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第十章 数的开方
专题10.1 平方根
基础知识夯实
知识点01 平方根
1.平方根
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根.
2．平方根的表示
若 ，则叫做的平方根，记作，其中2为根指数，通常省略不写，即记作
读作＂正负根号＂，其中称为被开方数。
重点：平方根的定义中是非负数，即.
知识点02 平方根的性质
1.平方根的性质
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根
重点：判断一个数是否有平方根，就是判断这个数是正数、负数还是0.如果一个数有平方根，那么这个数一定是非负数。
知识点03 算术平方根
1.算术平方根
正数的正的平方根，叫做的算术平方根
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数的算术平方根记为，读作＂根号＂，叫做被开方数。
重点：（1）算术平方根 具有双重非负性：被开方数是非负数，即；算术平方根 是非负数，即 ．
算术平方根是它，本身的数只有0和1．
（3）任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数。
2.平方根与算术平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区别 定义不同 正数的正的平方根叫做的算术平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根
个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
表示方法不同 非负数的算术平方根表示为 非负数的平方根表示为
取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)
存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0
3.开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方
重点：1.平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
2.两个重要公式：
（1） ；
（2）
区别 运算顺序不同 先开方再求平方 先求平方再开方
的取值 范围不同 任意数
联系
典型案例探究
知识点01 平方根
例1.（24-25八年级上·河北唐山·期中）4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方根概念理解
【分析】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．根据平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：，
的平方根是；
故选：C．
【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．4 B．－4 C．0 D．2
【答案】B
【知识点】平方根概念理解
【分析】本题考查了平方根的定义的理解和应用，根据平方根的定义可知只有非负数才有平方根，由此进行判断即可．
【详解】解：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根，
∴没有平方根．
故选：B
知识点02 平方根的性质
例1．4的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】该题考查了平方根的定义，根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：4的平方根是，
故选：A．
【变式1】如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（ ）
A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，相反数，
先根据正数的平方根互为相反数求出a，再根据平方根的定义求出答案即可.
【详解】解：∵一个正数x的两个平方根是与，
∴，
解得，
∴.
∵9的平方根是，
∴.
故选：D.
【变式2】的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．先计算乘方可得，再根据平方根的性质求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴的平方根是，
故答案为：．
知识点03 算术平方根
例1.（24-25八年级上·贵州毕节·期末）49的算术平方根是 ．
【答案】7
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据求解即可得．
【详解】解：∵，
∴的算术平方根是7，
故答案为：7．
【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质得出，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
课后作业
A
一、单选题
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义得出答案即可．
【详解】解：的平方根是，
故选：B．
2．，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可．
【详解】解：，
∴，
故选：C．
3．已知，那么的值为( )
A． B． C． D．-
【答案】A
【分析】本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键，根据算术平方根和绝对值的非负性，确定、的值，再代入代数式求值即可
【详解】解：，
，，
，，
．
故选：A．
4．已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法，平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程组的解代入后可求出的值，代入所求代数式求出其平方根即可．
【详解】解：∵是的解，代入得：

解得，
则，平方根为．
故选：C．
二、填空题
5．的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，先化简，再计算即可．
【详解】解：因为，
所以的算术平方根是；
故答案为：．
6．已知，则 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，进而可得答案．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：8
7．若与是整数的两个不相等的平方根，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；由一个正数有两个平方根，并且这两个数互为相反数，可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴；
故答案为1．
8．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的定义；
先根据算术平方根的定义求出a，b，然后计算出的值，再根据算术平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵是的算术平方根，3是的算术平方根，
∴，，
∴，，
∴，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
三、解答题
9．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，是基础题，熟记概念是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解答即可．
【详解】（1）解：，
，
所以，．
（2）解：，
，
，
所以，．
10．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数．
【答案】49
【分析】本题考查平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．根据平方根定义得到，然后解方程求得a值即可解答．
【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与，
∴，解得，
∴，
故答案为：49．
11．若一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数．
【答案】4
【分析】本题考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．通过互为相反数的两个数的和为0，列式计算，求出未知字母的值，从而求解．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和，
∴，
解得，
∴，
则这个正数为．
12．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为．
