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2025年高三专项训练：圆锥曲线中的探究性问题
一、单选题
1.已知曲线，对于命题：垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；若，为曲线上任意两点，则有下列判断正确的是 ．
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
2.如图，某家用电暖器是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径图是该电暖器的轴截面，防护罩的宽度等于热馈源到口径的距离，已知口径长为，防护罩宽为，则顶点到防护罩外端的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知点是椭圆上一点，，分别是圆和圆上的点，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知点是双曲线下支上的一点，、分别是双曲线的上、下焦点，是的内心，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图，已知点在焦点为、的椭圆上运动，则与的边相切，且与边，的延长线相切的圆的圆心一定在( )
A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一个椭圆上 D. 一条抛物线上
7.平面直角坐标系中有两点和以为圆心，正整数为半径的圆记为以为圆心，正整数为半径的圆记为对于正整数，点是圆与圆的交点，且，，，，都位于第二象限则这个点都在同一( )
A. 直线上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上
二、多选题
8.设点为曲线：上一点，，异于点是曲线上关于坐标原点对称的两点．设直线，的斜率分别为是，，且，则关于该曲线的下列结论正确的是( )
A. 当时，曲线为圆
B. 当时，曲线为焦点在轴上的双曲线
C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
D. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
9.椭圆：的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是( )
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
B. 椭圆上存在点，使得
C. 椭圆的离心率为
D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则线段的最大长度为
10.椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，以下说法正确的是( )
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
B. 椭圆上存在点，使得
C. 椭圆的离心率为
D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则线段的最大长度为
11.已知抛物线，过焦点的动直线交抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线交于点，则( )
A. 点在准线上
B.
C. ，，三点的横坐标依次成等比数列
D.
三、解答题
12.已知双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
求双曲线的标准方程；
是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
13.已知直线与抛物线交于，两点，且线段恰好被点平分．
求直线的方程；
抛物线上是否存在点和，使得，关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
14．设，分别是椭圆的左、右焦点，的离心率为短轴长为．
求椭圆的方程：
过点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
15.本小题分
已知抛物线：的焦点为，直线：与交于，两点．
求的方程．
求的取值范围．
设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
16.已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线不与轴重合交椭圆于，两点．

