资源简介

人教版八年级上同步分层训练15.3等腰三角形
一、夯实基础
1．如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 边上，∠DBC=40°，则∠ABD 的度数为(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，
∵ ∠DBC = 40°，
∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC=20°.
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质可得∠ABC=60°，再根据角之间的关系即可求出答案.
2．（2025八上·期末） 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O 上下转动，立柱 OC与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，则AB 的长为 (　　)
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，OC⊥AC，
∵∠OAC=30°，OC=0.5m，
∴AO=2OC=1m ，
又∵点O 是AB的中点，
∴AB=2AO=2m.
故答案为：D
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AO=2OC=1m ，再根据线段中点即可求出答案.
3．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
4．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等腰三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
5． 如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为(　　).
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°．
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
故选B．
【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，注意掌握，①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
6．（2020八上·长春月考）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3，底边为7时，由于3+3＜7，不能构成三角形，故此种情况须舍去；
当腰为7，底边为3时，能构成三角形，此时三角形的周长=7+7+3=17．
故答案为：B．
【分析】分腰为3和腰为7两种情况并结合三角形的三边关系解答即可．
7．（2025八上·镇海区期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质
8．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是边AB 上的动点，连接CD，点 B 关于直线CD 的对称点为E，射线AE 与射线CD 交于点 F.
（1）连接CE，求证：∠CAE=∠CEA.
（2）当 BD（3）若AD=AC，求证：AE=CD.
【答案】（1）证明： ：点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC = CE，
∵AC= BC，
∴AC = CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠CEA；
（2）解：点B关于直线CD的对称点为E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE= CB= CA，
∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB，
∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°，
∴∠BEF= 45°，
∴∠AFC = 45°；
（3）相等，证明如下：
由(1) 知，AD= AC= CE，
∵AC = CD，
∴∠ADC= 67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB = 22.5°，
又∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴∠ECD=∠DCB= 22.5°，
∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，
在△ACD与△CAE中，
∴△ACD≌△CAE（SAS）
∴AE=CD
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】 (1)由点B关于直线CD的对称点为E，得BC = CE再根据AC= BC，可知CA = CE，从而证明结论；
(2)根据等边对等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，则∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根据CF垂直平分BE，可得答案；
(3)当AD= AC，则∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB =22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可.
9．（2024八上·东阳期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结．
（1）若的周长为，的周长为，求的长．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：垂直平分，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
（2）解：∵，，，
，
，
，
，
，

【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）得到BA=BE和DA=DE，再结合 和 的周长关系，通过等量代换即可求出BA 的长度；
（2）先求出三角形内角和定理求出再根据等腰三角形的性质求出，进一步求得，最后利用三角形的外角性质即可求出的度数。
（1）解：垂直平分，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
，
，
．
二、能力提升
10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距离地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量∠ABC=30°，则树原来的高度为 (　　)
A．6m B．9m C．10m D．12m
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=30°，AC=2m，
∴ BC=4m ，
∴ 树原来的高度为AC+BC=6(m).
故答案为：A
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．在平面直角坐标系中，已知点 A(3，-3)，P是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点 P 共有(　　)个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
以O为圆心，AO长为半径画弧，交y轴两点B3、B4；
以A为圆心，AO长为半径画弧，交y轴一点B1；
过A作y轴的垂线，交y轴于一点B2．
故答案为：4．
【分析】 已知A(3，-3)，点P是y轴上一点，所以AO可以为腰，也可以为底，应分情况进行讨论.本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；解答本题极易漏解，所以解答时，应分别以AO为腰和底边两种情况进行讨论.
12．如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=　 　.
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=BC，∠BAM=∠NAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．
∵MN=NA，
∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM
∴∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°
又∵∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°，即2（∠BAM+∠MAN）=180°-60°=120°
∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°．
故答案为：60．
【分析】 设∠BAM=∠CAN=x，∠MAN=y， 再由MN=NA得出∠AMN=∠MAN=y，故可得出∠B=y-x，同理可得∠C=∠BAC=2x+y，再由三角形内角和定理即可得出结论.本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键.
