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2025年高三专项训练：隐圆、辅助圆问题
一、单选题
1.已知，，若点满足，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
2.已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
3.在等腰直角中，，是所在平面内的一点，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知点，，为平面上一动点且满足，当实数变化时，的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知实数满足，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知，是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是( )
A. B. C. D.
11.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.若圆上总存在到原点距离为的点，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
14.已知圆：，，若圆上存在点使，则正数的可能取值是( )
A. B. C. D.
15.已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是( )
A. 弦的中点轨迹是圆
B. 直线分别过定点和
C. 直线的交点在定圆上
D. 线段的最小值为
16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为
C. 在上存在点，使得
D. 在上存在点，使得
三、填空题
17.在平面直角坐标系中，已知和，动点满足，则的取值范围为 ．
18.已知圆点是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为 ．
19.在平面直角坐标系中，已知直线和点，动点满足，且动点的轨迹上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是 ．
20.若，是平面内不同的两定点，动点满足且，则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为
四、解答题
21.已知圆心在直线上的圆经过两点和．
求圆的方程
设点，若圆上存在点满足，求实数的取值范围．
22.在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，其中，，圆为的外接圆．
当时，求圆的方程；
当变化时，圆是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
在的条件下，若圆上存在点，满足，求实数的取值范围．
23.已知圆： ，点，为坐标原点．
Ⅰ若，求圆过点的切线方程；
Ⅱ若直线：与圆交于、两点，且，求的值；
Ⅲ若圆上存在点，满足，求的取值范围．
24.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的倍．
求点的轨迹的方程；
过点作直线，交轨迹于，两点，点，不在轴上．
过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
设轨迹与轴的正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由可得点的轨迹为以线段为直径的圆，圆心为，半径为，
又直线，其过定点，
当直线时，点与直线的距离取最大值，
故距离的最大值为．
故选：．
2.【答案】
【解析】因为直线 ： ，即 ，
令 ，解得 ，
可知直线 过定点 ，
同理可知：直线 过定点 ，
又因为 ，可知 ，
则直线和的交点的轨迹为以线段为直径的圆，
则该圆圆心为中点，设为点，
半径，
则点的轨迹方程为，
又圆圆心为，半径为，
则，
所以圆与圆相离，
则当点和点在直线上，且不在线段上时，取得最大值，如上图所示，
可得的最大值为，
故选：．
3.【答案】
【解析】以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，设，
则，
则，
即，
所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
则，
故选B．
4.【答案】
【解析】设，为平面上一动点且满足，
则，
整理可得：，
点轨迹是以为圆心，半径的圆，
，
当时，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】为所在平面上一动点，且，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
故，设，
则
，其中，
故当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围为．
故选：．
6.【答案】
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设中点为，则，且，可得，
又因为，可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
因为直线上存在点使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，解得或．

故选：．
7.【答案】
【解析】设，，为坐标原点，则，，
由，，，
可得，两点在圆上，且，则，
所以三角形为直角三角形，，
的几何意义为，两点到直线的距离与之和，
记线段，的中点分别是，，
到直线的距离为，
则，当且仅当，，共线时取等号，
所以，所以的最大值为，
故选：．
8.【答案】
【解析】由，得，
由，得，
由，得，设，则，即，
因此点的轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为，即有，
