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4.1等式与方程苏科版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，等于( )
A. B. C. D.
2.已知等式，则下列等式中不一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列等式变形正确的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
4.给出一个一元一次方程的解题过程：上述解题过程，没有应用等式性质的是( )
A. B. C. D.
5.小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡若设“”与“”的质量分别为，，则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列等式变形正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.有个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有个小正方体的质量相等，有个小正方体质量和其他不相等可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最多的操作次数是( )
A. 次 B. 次 C. 次 D. 次
8.下列变形中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9.已知实数，，满足，有下列结论：若，则；若，；若，则其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.已知数，，满足，，则与的关系是( )
A. B. C. D.
11.已知实数、、满足，下列结论正确的是( )
A. 可能为
B. 若、、中有两个数相等，则
C. 若，则
D. 若，则
12.已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如果，那么 ．
14.一列方程及其解如下排列：的解是，的解是，的解是根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
15.甲仓库有煤，乙仓库有煤，从甲仓库取出，运到乙仓库，这时甲仓库有煤 ，乙仓库有煤 ，如果这时甲仓库的煤的质量是乙仓库的一半，那么根据这个条件列出的方程是 ．
16.某校四个班为“希望工程”捐款，甲班捐的钱数是另外三个班捐款总和的一半，乙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的，丙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的，丁班共捐了元，若设这四个班捐款数的总和为元，请根据条件列出方程： ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
阅读理解题：
下面是小明将等式进行变形的过程：
，
，
的依据是 ；
小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ；
给出正确的解法．
18.本小题分
在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多设乙班植树棵．
列两个不同的含的代数式表示甲班植树的棵数．
根据题意列出含未知数的方程．
检验乙班和甲班植树的棵数是不是和．
19.本小题分
方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫作“立信方程”．
若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则 ；
若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值；
关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值．
20.本小题分
如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此盒子底面的长比宽多设该长方体盒子底面的宽为
用含的代数式分别表示出该长方体盒子底面的长和容积；
请根据题意列出关于的方程．
21.本小题分
已知，利用等式的基本性质写出个关于和的等式，并说明理由。
22.本小题分
请按照表格中的步骤，尝试求方程的解。
的值 左边的值 右边的值 比较左右两边的值
第次 左边右边
第次 左边右边
第次
23.本小题分
在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？
以下是笃行小组的实验记录：
实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干
天平右边 天平左边 天平状态
记录 张卡个砝码 根吸管 平衡
记录 张卡根吸管 根吸管个克砝码 平衡
设一张卡片重克，则一根吸管重______克；
分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？
明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的倍请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量．
24.本小题分
在学校社团活动中，同学们利用天平和身边的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和的砝码，如何称出一块橡皮和一支钢笔的重量呢？
以下是笃行小组的实验记录：
实验准备：重量相同的橡皮若干和重量相同的钢笔若干．
天平右边 天平左边 天平状态
记录 块橡皮个砝码 支钢笔 平衡
记录 块橡皮 支钢笔个砝码 平衡
设一块橡皮重，则一支钢笔重______；
分别求一块橡皮和一支钢笔的重量各是多少？
明辨小组根据笃行小组的实验结论提出一个假设：
如果在天平左边放上一个的砝码，再把若干橡皮和若干钢笔分别放在天平的两边，使天平处于平衡状态，那么此时橡皮的数量是钢笔数量的倍．