13．（2025八上·西湖期末）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案为：140°．
【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论.
14．（2025八上·叙永期末）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
15．（2024八上·吴兴期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度．
（2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
，
（米），
河宽为米
（3）解：可行，理由如下：
由题意可知：，
在和中，
，
，
，
只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行，
答：第三小组的方案可行
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解；
（2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解；
（3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：，，
，
，
，
要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
（米），
河宽为米；
（3）解：可行，证明如下：
由题意可知：，
在和中，
，
，
，
只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行，
答：第三小组的方案可行．
16．（2024八上·衢江期末）如图1，在等边三角形中，点D是边上的一点，点E是延长线上的一点，且．
（1）【特例探究】如图2，当D是的中点时，求的度数．
（2）【猜想证明】小兵由图2发现，进而猜想：当D是边上的任意一点时，．请你利用图1帮助小兵证明这个结论．
（3）【拓展应用】如图3，当D是边上的任意一点时，取的中点F，连结，，求的度数．
【答案】（1）解：等边三角形，
，
，
D是的中点，
，
，
，
；
（2）证明：取，连接，如图所示：，
AI
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，如图所示：
F为的中点，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先得到，再利用中点的定义推出，然后根据等边对等角解题即可．
（2）取，连接，即可得到为等边三角形，然后得到，解题即可．
（3）延长至，使，连接，得到，即可得到，，进而求出，再推导得到，即可得到，然后利用解题即可．
（1）解：等边三角形，
，
，
D是的中点，
，
，
，
；
（2）证明：取，连接，如图所示：，
AI
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，如图所示：
F为的中点，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
三、拓展创新
17．（2019八上·重庆期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。
18．（2024八上·昆明期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故答案为：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质是解题关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°以及平行线的性质：内错角相等，两直线平行可得：，以及，得出，，…根据上述规律，可知：的边长为：，由此可得出答案．
19．（2023八上·如皋月考）如图，，面积为12，平分交于D，交的延长线于E，连接，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
20．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
21．（2022八上·渝中期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　．
【答案】①③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
22．（2025八上·叙永期末）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当　 　时，是直角三角形．
【答案】或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
23．（2024八上·柯桥月考）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．
（1）如图1，点在的内部．
①当，求的度数；
②当平分，判断的形状，并说明理由；
（2）如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．
【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
为等边三角形
（2）的度数为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）①先根据等角对等边得的度数，由三角形的内角和得的度数，再利用周角得∠BOC的度数，再推出，根据等角对等边得的度数；
②设，则可表示出，根据等边对等角得的度数，再推出得的度数，可表示出、，再根据三角形内角和定理列方程计算的值，进而得、、，由此可判定的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算出，即可写出的度数 ，②当直线与的延长线交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算，即可写出的度数 ，综上所述即可得出的度数．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
24．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD与△ABC 互为“形似三角形”.
故答案为：是.
（3）Ⅰ、当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC==67.5°，
此时△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情况不存在；
Ⅱ、当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=BD时，则∠BCD=∠B，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此时∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图4，
当BC=BD时，则∠BCD=∠BDC，
此时△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此时∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③当CD=CB时，情况不存在.
故答案为：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分线的性质即可得出结论.
（2）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC与△ACD互为“形似三角形”，即可得出结论.
（3）需要△ACD和△BCD分别是等腰三角形两种情况讨论，再根据在等腰三角形中哪俩条边相等进行分析，计算出∠ACB的度数即可。
1 / 1人教版八年级上同步分层训练15.3等腰三角形
一、夯实基础
1．如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 边上，∠DBC=40°，则∠ABD 的度数为(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°
2．（2025八上·期末） 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O 上下转动，立柱 OC与地面垂直，当横板AB 的A 端着地时，测得∠OAC=30°，若OC=0.5m ，则AB 的长为 (　　)
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
3．（人教版八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题 同步练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．BC B．CE C．AD D．AC
4．（2024八上·吴兴月考）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5． 如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为(　　).
