绕速度之比为∶k
10.(多选)[2024·南平一中高一月考] 一宇宙飞船以速度v环绕行星表面匀速飞行,测得其周期为T.已知引力常量为G,行星可视为均匀球体,忽略行星自转.则 (　)
A.该行星的半径为
B.该行星的质量为
C.该行星的平均密度为
D.该行星表面的重力加速度为
11.我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T=5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为 (　)
A.5×109 kg/m3　　　B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
12.恒星的引力坍缩的结果是形成一颗致密星,如白矮星、中子星、黑洞等,由于在引力坍缩中很有可能伴随着引力波的释放,通过对引力坍缩进行计算机数值模拟以预测其释放的引力波波形是当前引力波天文学界研究的课题之一,中子星(可视为均匀球体),自转周期为T0时恰能维持星体的稳定(不因自转而瓦解),当中子星的自转周期增为T=3T0时,某物体在该中子星“两极”所受重力大小与在“赤道”所受重力大小的比值为 (　)
A. B. C. D.
13.(12分)[2024·莆田一中高一月考] 如图所示,绕地球做圆周运动的卫星的运行周期为T0,对地张角θ=60°.地球的半径为R,引力常量为G,球的体积V=πr3,其中r为球的半径.求:
(1)(4分)地球的质量M;
(2)(4分)地球的平均密度ρ;
(3)(4分)地球近地卫星的运行周期T.
第2课时　人造卫星　宇宙速度 (时间:40分钟　总分:63分)
(单选题每小题4分,多选题每小题6分)第1课时　万有引力定律的应用
学习任务一　天体质量的计算
[科学思维]
1.中心天体质量的计算
(1)若已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g,根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力,有mg=G,得中心天体质量为M=.
(2)若已知环绕天体的轨道半径r和周期T,将天体的运动近似看成匀速圆周运动,天体所需的向心力都来自于万有引力,可得M=.
2.天体密度的计算
(1)若已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g,则中心天体的密度ρ=,将M=代入可得ρ=.
(2)若已知环绕天体的轨道半径r和周期T,则中心天体的密度ρ=,将M=,代入可得ρ=.
特殊情况:当卫星环绕中心天体在其表面附近运行时,卫星的轨道半径r可认为等于中心天体的半径R,则ρ=.
考向一　重力加速度法求中心天体的质量
例1 卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量,以实验验证了万有引力定律的正确性.应用引力常量还可以计算出地球的质量,卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”.已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,地面上的重力加速度g取9.8 m/s2,地球半径R=6.4×106 m,则地球质量约为 (　)
A.6×1018 kg 　　　　　　 B.6×1020 kg
C.6×1022 kg D.6×1024 kg
[反思感悟]
例2 [2024·广东东莞高一月考] 地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G.假设地球是一个质量分布均匀的球体,体积为πR3,则地球的平均密度是 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟]
考向二　环绕法求中心天体的质量
例3 [2024·浙江舟山高一期中] 火星有“火卫1”和“火卫2”两颗卫星,是美国天文学家霍尔在1877年8月火星大冲时发现的.其中“火卫1”的轨道离地高度为h,绕火星运行的周期为T,火星半径为R.引力常量为G,忽略自转影响的条件下,则火星的质量为 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟]
例4 [2024·海南高一期中] 2024年9月4日,天问一号发布了全球分辨率最高的火星彩色图像,填补了国际上火星探测数据的空白.已知该探测器在火星表面附近做匀速圆周运动的周期为T,火星表面的重力加速度为g,引力常量为G.求:
(1)火星的半径r;
(2)火星的平均密度ρ.
学习任务二　天体运行参量的分析与计算
[科学思维] 行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗
例5 [2024·通化高一期末] 如图所示,是在同一轨道平面上的三颗质量相同的人造地球卫星,均绕地球做匀速圆周运动.关于各物理量的关系,下列说法不正确的是 (　)
A.线速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
[反思感悟]
例6 [2024·四川成都高一期中] 2024年3月,航天科技集团相关研究团队表示,中国计划2030年前后完成火星采样返回.火星公转轨道半径是地球公转轨道半径的,火星的半径为地球半径的,火星的质量为地球质量的,火星探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动(探测器可视为火星的近地卫星),探测器绕火星运行周期为T,已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道,地球和火星可看作均匀球体,已知引力常量为G,则 (　)
A.火星的公转周期和地球的公转周期之比为
B.火星的自转周期和地球的自转周期之比为
C.探测器环绕火星表面运行速度与环绕地球表面运行速度之比为
D.火星的平均密度为
[反思感悟]
【要点总结】
1.基本思路
一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,即F=F万.
2.常用关系
(1)万有引力提供行星或卫星做匀速圆周运动的向心力,有G=m=mω2r=mr=mωv=ma.
(2)在天体表面物体的重力近似等于它受到的万有引力,即mg=G,可得gR2=Gm中,该公式称为“黄金代换”.
3.四个重要结论
项目 推导式 关系式 结论
v与r的 关系 G=m v= r越大, v越小
ω与r的 关系 G=mω2r ω= r越大, ω越小
T与r的 关系 G= mr T=2π r越大, T越大
a与r 的关系 G=ma a= r越大, a越小
口诀:“高轨低速周期长,低轨高速周期短”.
学习任务三　预测未知天体
[质疑创新] 海王星被称为“笔尖下发现的行星”,原因就是计算出来的轨道和预测的位置跟实际观测的结果非常接近.在18世纪,人们已经知道太阳系有7颗行星,而天王星的运动轨道与万有引力定律计算出来的轨道总有一些偏差.科学家大胆预测未知行星的存在,根据万有引力定律计算出了这颗“新”行星的轨道并在这条轨道附近发现了它.
例7 (多选)[2024·莆田六中高一月考] 下列说法正确的是 (　)
A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C.海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位
D.天王星的运动轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此,人们发现了海王星
[反思感悟]
【要点总结】
除了可以应用万有引力定律计算天体的质量外,还可以应用万有引力定律发现未知天体,海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.
素养提升
重力与万有引力的关系
1.物体在地球(地球被视为规则的球体)不同纬度的位置,随地球的自转做半径不同的匀速圆周运动,请思考:
(1)物体在地球不同纬度的位置,受到的万有引力大小一样吗