请用方程的知识进行判断，若假设成立，请求出钢笔的数量；若假设不成立，请说明理由．
25.本小题分
数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则．
【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度，将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为．
【数学思考】
再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
请证明中的数学关系式；
【知识迁移】
在中，三条边的长度分别为，，，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查三角形内角和定理和等式性质，根据三角形内角和定理列出方程，再根据等式性质求解．
【解答】
解：
，，
得：．
故选D
2.【答案】
【解析】解：，
，，，，
，，，
四个选项中，只有选项中的等式不一定成立，
故选：．
利用等式的性质进行求解即可．
本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立．
3.【答案】
【解析】解：、在等式的两边同时减去，可得，正确，故本选项符合题意；
B、在等式的两边同时加上，可得，原变形错误，故本选项不符合题意；
、在等式的两边同时除以，可得，原变形错误，故本选项不符合题意．
故选：．
等式的性质：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数或式子，结果仍相等．根据等式的基本性质，逐项进行判断即可．
本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据等式的三个基本性质逐步解答判断如下：
第步根据基本性质，等式两边都乘以，不符合题意；
第步根据基本性质，等式的两边减去，不符合题意；
第步根据整式的加减法法则计算，符合题意；
第步根据基本性质，等式的两边除以，不符合题意．
故选：．
根据等式的基本性质解答每一步，再判断即可．
本题主要考查了等式的基本性质的应用，熟练掌握等式性质是关键．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：根据等式的性质逐项分析判断如下：
A.若，则，故原等式变形错误，不符合题意；
B.若，当时，则，故原等式变形错误，不符合题意；
C.若，则，故原等式变形正确，符合题意；
D.若，则，故原等式变形错误，不符合题意；
故选：．
根据等式的基本性质逐项判断即可．
本题考查了等式的基本性质，熟练掌握该知识点是关键．
7.【答案】
【解析】解：第一次称重：
把个小正方体分成个、个、个三组，将两组个的小正方体分别放在天平两端，如果天平平衡，那么剩下的那个就是质量不同的小正方体，这样只需称次就能找出．如果天平不平衡，那么质量不同的小正方体就在天平翘起的那个当中．
第二次称重：针对第一次称重天平不平衡的情况从天平翘起的那个小正方体中任取个，分别放在天平两端，
如果天平平衡，那么没称的那个就是质量不同的小正方体．如果天平不平衡，那么天平翘起一端的那个就是质量不同的小正方体．
综合以上情况，考虑最不利的情形，最少需要称次一定能找出这个质量不同的小正方体．
故选：．
利用天平称重找次品时，通过合理分组并比较重量，根据天平的平衡情况逐步缩小次品所在的范围，从而确定最少的操作次数．
本题考查等式的性质，理解等式的性质以及合理的分组方法是正确解答的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等式的性质，关键是注意互为相反数的两个数的绝对值及平方数相等．根据等式的性质对每个选项注意论证，得出正确选项．
【解答】
解：若，则，如果和互为相反数时，也有，即，故若，则不正确；
B.如果和互为相反数即时，也有，故若，则不正确；
C.，当时，时，也成立，故若，则不正确；
D.若，不能为，由等式的性质得：，故若，则正确．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：若，则，
，正确；
，
，正确；
由条件可知，正确；
故正确结论有个．
故选：．
根据等式的性质及完全平方公式逐项分析判断即可．
本题考查了等式的性质、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键．
10.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
，
；
故选：．
根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果．
本题考查等式的性质，熟练掌握该知识点是关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是等式的性质，完全平方公式等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
A、把代入后判断即可、假如或进行判断即可、利用等式的性质进行判断即可、利用完全平方公式进行变形进行判断即可．
【解答】
解：、把代入，得，移项后得，，是不成立的，故原说法不正确，不合题意
B、假如或，均得不到，故原说法不正确，不合题意
C、等式两边同时乘可得，，与原式相矛盾，故原说法不正确，不合题意
D、若，则，，故原说法正确，
符合题意故选：．
12.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
．
把代入，
解得．
，
，
．
A.因为，所以，该选项错误，不符合题意；
B.由前面计算可知，，所以，该选项正确，符合题意；
C.因为，所以，该选项错误，不符合题意；
D.因为，所以，该选项错误，不符合题意；
故选：．
根据已知条件求出、、的值，再逐一分析选项．
本题考查了实数的运算与等式性质，解题关键是通过对已知等式进行运算求出、、的值．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】提示：观察可知该列方程可写为的解是，的解是，的解是所以解是的方程为，即．
15.【答案】