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2020八上·长春月考）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
7．（2025八上·镇海区期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为　 　．
8．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是边AB 上的动点，连接CD，点 B 关于直线CD 的对称点为E，射线AE 与射线CD 交于点 F.
（1）连接CE，求证：∠CAE=∠CEA.
（2）当 BD（3）若AD=AC，求证：AE=CD.
9．（2024八上·东阳期中）如图，在中，点是边上的一点，连结，垂直平分，垂足为，交于点．连结．
（1）若的周长为，的周长为，求的长．
（2）若，，求的度数．
二、能力提升
10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距离地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量∠ABC=30°，则树原来的高度为 (　　)
A．6m B．9m C．10m D．12m
11．在平面直角坐标系中，已知点 A(3，-3)，P是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点 P 共有(　　)个.
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=　 　.
13．（2025八上·西湖期末）如图，在中，点D，E在上，，，若，则的度数为　 　．
14．（2025八上·叙永期末）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为　 　．
15．（2024八上·吴兴期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度．
（2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
16．（2024八上·衢江期末）如图1，在等边三角形中，点D是边上的一点，点E是延长线上的一点，且．
（1）【特例探究】如图2，当D是的中点时，求的度数．
（2）【猜想证明】小兵由图2发现，进而猜想：当D是边上的任意一点时，．请你利用图1帮助小兵证明这个结论．
（3）【拓展应用】如图3，当D是边上的任意一点时，取的中点F，连结，，求的度数．
三、拓展创新
17．（2019八上·重庆期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
18．（2024八上·昆明期中）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
19．（2023八上·如皋月考）如图，，面积为12，平分交于D，交的延长线于E，连接，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
20．（2025八上·海珠期末）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
21．（2022八上·渝中期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有　 　．
22．（2025八上·叙永期末）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为．当　 　时，是直角三角形．
23．（2024八上·柯桥月考）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．
（1）如图1，点在的内部．
①当，求的度数；
②当平分，判断的形状，并说明理由；
（2）如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．
24．（2024八上·绍兴竞赛）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
（1）【概念理解】
如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC　 　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
（3）【概念应用】
在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线，直接写出∠ACB的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，
∵ ∠DBC = 40°，
∴ ∠ABD =∠ABC-∠DBC=20°.
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质可得∠ABC=60°，再根据角之间的关系即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知，OC⊥AC，
∵∠OAC=30°，OC=0.5m，
∴AO=2OC=1m ，
又∵点O 是AB的中点，
∴AB=2AO=2m.
故答案为：D
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AO=2OC=1m ，再根据线段中点即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故答案为：B.
【分析】先添加辅助线连接PC，然后根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，从而确定PB=PC，再根据三角形的三边关系可得最小值.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】、由图可知，以点为圆心，为半径画弧，交于点，
∴，
∵中，，，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
又∵，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=∠ACD-∠ACD=30°，
又∵，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC
∴△DBC是等腰三角形，
即此图中有两个等腰三角形，故A符合题意；
、由图可知，DE是BC的垂直平分线，
∴和不一定等腰三角形，符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴是等腰三角形，不符合题意；
、由图可知，分别以点，点为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点，交于点，
∴和是等腰三角形，不符合题意；
故答案为：．
【分析】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°．
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
故选B．
【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，注意掌握，①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3，底边为7时，由于3+3＜7，不能构成三角形，故此种情况须舍去；
当腰为7，底边为3时，能构成三角形，此时三角形的周长=7+7+3=17．
故答案为：B．
【分析】分腰为3和腰为7两种情况并结合三角形的三边关系解答即可．
7．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质
8．【答案】（1）证明： ：点B关于直线CD的对称点为E，
∴BC = CE，
∵AC= BC，
∴AC = CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠CAE=∠CEA；
（2）解：点B关于直线CD的对称点为E，
∴CF垂直平分BE，
∵CE= CB= CA，
∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB，
∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°，
∴∠BEF= 45°，
∴∠AFC = 45°；
（3）相等，证明如下：
由(1) 知，AD= AC= CE，
∵AC = CD，
∴∠ADC= 67.5°，
又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC，
∴∠DCB = 22.5°，
又∵点B关于直线CD的对称点为E，
∴∠ECD=∠DCB= 22.5°，
∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，
在△ACD与△CAE中，
∴△ACD≌△CAE（SAS）
∴AE=CD
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】 (1)由点B关于直线CD的对称点为E，得BC = CE再根据AC= BC，可知CA = CE，从而证明结论；
(2)根据等边对等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，则∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根据CF垂直平分BE，可得答案；
(3)当AD= AC，则∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB =22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可.