求椭圆的标准方程；
若，求的面积；
是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
17.已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上
当，且为线段的中点时，证明：；
记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为．
求，的值；
过点的直线与，分别交于点，均异于点，，是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19.在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使．
求点的轨迹的方程；
求的外心的纵坐标的取值范围；
设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.文心雕龙有语：“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数设点的轨迹为曲线，若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“齐备直线”．
若，求曲线的方程；
若“齐备直线”：与曲线相交于，两点，点为曲线上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，试判断是否存在，使得取得最小值？说明理由；
若，与曲线有公共点的“齐备直线”与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段的中点，求证：直线与曲线有且仅有一个公共点．
21.本小题分
已知椭圆的中心为，左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为．
求椭圆的方程；
椭圆上是否存在三个点，，，使得直线过椭圆的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在请说明理由．
22．某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：、两个信号源相距米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒注：信号每秒传播米在时刻时，测得机器鼠距离点为米．
以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系如图，求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
23.已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
24.已知，，动点满足，
求动点的轨迹的方程
设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，．
(ⅰ)证明：点在定直线上，并求出定直线方程
(ⅱ)是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标若不存在，请说明理由．
25.已知是抛物线：上一点，是抛物线的焦点，已知，
Ⅰ求抛物线的方程及的值；
Ⅱ当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为，求点的坐标；
Ⅲ满足第Ⅱ问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，，问抛物线的准线上是否存在一点使得，．
26.已知点，，动点满足直线的斜率与直线的斜率乘积为当时，点的轨迹为当时，点的轨迹为．
求，的方程
是否存在过右焦点的直线，满足直线与交于，两点，直线与交于，两点，且若存在，求出所有满足条件的直线的斜率之积若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】曲线，
当
当
当
画出图像如图，易知正确；易知函数为减函数，则任意两点斜率，正确．
故选A．
2.【答案】
【解析】根据题意，
以为原点建立直角坐标系：
设抛物线的方程为，所以
由点在抛物线上，得，
解得，
即，
所以顶点到防护罩外端的距离为．
3.【答案】
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得，，
可得，，设，，，
在中由余弦定理得，，
化简得，
该式可化为：，
结合，，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】如图，椭圆的，，所以，
圆和圆的圆心为椭圆的两个焦点，
则当，为如图所示位置时，的最小值为．
故选：．
由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
5.【答案】
【解析】如图，设圆与的三边、、分别相切于点、、，连接、、，
则，，，它们分别是，，的高，
，
，
，
其中是的内切圆的半径．
，
，
两边约去得：，
，
根据双曲线定义，得，，
离心率为．
故答案选：．
6.【答案】
【解析】如图，
设圆与，，分别相切于，，
由切线定理得：，，，
因为在椭圆上，
为定值．
切点
圆心在过垂直于椭圆所在轴的直线上．
故选A．
7.【答案】
【解析】圆的方程为：，
圆的方程为：，
两式相减得，，
所以圆与圆公共弦所在的直线方程为：，
代入得，，
整理得，
而，
故，
即，为双曲线方程．
故选D．
8.【答案】
【解析】设，则，由题意
两式做差得：，即，
又因为，所以．
对于，当时，曲线为：，所以曲线为圆，选项A正确；
对于，当时，曲线为：，所以曲线焦点在轴上的双曲线，所以不正确；
对于，当时，，曲线为：，所以曲线焦点在轴上的椭圆，故C正确；
对于，当时，，曲线为：，所以曲线焦点在轴上的椭圆，故D正确．
故选ACD．
9.【答案】
【解析】对于、因为，
所以的周长为，因此 A正确；
对于、因为方程组，解得
所以以椭圆焦距为直径的圆与椭圆有交点，所以椭圆上存在点，使，即，所以B正确；
对于、因为椭圆的离心率为，所以不正确；
对于、因为，
当且仅当、、共线时，等号成立，
即，或，时，等号成立，所以D正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】对于、因为，
所以的周长为，因此 A正确；
对于、因为方程组，解得
所以以椭圆焦距为直径的圆与椭圆有交点，所以椭圆上存在点，使，即，所以B正确；
对于、因为椭圆的离心率为，所以不正确；
对于、因为，
当且仅当，或，时，等号成立，所以D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】因为焦点为，所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，．
由，可得，
显然，且．
由，则，
即在点处的切线为，
因为，所以切线为；
同理可得抛物线在点处的切线为．
对于，由和联立可得，
，，
即交点的坐标为，所以点在准线上，故A正确；
对于，因为
，
所以，故B正确；
对于，因为，，所以，
即，，三点的横坐标依次成等差数列，且等差数列的公差不为，
即，，三点的横坐标不可能依次成等比数列，故C错误；
对于，由抛物线的定义可得，
又，
所以，故D正确．
故答案为：．
12. 【解析】】双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，
设双曲线方程为：，过点．
可得，
所求双曲线方程为：．
假设直线存在，
设是弦的中点，
且，，则，，
，在双曲线上，
，
，
，
，
直线的方程为，即，
联立方程组，得，
，
直线与双曲线无交点，
直线不存在．
13.【解析】由题意可得直线的斜率存在，且不为．
设直线为，，，，，
代入抛物线方程得，，
则，解得，代入成立．
所以直线的方程为．
假设抛物线上存在点和，使得，关于直线对称，
则，
设：，
与抛物线联立，消去得，，
则
又，，
所以的中点为，代入直线的方程，解得，不满足式．
所以满足题意的，两点不存在．
14.【解析】由已知得，
离心率，所以，故椭圆的方程为．
当直线的斜率存在时，设：，，，
联立方程组得，，
所以，．．，，
所以，
所以．
当直线的斜率不存在时，：，
联立方程组，得，．，，所以．
综上，存在实数使得恒成立．
15.【解析】因为，所以，的方程为．
由，得，
则，
得，即的取值范围为．
设，，由知，，
设线段的中点为，
则，，
假设存在，使得，则，
所以，
解得，
故存在，使得．

16.【答案】由左焦点、左顶点可知：，则，
所以椭圆的标准方程为．
因为，，
则过的直线的方程为：，即，
解方程组，解得或
所以的面积．
点在以线段为直径的圆上，等价于，即，
设，则，
因为，则，
，
解得：或，
又因为，则不存在点，使得，
所以不存在直线，点在以线段为直径的圆上．
17.证明：如图所示，
当时，恰为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线．
由抛物线的定义可得．
取的中点，连接，则为梯形的中位线，所以．
因为为的中点，所以，所以．
在中，由可得．
因为为梯形的中位线，所以，所以，
所以．
同理可证．
在梯形中，，
所以，
所以，
所以在中，，
即．
假设存在实数，使得．
由直线与抛物线交于，两点，可设．
设，则
消去可得，
所以，．
因为动点在直线上，可设，
则
．
而．
所以，
解得．
18.【解析】在，的方程中，令，可得，
且，是上半椭圆的左右顶点，
设的半焦距为，由及，
可得，所以，．
由，上半椭圆的方程为，
由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为，
代入的方程，整理得，
设点的坐标为，
因为直线过点，所以是方程的一个根，
由根与系数的关系得，所以点的坐标为，
同理，由，得点的坐标为，
所以，
依题意可知，所以，即，
即，
因为，所以，解得，
经检验，符合题意，故直线的方程为．
19.【解析】设，则的重心．
，，则，
为垂心，故
因为存在使，
故，所以，，
而，由垂心定义得，即，整理得，
所以点的轨迹的方程为．