则代入，整理得：，
即轨迹的圆心在圆上除此圆与坐标轴的交点外，
点与圆上点连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，
所以最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】由题意得圆的圆心为，半径，
易知直线：恒过点，
直线：恒过，且，
点的轨迹为，
圆心为，半径为，
若点为弦的中点，位置关系如图：
连接，由，
易知，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】由题可知：圆的标准方程为：
，
所以圆心，半径，
又，是的中点，所以 ，
所以点的轨迹方程 ，
圆心为点，半径为，
若直线：上存在两点，，使得 恒成立，
则以为直径的圆要包括圆 ，
圆心到直线的距离为 ，
所以长度的最小值为 ，
故选：．
11.【答案】
【解析】设点，则，，
所以，
所以的轨迹方程为，圆心为，半径为．
由此可知圆与有公共点，
又圆的圆心为，半径为，
所以，解得，
即的取值范围是．
故选：．
12.【答案】
【解析】如图，取点，连接、．
，，，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，
的最小值为的长，
，，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】根据题意，到原点距离为的点的轨迹方程为，
若圆上总存在到原点距离为的点，
则圆与圆有公共点，
所以，即，解得．
故选BC．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，属于中档题．
设，根据题意得到，再根据的几何意义得到， 从而得到答案．
【解答】
解：圆，圆心，半径，
设，则，，
因为，所以，
即，，
因为表示圆上点到原点的距离，
，
所以，即，
故选：．
15.【答案】
【解析】对于选项A：
设，因为，为弦的中点，
所以，而，半径为，
则圆心到弦的距离为
，
又圆心，所以，
即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：，即，直线过定点，
，即，直线过定点故选项B错误；
对于选项C：
由 ，
消去可得，，
即，故选项C正确；
对于选项D：
由选项A知，点的轨迹方程为：，圆心，，
又由选项C知，点的轨迹方程为：，圆心，，
则
线段，故选项 D正确；
故选ACD．
16.【答案】
【解析】设点，，，由，得，
化简得，即：，故A选项正确
曲线的方程表示圆心为，半径为的圆，圆心与点的距离为，
与圆上的点的距离的最小值为，最大值为，而 ，，故B正确
对于选项，设，由，得，
化简得，即点在圆上，
而圆在圆内，因此圆上不存在点满足，
故C选项错误
对于选项，设，由，得，
又，联立方程消去得，解得，故D选项正确．
故选ABD．
17.【答案】
【解析】由得，
化简可得，
即点在以为圆心以为半径的圆上，，
即表示坐标原点到圆上点的斜率，
要计算的范围就是要计算过坐标原点的直线与圆相切的两种情况下的直线斜率，
假设过坐标原点的直线为，则，
化简可得，，
所以
故答案为：
18.【答案】
【解析】取最小值四边形而积最小直线，
此时直线方程为，与直线联立求出点，
以为直径的圆的方程为，又圆，
两圆方程左右两边相减可得直线的方程为．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】设点，则，
即，所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
要在圆上至少存在两点到直线的距离等于，
则需圆心到直线的距离，
解得．
故答案为．
20.【答案】
【解析】设，
则，
整理得，
则是圆：上一点，
由，得，如图所示：
故，
当且仅当，，三点共线，
且在之间时取得最大值．
又因为，
所以的最大值为．
故答案为：．
21. 【解析】设，的中点为点，则点坐标为
求得，
则过点且与直线垂直的直线方程为：，
解得，
圆心也在直线上，
解得，
，
，圆的方程为；
设，
，，
由题可得，
，，
化简得，
可知点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
可知圆与圆有公共点，即，
解得．
22.【解析】设圆的方程为：．
在圆上，
，
解得，，，
圆的方程为：，
当时，圆的方程为：．
由圆的方程可化为：，
要使圆过某一定点，
解得，，
圆过定点．
设的坐标，因为，
所以，
整理得，，
所以点在以为圆心，为半径的圆上
又因为点在圆上，所以两个圆有公共点，
当时，圆的圆心为，半径为
故有，
解得．
23.【解析】Ⅰ若 ，圆： ，可得圆心为，半径为 ，
设斜率存在，过点的切线方程为： ，在圆外，有两条切线方程，
则由 ，
解得： 或 ，
过点的切线方程为 ，或
Ⅱ直线 ： 与圆交于、两点，设 ，，，
，
，
联立方程组：，
消去 ，可得： ，
消去 ，可得： ，
把代入解得：
Ⅲ圆： ，圆心为 ，半径 ，
圆心在直线 上，
设坐标为 ， ，，
可得： 化简可得： ，
表示圆心为，半径 的圆，圆的圆心为 ， ，半径 ，
要使圆上存在点，满足，
圆心在直线 上，所以两圆心的最大距离为，
即两圆心的距离满足 ，
解得：，
故得 的取值范围是，
24.【解析】设点，由题意可得，
即，
化简可得，
所以点的轨迹的方程为．
由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线的斜率不存在，
易得，，则．，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则．
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，所以的最大值为．
证明：由题，，设，，
联立
消得，
，
则，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
则
，
所以，
所以点在定直线上．
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