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3.3.1　从函数观点看一元二次方程
一、 单项选择题
1 设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则＋的值为(　　)
A. 2 B. －2
C. D. －
2 二次函数y＝2x2＋x－1的零点是(　　)
A. ，－1
B. －，1
C. ，(1，0)
D. ，(－1，0)
3 若二次函数y＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (1，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
4 已知函数y＝ax2＋bx＋c(b≠0)的一个零点是－1，则的值为(　　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. 2
5 已知关于x的函数y＝x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a的值为　(　　)
A. B.
C. D.
6 设m为实数，若二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. [1，＋∞)
C. (－∞，1) D. R
二、 多项选择题
7 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列结论中正确的是(　　)
A. b2>4ac
B. 2a－b＝1
C. a－b＋c＝0
D. 5a8 已知二次函数y＝1－(x－a)(x－b)的左、右零点分别为m，n，则实数a，b，m，n的大小关系可能是(　　)
A. mC. m三、 填空题
9 函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则实数m的取值范围是________．
10 已知函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数a的取值范围为________．
11 已知函数y＝－3(x－1)2＋k的两个零点分别为x1，x2，且x＋x＝，则x1＋x2＝________，k＝________．
四、 解答题
12 求下列函数的零点：
(1) y＝2x2－3x－2；
(2) y＝ax2－x－1；
(3) y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
13 (2024南通如皋调研)已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数．
(1) 求证：对任意实数m，该二次函数有两个零点；
(2) 设该二次函数在区间(0，＋∞)上有两个零点为x1，x2，且＋＝，求此二次函数的表达式．
3.3.1　从函数观点看一元二次方程
1. D　由题意，得x1，x2是方程6x2－x－2＝0的两个实根．由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－，故＋＝＝－.
2. A　二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝或x＝－1.
3. B　由题意知，关于x的方程x2＋2x＋a＝0无解，则Δ＝4－4a<0，即a>1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
4. A　由题意，得a(－1)2－b＋c＝0，所以b＝a＋c，所以＝＝1.
5. B　因为x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.
6. C　由题意，得二次函数y＝x2－2x＋m的图象开口向上，对称轴方程为x＝1，要使二次函数y＝x2－2x＋m在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点，则12－2×1＋m<0，即m<1，所以实数m的取值范围是(－∞，1).
7. AD　因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故A正确；对称轴方程为x＝－1，即－＝－1，则2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故C错误；由对称轴方程为x＝－1，知b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a8. AC　由y＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数的图象开口向下，且当x＝a或x＝b时，y＝1>0.因为m，n是方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，所以当x＝m或x＝n时，y＝0.由二次函数的图象可知，实数a，b，m，n的关系可能是m图1 　图2
9. 　因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得010. (0，1)　函数y＝ax2－2x＋1(x∈R)有两个零点，则a≠0.因为一个大于1另一个小于1，且当x＝0时，y＝1>0，所以或解得011. 2　　令y＝0，则－3x2＋6x－3＋k＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4＋＝，解得k＝.
12. (1) 由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，
所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－.
(2) 当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0，得x＝－1，所以函数的零点为－1；
当a≠0时，由ax2－x－1＝0，得Δ＝1＋4a，
①当Δ<0，即a<－时，方程无实数根，则函数无零点；
②当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，则函数有唯一的零点－2；
③当Δ>0，即a>－且a≠0时，由ax2－x－1＝0，得x＝，
则函数有两个零点和.
综上，当a＝0时，函数的零点为－1；当a＝－时，函数的零点为－2；当a>－且a≠0时，函数有两个零点和；当a<－时，函数无零点．
(3) 因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，
所以该函数的零点为－3和1.
13. (1) 由题意，得Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)＝16>0，
所以对任意实数m，该二次函数有两个零点．
(2) 因为该二次函数在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点，所以
则解得m>3.
因为＋＝，所以＝，解得m＝5，
所以该二次函数的表达式为y＝x2－8x＋12.

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