9．【答案】（1）解：垂直平分，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
（2）解：∵，，，
，
，
，
，
，

【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）得到BA=BE和DA=DE，再结合 和 的周长关系，通过等量代换即可求出BA 的长度；
（2）先求出三角形内角和定理求出再根据等腰三角形的性质求出，进一步求得，最后利用三角形的外角性质即可求出的度数。
（1）解：垂直平分，
，，
的周长为，的周长为，
，，
，
．
（2）解：∵，，
，
，
，
，
，
，
．
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，
∵∠ABC=30°，AC=2m，
∴ BC=4m ，
∴ 树原来的高度为AC+BC=6(m).
故答案为：A
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
以O为圆心，AO长为半径画弧，交y轴两点B3、B4；
以A为圆心，AO长为半径画弧，交y轴一点B1；
过A作y轴的垂线，交y轴于一点B2．
故答案为：4．
【分析】 已知A(3，-3)，点P是y轴上一点，所以AO可以为腰，也可以为底，应分情况进行讨论.本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；解答本题极易漏解，所以解答时，应分别以AO为腰和底边两种情况进行讨论.
12．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ∵AB=BC，∠BAM=∠NAC，
∴∠BAC=∠BCA=∠BAM+∠NAC+∠MAN=2∠BAM+∠MAN．
∵MN=NA，
∴∠MAN=∠AMN=∠B+∠BAM，
∴∠BAC=∠BCA=2∠BAM+∠B+∠BAM=∠B+3∠BAM
∴∠B+2（∠B+3∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM=60°
又∵∠B+2（∠MAN+2∠BAM）=180°，即∠B+2∠BAM+2∠BAM+2∠MAN=180°，即2（∠BAM+∠MAN）=180°-60°=120°
∴∠MAC=∠NAC+∠MAN=∠BAM+∠MAN=60°．
故答案为：60．
【分析】 设∠BAM=∠CAN=x，∠MAN=y， 再由MN=NA得出∠AMN=∠MAN=y，故可得出∠B=y-x，同理可得∠C=∠BAC=2x+y，再由三角形内角和定理即可得出结论.本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC= AE，BC=BD，
∴∠AEC=∠ACE，∠BDC=∠BCD，
设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°-2x°，∠B=180°-2y°，
∵∠DCE=180°-(∠AEC+∠BDC)=180°-(x°+y°)=20°，
∴x°+y°=160°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴∠ACB+(180°-2x°)+(180°-2y°)=∠ACB+360°-2(x°+y°)=∠ACB+360°-2×160°=180°，
∴∠ACB=140°，
故答案为：140°．
【分析】根据题意，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程，求解，即可得出结论.
14．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
15．【答案】（1）
（2）解：，，
，
，
（米），
河宽为米
（3）解：可行，理由如下：
由题意可知：，
在和中，
，
，
，
只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行，
答：第三小组的方案可行
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，则可得，根据等角对等边得可求解；
（2）由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求得∠CAB的度数，然后由等角对等边得AB=BC可求解；
（3）由题意可知，结合已知，用角边角可证得，根据全等三角形的对应边相等可求解．
（1）解：，，
，
，
，
要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
（米），
河宽为米；
（3）解：可行，证明如下：
由题意可知：，
在和中，
，
，
，
只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行，
答：第三小组的方案可行．
16．【答案】（1）解：等边三角形，
，
，
D是的中点，
，
，
，
；
（2）证明：取，连接，如图所示：，
AI
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，如图所示：
F为的中点，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先得到，再利用中点的定义推出，然后根据等边对等角解题即可．
（2）取，连接，即可得到为等边三角形，然后得到，解题即可．
（3）延长至，使，连接，得到，即可得到，，进而求出，再推导得到，即可得到，然后利用解题即可．
（1）解：等边三角形，
，
，
D是的中点，
，
，
，
；
（2）证明：取，连接，如图所示：，
AI
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至，使，连接，如图所示：
F为的中点，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．
17．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；
∴这样的顶点C有8个.
