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第2章　常用逻辑用语 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　)
A. 所有能被5整除的整数都不是奇数
B. 所有奇数都不能被5整除
C. 存在一个能被5整除的整数不是奇数
D. 存在一个奇数，不能被5整除
2 “a＝1”是“ab＋1＝a＋b”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3 “m>2”是命题“ x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 (2024厦门翔安一中期中)已知集合A＝{x|－1A. [2，＋∞) B. (－∞，2]
C. (2，＋∞) D. (－2，2)
5 (2024安康月考)关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要且不充分条件是(　　)
A. m< B. m≤
C. m<－ D. m<
6 (2024兴化中学月考)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，若命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－∞，3) B. (－∞，4)
C. (1，5) D. (0，4)
二、 多项选择题
7 (2024镇江实验高级中学月考)下列说法中，正确的是(　　)
A. x，y∈R，x2＋y2－4x＋2y＋5＝0
B. 梯形的对角线不相等
C. 自然数集N中最小的数是0
D. 空集是任何集合的真子集
8 (2024临沂期中)下列结论中，正确的是(　　)
A. 命题“ x∈R，3x2－2x－1<0”的否定是“ x∈R，3x2－2x－1≥0”
B. 若“ x∈R，x2－2x－a<0”为假命题，则a≥－1
C. 设a，b∈R，则“a2>b2”的充分且不必要条件是“a>b”
D. x∈{y|y是无理数}，x2是无理数
三、 填空题
9 已知集合A＝{x|－110 已知集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}, x，y∈Z，则“x，y∈A”是“x＋y∈B”的________________条件．(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
11 (2024河北文安一中月考)已知集合A＝{x|0四、 解答题
12 已知命题p： x∈R，x2－2ax＋a2＋a－2＝0为真命题．
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 命题q：m≤a≤m＋1，若p是q的必要且不充分条件，求实数m的取值范围．
13 已知a∈R，命题p： x∈(1，2)，(a－2)x－1>0；q： x∈R，x2＋ax＋4>0.
(1) 写出p的否定，并求当p的否定为真命题时，实数a的取值范围；
(2) 若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
本 章 复 习
1. C　全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，故A，B错误；因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，故D错误，C正确．
2. A　由ab＋1＝a＋b，知(a－1)(b－1)＝0，则a＝1或b＝1，所以“a＝1”是“ab＋1＝a＋b”的充分且不必要条件．
3. A　若 x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0，则4(m－1)2－4(m2－1)<0，解得m>1.因为(2，＋∞)?(1，＋∞)，所以由m>2能推得出 x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0，即充分性成立；由 x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0推不出m>2，即必要性不成立．故“m>2”是命题“ x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0”的充分且不必要条件．
4. C　若x∈A是x∈B成立的充分条件，则A B，所以m＋1>3，解得m>2.
5. A　因为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，所以Δ＝1－4m≥0，解得m≤，结合选项可知m≤的一个必要且不充分条件是m<.
6. A　因为命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，所以命题“ m∈R，A∩B＝ ”为真命题．因为集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，所以当A＝ 时，a<0，此时A∩B＝ 成立；当A≠ 时，a≥0，因为 m∈R，A∩B＝ ，所以a7. AC　对于A，因为x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)2＝0，所以当x＝2，y＝－1时，等号成立，故A正确；对于B，等腰梯形的对角线相等，故B错误；对于C，自然数集N中的最小的数是0，故C正确；对于D，空集是任何非空集合的真子集，故D错误．故选AC.
8. AD　对于A，由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知A正确；对于B，由题意可知命题“ x∈R，x2－2x－a≥0”为真命题，则Δ＝(－2)2＋4a≤0，解得a≤－1，故B错误；对于C，a>b，不能推出a2>b2，例如，a＝1，b＝－2，反之，a2>b2也不能推出a>b，例如，a＝－2，b＝1，所以a>b是a2>b2的既不充分又不必要条件，故C错误；对于D，x＝是无理数，x2＝也是无理数，故D正确．故选AD.
9. (－1，＋∞)　当a＝－2时，B＝{x|－2－1.
10. 既不充分又不必要　设x＝2n1，y＝2n2，n1，n2∈Z，则x＋y＝2(n1＋n2)，当n1＋n2为奇数时，x＋y B，当n1＋n2为偶数时，x＋y∈B，故充分性不成立；设x＝1，y＝3，则x＋y∈B，但x，y A，故必要性不成立，故“x，y∈A”是“x＋y∈B”的既不充分又不必要条件．
11. [1，＋∞)　由x∈A是x∈B成立的一个充分且不必要条件，得A?B，所以a＋1≥2，解得a≥1.故实数a的取值范围是[1，＋∞).
12. (1) 由命题p是真命题，
可得Δ＝4a2－4(a2＋a－2)≥0，
整理，得a－2≤0，解得a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2].
(2) 由(1)知，a≤2，
设A＝{a|a≤2}，B＝{a|m≤a≤m＋1}，
由p是q的必要且不充分条件，可得B?A，
所以m＋1≤2，解得m≤1.
所以实数m的取值范围是(－∞，1].
13. (1) 由题意，得p的否定为“ x∈(1，2)，(a－2)x－1≤0.
若p的否定为真命题”，
则a－2≤对任意x∈(1，2)恒成立，
所以a－2≤，解得a≤.
故实数a的取值范围是.
(2) 由(1)可得，当p的否定为真命题时，a≤，所以当p为真命题时，a>.
若q为真命题，则 x∈R，x2＋ax＋4>0恒成立，
所以Δ＝a2－16<0，解得－4①若p为真命题，q为假命题，
则或解得a≥4；
②若p为假命题，q为真命题，
则解得－4综上，实数a的取值范围是∪[4，＋∞).

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