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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数
一、单选题
1.（2025数学习题改编）若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025上海交通大学附属中学期中）在实数范围内，的四次方根是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025吉林四平实验中学期末）设，则下列运算中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2024期中）化简后的结果为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025河南驻马店期中）已知，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（2024西城中学开学测试）当有意义时，化简的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.（2025西南大学附属中学期末）若，，则下列四个式子中有意义的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025河北衡水武强街关中学月考）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2024河北沧州部分学校月考）下列计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.若 , ，用含 的代数式表示 ，则 ______。
11.（2025湖南长沙市一中期中）方程的解集为________。
12.（2025山西吕梁期中）当时，化简：________。
四、解答题
13.（2025天津南开阶段检测）
（1）计算：；
（2）已知，，求的值。
14.（2025教材必备知识精练）
（1）求值：；
（2）已知，，化简：。
15.（2025河南周口期末）
（1）已知，求的值；
（2）已知是的七次方根，求下列各式的值：
① ；
② 。
一、单选题
1.答案：A
解析：由题意，五次根号下化简为（奇次根式性质：）；二次根号下（）化简为（偶次根式性质：）。若两者相等，则，故。
2.答案：C
解析：四次方根为偶次根，正数的偶次根有两个，且互为相反数。
因，故的四次方根是。
3.答案：D
解析：根据指数运算规则、、（）：
A：，错误；
B：，错误；
C：，错误；
D：，正确。
4.答案：C
解析：将分子分母统一化为以为底的指数幂：
分子：；
分母：；
化简：。
5.答案：A
解析：将表达式化为以为底的指数幂，利用：
；
；
化简：。
6.答案：C
解析：先确定定义域：有意义，则。
化简二次根式（偶次根取绝对值）：
（，）；
（，）；
求差：。
二、多选题
7.答案：ACD
解析：根据根式有意义的条件（偶次根被开方数非负，奇次根被开方数为任意实数）：
A：（为偶数，），任意次根式均有意义；
B：（6为偶次根），当为奇数时，为偶数，被开方数正；当为偶数时，被开方数负，无意义；
C：（为偶次根），，有意义；
D：（为奇次根），任意实数均有意义。
8.答案：CD
解析：根式与分数指数幂互化规则（注意符号和定义域）：
A：（时，为虚数），错误；
B：（），而非（后者为负），错误；
C：（），正确；
D：（），正确。
9.答案：ABD
解析：逐项计算指数运算：
A：，正确；
B：（平方差公式：），正确；
C：，错误；
D：内层表达式为
然后应用立方根：
处理最外层根式（四次方根）：
整个表达式为
然后应用四次方根：
右边表达式的指数形式：，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：。
11.答案：
解析：将方程化为同底数幂（底为和）：
左边：；
右边：；
约去（），得。
12.答案：
解析：时，利用根式和绝对值性质化简：
（奇次根）；
（偶次根）；
；
原式：。
四、解答题
13.解：
（1） 分步计算各部分：
零指数幂：（任何非零数的0次幂为1）；
负指数幂：；
根式化简：；
分母化简：；
合并计算：
（2） 先将根式化为分数指数幂（，）：
分子化简：
；
分母化简：
；
整体化简（同底数幂相除，指数相减）：
代入，：
14.解：
（1） 步骤一：分别化简各项
化简：
将化为分数形式，化为假分数形式，再根据指数幂运算法则和进行化简：
化简：
根据负指数幂的定义，可得，再对其分母有理化：
所以。
化简：
根据负指数幂的定义可得，再根据指数幂运算法则进行化简：
化简：
根据指数幂运算法则可得：
步骤二：计算原式的值
将上述化简结果代入原式可得：
综上，原式的结果为。
（2） 分步展开指数幂：
分子展开：
；
再乘：；
分母展开：
；
整体化简：
15.解：
（1） 利用指数幂的运算性质：
先求：由，得；
分子计算：；
分母计算（立方和公式：）：
设，，则；
其中，，；
先求：，故（因平方非负，取正）；
再求；
因此分母：；
整体化简：
（2）注： 128 = ，故实数范围内（七次根为奇次根，结果唯一）。
① 分步通分计算：
前两个分式通分：
（分母用平方差公式：，此处，）；
加第三个分式：
（分母再次用平方差公式，，）；
加第四个分式：
代入：
② 利用平方差、立方差公式化简：
分子化简（平方差公式：）：
；
分子进一步分解（立方差公式：）：
设，，则；
其中，（因）；
代入分子：；
整体化简（约分+平方差公式）：
再用平方差公式分解分子：，约分后得：
代入：

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