故答案为：A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法，分：①以AB为底，②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点，③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点，三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C，从而得出答案。
18．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，，，
以此类推：的边长为，
的边长为：．
故答案为：C．
【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质，熟知等边三角形的性质是解题关键.
根据等边三角形的性质：三边相等，三个角都是60°以及平行线的性质：内错角相等，两直线平行可得：，以及，得出，，…根据上述规律，可知：的边长为：，由此可得出答案．
19．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
20．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故③正确．
∵，
∴，
故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，，但题目中没有此条件，故②错误．
综上所述：正确的结论有①③④，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含30°直角三角形的性质等对每个结论逐一判断求解即可。
21．【答案】①③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
22．【答案】或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
23．【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
为等边三角形
（2）的度数为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）①先根据等角对等边得的度数，由三角形的内角和得的度数，再利用周角得∠BOC的度数，再推出，根据等角对等边得的度数；
②设，则可表示出，根据等边对等角得的度数，再推出得的度数，可表示出、，再根据三角形内角和定理列方程计算的值，进而得、、，由此可判定的形状；
（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算出，即可写出的度数 ，②当直线与的延长线交于点时，设，则可依次表示出、、，再根据三角形内角和定理列方程计算，即可写出的度数 ，综上所述即可得出的度数．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②为等边三角形，理由如下：
如图1所示：
平分，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
为等边三角形；
（2）解：的度数为或，理由如下：
直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，
有以下两种情况：
①当直线与线段交于点时，如图2①所示：
设，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：
设，
，
，
是以为腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或．
24．【答案】（1）是
（2）解：∵∠A=36°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°-36°-48°=96°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=48°，
∴∠BCD=∠B=∠ACD，
∴△BCD是等腰三角形，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=96°，
在△ABC和△ACD中，
∠A=∠A，∠B=∠ACD，∠ACB=∠ADC，
∴△ABC与△ACD互为“形似三角形”
∴CD为△ABC的等腰分割线.
（3）解：105°或112.5°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=36°，
∵∠B=72°，
∴∠BDC=72°
∴ △CBD与△ABC 互为“形似三角形”.
故答案为：是.
（3）Ⅰ、当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=90°，
此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图2，
当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC==67.5°，
此时△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∠BCD=∠A=45°，
∠ACB=∠BCD+∠ACD=112.5°；
③AC=CD情况不存在；
Ⅱ、当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD=BD时，则∠BCD=∠B，
此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∠ACD=∠B，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°；
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，
即45°+3∠B=180°，
∴∠B=45°，
此时∠ACB=90°（不符合题意，故舍去）；
②如图4，
当BC=BD时，则∠BCD=∠BDC，
此时△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知可知∠ACD=∠B，
∵∠BDC=∠A+∠ACD且∠BDC+∠BCD+∠B=180°，
即3∠B+2∠A=108°，
∴∠B=30°，
此时∠ACB=180°-∠A-∠B=105°；
③当CD=CB时，情况不存在.
故答案为：105°或112.5°.
【分析】（1）利用等腰三角形和角平分线的性质即可得出结论.
（2）利用角平分线的性质和三角形的内角和定理，可得△BCD是等腰三角形，△ABC与△ACD互为“形似三角形”，即可得出结论.
（3）需要△ACD和△BCD分别是等腰三角形两种情况讨论，再根据在等腰三角形中哪俩条边相等进行分析，计算出∠ACB的度数即可。
1 / 1

展开更多......

收起↑