【解析】略
16.【答案】
【解析】因为甲班捐的钱数是另外三个班捐款总和的一半，所以甲班的捐款数是四个班捐款数总和的因为乙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的，所以乙班的捐款数是四个班捐款数总和的因为丙班捐的钱数是另外三个班捐款总和的，所以丙班的捐款数是四个班捐款数总和的四个班捐款数的总和为元，则甲班捐款元，乙班捐款元，丙班捐款元，根据题意可列出方程为．
17.【答案】【小题】
等式的两边都加上或减去同一个数或整式，所得结果仍是等式
【小题】
等式两边都除以，可能为
【小题】
，，，，，．

【解析】 略
略
略
18.【答案】【小题】
解：根据甲班植树的棵数比乙班多，得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多棵，得甲班植树的棵数为棵．
【小题】
解：．
【小题】
解：把分别代入题中方程的左边和右边，得左边，右边因为左边右边，所以是方程的解，即乙班植树的棵数是棵．由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是棵，而不是棵．

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小题】
【小题】
因为，所以，则，将代入，得，得．
【小题】
符合要求的正整数的值为，，

【解析】
因为，所以，把代入，得，即，得．
略

由得，当取，，，，即取，，，时，的值为整数．所以符合要求的正整数的值为，，．
20.【答案】【小题】
长方体盒子底面的宽为，则长为．
容积为．
【小题】
根据题意，得．

【解析】 略
略
21.【答案】解：。理由：依据等式的基本性质，等式两边都减去，得，即。
。理由：依据等式的基本性质，等式两边都除以，得。
。理由：依据等式的基本性质，等式两边都乘，得；依据等式的基本性质，等式两边都减去，得。答案不唯一

【解析】见答案
22.【答案】解：因为当时，左边右边；
当时，左边右边
所以的值在到之间，
所以第次可以选，左边，右边，
因此是方程的解．
【解析】本题考查了估算方程的解，熟练掌握方程角的概念是解题的关键．
当时，右边小了，当时，右边大了，
因此方程的解在之间，所以第三次可以取，可以得到答案．
23.【答案】或
【解析】解：设一张卡片重克，
由记录得：根吸管重量，
一根吸管重克，
由记录得：根吸管重量根吸管重量，
一根吸管重克；
综上所述，一根吸管重克或克，
故答案为：或；
由得：一根吸管重克或克，
，
解得：，
，
答：一张卡片重克，一根吸管重克；
成立，理由如下：
设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，
由得出一张卡片克，一根吸管克；
卡片重克，吸管重克，
为正整数，
，
把卡片与砝码一同放入天平左边，吸管放入天平右边，
，
解得：，
假设成立，卡片张．
根据记录和，天平平衡，则天平左右两边的重量相同，据此列式求解即可；
由一根吸管重克或克，列出一元一次方程，解方程即可；
设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，由得出一张卡片克，一根吸管克，根据天平处于平衡状态，列出一元一次方程，解方程即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用以及等式的性质等知识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24.【答案】或；
一块橡皮重，一支钢笔的重量是；
假设成立，钢笔为一个，理由见解答．
【解析】解：根据题意得：一支钢笔重 或，
故答案为：或；
设一块橡皮重，一支钢笔的重量是，
则：，
解得：，
答：一块橡皮重，一支钢笔的重量是；
假设成立，钢笔为一个，
理由：设钢笔的数量为支，橡皮的数量为块，
则：，
钢笔的重量为：，橡皮的重量为，
，
把钢笔放右边，橡皮和砝码放左边，
，
解得：，
假设成立，钢笔为一个．
根据“天平平衡，两边的重量相等”列式表示；根据“记录“列方程组求解；
假设成立，列方程求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
25.【答案】；
证明过程见解析部分；
证明过程见解析部分．
【解析】解：数学关系式可以表示为，
故答案为：；
证明：
，
，
，
又，，，
，
即；
证明：由的结论可知，，
，
，
，
，
即．
根据题意，列出关系式；
利用作差法，证明不等式即可；
根据的结论，结合作差法，可证得结论．
本题考查了分式的运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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