(2)不考虑自转,万有引力和重力有何关系

(3)物体在地球的不同位置,什么力提供向心力
2.假设地球不自转,重力与万有引力相等.考虑地球自转,地表的物体做
匀速圆周运动,圆心在地轴上的某点,此时物体所需的向心力F由万有引力F引指向地轴的分力提供,而另一个分力则是物体的重力G,如图所示.因此,重力与万有引力是分力与合力的关系.
3.重力和纬度的关系
(1)在两极处的重力:在两极处,物体自转需要的向心力为零,满足mg=G,方向指向地心.
(2)在赤道处的重力:在赤道处,物体所受的万有引力F引可以分解成两个同方向的力,其中一个是物体的重力G,另一个是物体随地球自转需要的向心力.假设地球自转的角速度为ω,则有G=mg+mω2R,所以mg=G-mω2R,方向指向地心.若不考虑地球自转,则重力等于万有引力.
(3)在其他位置时,物体的重力随纬度的升高而增大,在赤道处最小,在两极处最大.
4.星球上空某一高度h处有G=mg',g'=,随着高度的增加,重力加速度逐渐减小.
示例 [2024·杭州外国语学校高一月考] 若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的a倍,半径为地球的b倍,则该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值为(　)
A. B. C. D.
变式 [2024·温州中学高一月考] 为探究地球表面万有引力与重力的关系,一科学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为m的物体所受的重力.假设在两极时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为F1,在赤道上时,物体静止时竖直方向的弹簧弹力为F2.地球自转角速度为ω,设地球为标准的球体,半径为R,质量为M,引力常量为G.则以下表达式正确的是(　)
A.F1=F2 B.F2=
C.F1=F2+mω2R D.=ω2R
1.(天体运行参量的分析与计算)(多选)2023年2月10日,远在火星执行全球遥感科学探测任务的“天问一号”火星环绕器(以下简称环绕器),已经在火星“上岗”满两年.作为一位功能强大的“太空多面手”,环绕器在“天问一号”火星探测任务中,分饰了飞行器、通信器和探测器三大角色,创下多项国内外首次记录.若已知环绕器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r、周期为T,火星的半径为R,引力常量为G,则可以推算出 (　)
A.火星的质量为
B.环绕器的质量为
C.火星表面的重力加速度大小为
D.火星的密度为
2.(计算中心天体的质量)宇航员站在某一星球上距离星球表面h高度处以初速度v0沿水平方向抛出一个小球,经过时间t,小球落到星球表面.不计空气阻力,已知该星球的半径为R,引力常量为G,则该星球的质量为 (　)
A. B.
C. D.
3.(天体运行参量的分析与计算)(多选)如图所示,A、B为北斗导航系统中的两颗卫星,它们绕地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为rA、rB,周期分别为TA、TB,线速度大小分别为vA、vB,则　 (　)
A.TA>TB B.TAC.vA>vB D.vA4.(求天体质量与公转周期)[2024·武平一中高一月考] 2022年5月10日,天舟四号顺利完成与天和核心舱对接,正式开启了中国空间站全面建造的大幕.天舟四号完成对接后,在圆形轨道绕地球做匀速圆周运动.已知天舟四号距地面高度为h,地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G.地球可视为质量均匀分布的球体.求:
(1)地球的质量M;
(2)天舟四号运动的周期T.

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