(1)求：、的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，求代数式的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
（1）根据平方根与算术平方根的定义，列出方程，进行解答即可；
（2）先求出的值，再根据算术平方根进行计算即可．
【详解】（1）解：∵和是某正数的平方根，
∴，
解得：，
∵的算术平方根为，
∴，
解得：．
（2）解：将，代入，
得，
∵的算术平方根为，
B
一、单选题
1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解．
【详解】解：的算术平方根表示为：，
故选：B
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．的平方根是
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是
【答案】D
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项．
【详解】解：A. 25的算术平方根是5，正确．
B. ，9的平方根是，正确．
C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确．
D. ，16的平方根是，但选项仅指出，错误．
故选：D．
3．已知代数式的值是4，则代数式的值是（ ）
A．13 B．9 C．1 D．9或1
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算．
先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值．
【详解】解：因为，
所以，
对进行变形可得：，
当时，代入上式可得：，
当时，代入上式可得：，
所以，代数式的值是9或1，
故选：D．
4．已知，则的值为（ ）
A．0 B．2025 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性是解题的关键．
根据得，，求出、的值，再代入求解即可．
【详解】解：，，且
，，
，，
，，
．
故选：D．
二、填空题
5．若，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、平方根，先根据求出x的值，再求的平方根．
【详解】解：，
，
，
的平方根是，
故答案为：．
6．已知与互为相反数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
7．已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同解方程组，求解算术平方根，由题意可得，再解方程组可得，再代入另外两个方程求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
②①得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：，
∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同，
∴，即，
∴，
∴的算术平方根的值为；
故答案为：．
8．如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．
1

2
3
… … … … …
【答案】20
【分析】本题主要考查数字的变化规律类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．
【详解】解：由图形可知，第n行最后一个数为=，
∴第27行最后一个数为，
则第28行从左至右第22个数是，
故答案为：20．
三、解答题
9．已知，的平方根是，，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查平方根、算术平方根、代数式求值，理解平方根的定义，由算术平方根的非负性求得c值是解答的关键．根据平方根和算术平方根的定义求得a、b、c值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得；
∵的平方根是，
∴，解得；
∵，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
10．已知长方形的长和宽分别为a，b且a，b满足，求这个长方形的面积．
【答案】6
【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，以及列二元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握非负性是解题的关键．
根据非负性得到，解方程组即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴长方形的面积为．
11．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：；
(1)已知，，求，的值；
(2)在（1）的条件下，关于的不等式组恰好有2个整数解，求实数的取值范围．
(3)若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数k的取值范围；
（3）根据新运算列出方程组，可求出a，b的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
解得：，；
（2）由（1）可得，，
根据题意得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组恰好有2个整数解，即，
∴，
解得：；
（3）由，得到，
整理得：，
∵对于任意不相等的实数，都成立，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
12．先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：．
(1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
【详解】（1）∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
故根据规律可猜测第五个等式为；
故答案为：．
（2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）根据规律可化简
．
C
1．已知满足，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解．
此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用．
【详解】解：由得，
而，
故，
解得，
故时，
又，
，，，
，
故，
故答案为：．
2．下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是 ．（填正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】本题考查算术平方根、解一元一次不等式组及平行线的判定与性质，掌握算术平方根的意义、一元一次不等式组的解法和平行线的判定与性质是解题的关键．
①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可；②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可；③先解不等式组得，再根据整数解中有无正数，分情况讨论即可；④根据题意，得或，求它们的解集即可．
【详解】解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
∴①不正确，不符合题意；
，，，
∴，
∴，
∴②正确，符合题意；
解得：，
所有的整数解的和为，
∴当x的整数解无正数时，整数解为，
，解得，
当x的整数解有正数时，整数解为，
，解得，
∴的取值范围是或，
∴③正确，符合题意；
④不等式组的解集为：
∵原不等式组有解，且每个解都不在的范围内，
∴或，
解第一个不等式组得，第二个不等式组无解，
∴当时，原不等式组有解且每个解都不在的范围内，
∴④正确，符合题意．
综上，②③④正确．
故答案为：②③④．
3．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，．
(1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根；
(2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答；
（2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，其中，为有理数，
，，
，，
，
的平方根是；
（2），
，
，
，为有理数，
，
解得：，
，为有理数且是的平方根，
，
的值为．
【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第十章 数的开方
专题10.1 平方根
基础知识夯实
知识点01 平方根
1.平方根
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根.
