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2025—2026学年度第一学期高三第一次月考试题
数 学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数(a＞0且a≠1) ，若，则（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数,在处取得最小值，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数且在单调递增
B．函数的定义域为
C．若且，则
D．若，则
10．已知实数，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数图象的一条对称轴方程为，则（ ）
A． B．
C．图象的一条对称轴为直线 D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。
12．小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图1)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图2)，在扇形AOB中，∠AOB=，OA=10 cm，则扇形AOB的面积为 cm2.
13．已知函数 ，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是 ．
14．设函数的定义域为，满足．当时，，则函数最小正周期为 ；方程有且仅有 个实数解
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知数列的前项和，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于任意正整数，都有，求实数的最小值.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）把的图象向左平移个单位长度，得到的图象. 若的图象关于直线对称，求的最小值.
17.（本小题满分15分）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC .
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AC=5，BC=12，三棱锥P-ABC的体积为 100，
求二面角A-PB-C的余弦值.
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若，求函数的零点个数.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为，F1, F2分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线与椭圆C交于P, Q两点.
① 若P, Q中点的横坐标为，求m的值；
② 已知点D(2,1)，直线DP, DQ与直线分别交于点 M , N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN为平行四边形. 若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由.2025—2026学年度第一学期高三第一次月考答案
数 学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C A B D A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD BD BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。
12． 13． 14．8；6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）当时，， ………………3分
则， ………………5分
当时，，满足上式，所以 ………………6分
（2）由 ………………8分
………………10分
………12分
所以，即的最小值为 ………………13分
16．解：
（1） ……………1分
……………3分
由 ……………5分
得 ……………6分
所以的单调递增区间为 ……………7分
（2）由 (1) 知 ……………9分
若的图象关于直线对称,
则 ……………11分
所以 ……………13分
解得 ……………14分
因为，所以取，得的最小值为. ……………15分
17．解：
（1）证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为平面ABC，所以PA⊥BC …3分
又因为AC⊥BC，平面PAC,所以BC⊥平面 PAC, ……5分
又因为平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC. ……6分
（2）因为 AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以
又因为三棱锥P-ABC的体积为100，即得 ……8分
由题意可得以A为原点，分别以平行于BC，及AC, AP
所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图, 则
令，得，则 ……11分
设平面PBC的一个法向量为，则
令，得，则 ……………13分
设二面角A-PB-C为，则14分
所以锐二面角A-PB-C的余弦值为 ……………15分
18．解：
（1）若，则，，x>0 ……………1分
所以， ……………3分
因此曲线在点处的切线方程为 ……………4分
（2），x>0
令，得 ……………5分
当0当a=1时，，单调递增 ……………8分
当a>1时，，单调递增 ……………10分
（3），x>0
令，得 ……………11分
所以当时，，单调递减;
当时, ，单调递增，
因此 ……………13分
当时, , 且 ……………14分
由 (2) 可知，存在，满足,
又当且时, ……………16分
故有两个零点. ……………17分
19．解：
（1）因为离心率为，所以, 故 ……………2分
所以，所以 ……………3分
故椭圆C的方程为 ……………5分
（2）①设， ,
由 ，得
由，得
， ……………7分
设PQ中点坐标为，则 ……………9分
因为在直线PQ上，所以，即 ……10分
所以，解得 ……………11分
②存在点使得四边形DMHN为平行四边形，
因为D(2,1)在椭圆上，所以易知，
设直线DM的方程为 ……………12分
令，得
同理得 ……………14分
又由①知
所以
………16分
所以线段MN的中点坐标为(3,0)
连接DH，则线段DH的中点坐标也为(3,0)，
由D(2,1)，可得 ，
所以点H的坐标为 ……………17分

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