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3.2.1　基本不等式的证明
一、 单项选择题
1 (2024北京八十中期中)已知a>0，则a＋1＋的最小值为(　　)
A. －1 B. 3
C. 4 D. 5
2 (2024高邮中学月考)若a，b，c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　)
A. a>b>c B. c>a>b
C. b>a>c D. a>c>b
3 (2024徐州月考)已知x>0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　)
A. A≥B B. A≤B
C. A>B D. A4 (2024菏泽巨野二中月考)设a，b∈R，且aA. < B. >
C. ＋>2 D. >
5 (2024诸暨中学月考)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的是(　　)
A.
B.
C.
D.
6 (2024南宁月考)近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，a≠b.已知甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，若甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别为m1，m2，则下列结论中正确的是(　　)
A. m1＝m2
B. m1>m2
C. m1D. m1，m2的大小无法确定
二、 多项选择题
7 下列命题中，正确的是(　　)
A. 若a≠0，则a2＋>2
B. 若a<0，则a＋≥－4
C. 若a>0，b>0，则＋≥a＋b
D. 若a<0，b<0，则＋≥2
8 已知正数a，b，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A. >
B. (a＋b)≥4
C. a＋b≥2
D. (a＋b)2≥2(a2＋b2)
三、 填空题
9 已知m＝a＋，其中 a>2，n＝4－b2，其中b≠0，则m，n之间的大小关系是________．
10 (2024上海世外中学期中)已知a为正数，比较大小：________4.
11 若0四、 解答题
12 已知a>0，b>0，c>0，求证：
(1) ＋＋≥6；
(2) a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc.
13 (2024广州黄广中学等三校联考)
(1) 已知a>b>0，c；
(2) 已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz.
3.2.1　基本不等式的证明
1. D　由基本不等式可得a＋1＋＝a＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立．故a＋1＋的最小值为5.
2. C　因为a，c均为正数，且a≠c，所以a2＋c2>2ac.又a2＋c2＝2bc，所以2bc>2ac.因为c>0，所以b>a，故排除A，B，D.
3. A　因为x>0，A－B＝x－2＋≥2－2＝0，所以A≥B，当且仅当x＝1时，等号成立．
4. C　因为a，故A错误；因为ab2，即b2－a2<0.又ab>0，则－＝<0，所以<，故B错误；因为a0，>0，且≠，则＋>2＝2，故C正确；因为a0，所以<，故D错误．
5. C　因为a，b为互不相等的正实数，由基本不等式可得a2＋b2>2ab，则2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以>，则>>.由基本不等式可得<＝，所以>>>，所以四个数中最大的是.
6. C　由题意，得m1＝＝≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，m2＝＝≥，当且仅当a＝b时，等号成立．又a≠b，所以m1<7. CD　对于A，a≠0，a2＋≥2＝2，当且仅当a＝±1时，等号成立，故A错误；对于B，当 a<0时，a＋＝－≤－4，当且仅当a＝－2时，等号成立，故B错误；对于C，因为＋b＋＋a≥2＋2＝2a＋2b，所以＋≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确；对于D，若a<0，b<0，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故D正确．故选CD.
8. BC　对于A，C，因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，所以(a＋b)≥2ab，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立，故A错误，C正确；对于B，因为a>0，b>0，(a＋b)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确；对于D，(a＋b)2－2(a2＋b2)＝－a2＋2ab－b2＝－(a－b)2≤0，即(a＋b)2≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时，等号成立，故D错误．故选BC.
9. m>n　因为a>2，所以a－2>0，又m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以n＝4－b2<4.综上，m>n.
10. ≥　因为a>0，所以＝a＋2＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝1时，等号成立．
11. x＋y　由基本不等式，得x＋y≥2，x2＋y2≥2xy.因为012. (1) ＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋，
因为a>0，b>0，c>0，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝c时，等号同时成立，
所以＋＋≥6.
(2) 因为b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc，当且仅当b＝c时，等号成立；
因为a2＋c2≥2ac，b>0，
所以b(a2＋c2)≥2abc，当且仅当a＝c时，等号成立；
因为a2＋b2≥2ab，c>0，
所以c(a2＋b2)≥2abc，当且仅当a＝b时，等号成立，
累加，得a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
13. (1) 由c－d>0.
又a>b>0，所以a－c>b－d>0，
所以<.
又e<0，所以>.
(2) 因为x>0，y>0，z>0，
所以x＋y≥2>0，y＋z≥2>0，x＋z≥2>0，当且仅当x＝y＝z时，等号同时成立，
所以(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8＝8xyz.

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