2．平方根的表示
若 ，则叫做的平方根，记作，其中2为根指数，通常省略不写，即记作
读作＂正负根号＂，其中称为被开方数。
重点：平方根的定义中是非负数，即.
知识点02 平方根的性质
1.平方根的性质
（1）正数有两个平方根，它们互为相反数
（2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根
重点：判断一个数是否有平方根，就是判断这个数是正数、负数还是0.如果一个数有平方根，那么这个数一定是非负数。
知识点03 算术平方根
1.算术平方根
正数的正的平方根，叫做的算术平方根
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数的算术平方根记为，读作＂根号＂，叫做被开方数。
重点：（1）算术平方根 具有双重非负性：被开方数是非负数，即；算术平方根 是非负数，即 ．
算术平方根是它，本身的数只有0和1．
（3）任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数。
2.平方根与算术平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区别 定义不同 正数的正的平方根叫做的算术平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根
个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
表示方法不同 非负数的算术平方根表示为 非负数的平方根表示为
取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)
存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0
3.开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方
重点：1.平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
2.两个重要公式：
（1） ；
（2）
区别 运算顺序不同 先开方再求平方 先求平方再开方
的取值 范围不同 任意数
联系
典型案例探究
知识点01 平方根
例1.（24-25八年级上·河北唐山·期中）4的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（ ）
A．4 B．－4 C．0 D．2
知识点02 平方根的性质
例1．4的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1】如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（ ）
A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1
【变式2】的平方根是 ．
知识点03 算术平方根
例1.（24-25八年级上·贵州毕节·期末）49的算术平方根是 ．
【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
课后作业
A
一、单选题
1．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
3．已知，那么的值为( )
A． B． C． D．-
4．已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
5．的算术平方根是 ．
6．已知，则 ．
7．若与是整数的两个不相等的平方根，则 ．
8．已知是的算术平方根，3是的算术平方根，则的算术平方根是 ．
三、解答题
9．解下列方程：
(1)；
(2)．
10．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数．
11．若一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数．
12．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为．
(1)求：、的值；
(2)求的算术平方根．
B
一、单选题
1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（ ）
A． B． C． D．4
2．下列说法中，错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．的平方根是
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是
3．已知代数式的值是4，则代数式的值是（ ）
A．13 B．9 C．1 D．9或1
4．已知，则的值为（ ）
A．0 B．2025 C． D．1
二、填空题
5．若，则的平方根是 ．
6．已知与互为相反数，则的值是 ．
7．已知关于、的二元一次方程组和的解相同，则的算术平方根的值为 ．
8．如图是按一定规律排成的三角形数阵，按数阵中数的排列规律，第28行从左至右第22个数是 ．
1

2
3
… … … … …
三、解答题
9．已知，的平方根是，，求的平方根．
10．已知长方形的长和宽分别为a，b且a，b满足，求这个长方形的面积．
11．对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：；
(1)已知，，求，的值；
(2)在（1）的条件下，关于的不等式组恰好有2个整数解，求实数的取值范围．
(3)若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值．
12．先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：．
(1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
C
1．已知满足，则代数式的值是 ．
2．下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是 ．（填正确结论的序号）
3．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，．
(1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根；
(2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值．

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