由外心的定义知点在轴上，则，
的中点，，
所以，整理得．
与的方程联立，得．
因为，所以．
由对称性，不妨设点在第一象限，设，，直线：，
联立方程得，
，整理得；
，又，所以．
由条件知，，，所以三点共线且所在直线平行于轴，
由，知，
所以．
令，解得舍去．
又点在直线：上，所以，
即，所以又，联立得，所以．
又，所以，即，所以．
所以，当点在第一、四象限时，；当点在第二、三象限时，．
故存在实数使．
20.【解析】当时，定直线：，比值为：．
设，则点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，
即，
两边平方，整理得：，即为曲线的方程．
因为动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数，
所以，整理得，
即，即为曲线的方程．
设，则，
，
得，
当且仅当即时，等号成立，
所以存在使得取得最小值．
由知，当时，曲线：，双曲线的渐近线方程为：，
如图：
设，则，解得
即，所以，
代入双曲线方程，得，
整理得，即，
解得或．
当时，，若，则，
，消去得，方程有唯一的解，
同理，若，得，方程有唯一的解，
故直线与曲线有且仅有一个公共点；
当时，，消去得，
，方程有唯一的解，
故直线与曲线有且仅有一个公共点．
综上，直线与曲线有且仅有一个公共点．
21.【解析】连接，则，，
因为为的中点，为的中点，所以，故，
，
，解得，
由椭圆定义可知，，解得，
由勾股定理得，即，解得，
故，
故椭圆方程为；
由题意得，当直线的斜率不存在时，即，
此时，解得，设，
由于，由对称性可知，为椭圆左顶点，但，故不合要求，舍去，
当直线的斜率存在时，设为，
联立得，，
，
设，则，
，
则中点坐标为，
假设存在点，使得四边形是平行四边形，则，
将代入椭圆中，得，
解得，

此时直线的方程为．
22.【解析】设机器鼠位置为点，，
由题意可得，
即，
可得的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，且，，即有，，，
则的轨迹方程为，
时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；
设直线的平行线的方程为，
联立双曲线方程，可得，
即有，且，可得，
即：与双曲线的右支相切，
切点即为双曲线右支上距离最近的点，
此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，
则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．
23.【解析】由题意，的周长为，则，所以，
又因为，所以，由，得，
所以椭圆的方程为．
设直线 的 方程为，，
设的中点为．
假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．
由得，
由题意有，解得，
故，
所以，
因为，所以，即，
所以，整理得，
则方程有根，整理得，即，
又因为，所以，
综上：在轴上存在点，使得是以为底边的等腰三角形，
点横坐标的取值范围是．

24.【解析】根据题意有，
所以点一定在是以，为焦点，实轴长为的双曲线上，
且，，所以，
又因为，可知，因此点横坐标大于零，
点轨迹方程为
联立，得，
因为与曲线相切，所以，即，；
此时点坐标为，设，
，，因为，
，
，又，
，整理得，
所以，点在定直线上；
由，，
因为，所以，
，
解得：或，又因为，不符合题意，所以舍，
联立，解得．
点横坐标，
存在点使成立，此时点横坐标为．
25.【解析】由题意，解得，
因此抛物线的方程为，
点在抛物线上可得，故；
Ⅱ设点的坐标为，边上的高为，
我们知道的面积是，
所以：，
直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：化简得：，
由于点在抛物线上，代入条件可得，
可以得到或，
解这个方程可以得到或，
代入抛物线方程可以得到：或或，
综上所述，点的坐标有三个可能的值：，，；
Ⅲ不存在，理由如下：由Ⅱ知，，
则，的中点，
，
到准线的距离等于，
因为，
所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件．
26.【解析】设，，
对于，由题可得，
整理得
故的方程为．
对于，由题可得，
整理得，
故的方程为．
由知：：，：．
的右焦点为，设，
当直线的斜率不存在时，直线与无交点，不满足题意，故直线的斜率存在．
于是可设直线的方程为，
联立消去得，
恒成立，
由韦达定理：，，
于是
将代入整理得，
同理，其中，故．
因为，所以，
设，则，即，
平方整理得，
因式分解得，
解得，，舍去．
即，．
于是所有满足条件的直线的斜率之积为
．
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