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第十章 数的开方
专题10.2 实数
基础知识夯实
知识点01 无理数
1．定义 无限不循环小数叫做无理数．
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环。
2．三种常见形式
（1）开方开不尽的数，如 ；
（2）含有 的一类数，如 ；
（3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 （每相邻两个 1 之间依次多一个 0 ）．
3.无理数与有理数的区别
(1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式，
注意：
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如： 0.3 是无限小数，但不是无理数．
2．某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数．例如 就不是无理数．
知识点02 实数
1.定义 有理数和无理数统称为实数特别解读:(1)在实数范围内，一个数不是有理数那么它一定是无理数，反之亦成立(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行
2.分类
(1)按定义分类:
实数 有理数 整数 正整数
0
负整数
分数 正分数
负分数
无理数 正无理数
负无理数
（2）按性质分类:
实数 正实数 正有理数
正无理数
0
负实数 负有理数
负无理数
注意：
1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法都要按同一标准，做到不重复不遗漏
2.0既不是正实数也不是负实数
3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数
知识点03 实数与数轴
1.实数与数轴上的点的对应关系
实数与数轴上的点是一一对应的
（1）“一一对应”包含着两层含义:
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示②数轴上的每一个点都表示一个实数,
（2）数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 、点 在数轴上表示的数分别为 ，则 ．
2．利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
注意：
1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置
2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数
知识点04 实数的性质
1．相关概念
（1）相反数：实数 的相反数为 ，若a, b互为相反数，则 ；
（2）倒数：非零实数 的倒数为 ，若a, b互为倒数，则;
绝对值：
2.比较实数的大小
(1)定义法:正数大于0，0大于一切负数。(2)性质法:两个正数，绝对值大的数大;两个负数
绝对值大的数反而小
注意：
1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可
知识点05 实数的运算
1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的
2．实数的运算律
加法交换律： ；
加法结合律： ；
乘法交换律： ；
乘法结合律： ；
乘法分配律： 。
3.运算种类
运算级别 第一级 第二级 第三级
运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方
运算结果 和 差 积 商 幂 方根
注意：
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到:
一“看”--看算式的结构特点能否运用运算律或公式:
二“用”--运用运算律或公式;
三“查”--检查过程和结果是否正确
典型案例探究
知识点01 无理数
例1.（24-25八年级上·四川成都·期中）在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的概念，含根号的实数要判断是否能开得尽方是本题的关键．根据无理数的概念，即无限不循环小数，依次判断即可得出答案．
【详解】解：是分数，是有理数；是无理数；（每两个之间依次多一个）是无理数；是有理数，是无理数；
故有个无理数；
故选：D
【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解： 是分数，不是无理数；
是整数，不是无理数；
是无限循环小数，不是无理数；
是整数，不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数，
所以，无理数有1个，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数之比．
【详解】解：由无理数的定义可得，四个数中只有是无理数，
故选：D．
【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数．
【详解】A、，是整数，属于有理数．
B、 是整数，属于有理数．
C、，是整数，属于有理数．
D、因为7不是完全平方数，属于无限不循环小数，故为无理数．
故选：D
知识点02 实数的分类
例1．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
根据无理数和实数的定义来判断正误即可．
【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意；
②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意；
③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意；
④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意；
⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意；
错误选项有：②④⑤，
故选：C．
【变式1】把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，．
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
整数集合：{ }
分数集合：{ }
【答案】，，，；，，；；，，
【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算绝对值和算术平方根，再根据有理数，无理数，整数和分数的定义求解即可．
【详解】解：，，
是无理数，
是无理数，
是有理数，是整数，
是无理数，
是有理数，是分数，
是有理数，是分数，
是有理数，是分数，
∴有理数集合：{，，，}，
无理数集合：{，，}，
整数集合：{}，
分数集合：{，，}．
【变式2】下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理数集合：_____；
（2）无理数集合：_____；
（3）非负整数集合：_____；
王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数．
比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数）
【答案】（1）0，0.3（3无限循环），，18，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，；（2），，，0.8080080008…，；（3）0，18，；
【分析】本题主要考查了实数，解决本题的关键是熟记实数的分类；
（1）根据有理数的定义，即可解答；
（2）根据无理数的定义，即可解答；
（3）非负整数集合包括0和正整数，即可解答．
【详解】解：有理数集合：，无限循环，，，，无限循环，，，；
无理数集合：，，，，；
非负整数集合：，，；
设（21无限循环），则（21无限循环），
（21无限循环）（21无限循环），
，
S；
故1.21（21无限循环）
知识点03 实数与数轴
例1.如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C是线段的中点，可得，用C点表示的数减去的距离，可得A点表示的数．
【详解】解：∵点C是线段的中点，
∴，
∴点A表示的数是：，
故选：D．
【变式1】如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查的是实数与数轴，先判断出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点符合题意．
故选：A．
【变式2】如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若，则数轴上点A表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴．根据题意得出，即可得出答案．
【详解】解：∵点B，C在数轴上表示的数分别是4，，
∴，
∴点A对应的数是：，
故答案为：．
【变式3】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，那么点所对应的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题需注意：确定点的符号后，点所表示的数是距离原点的距离．直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明之间的距离为圆的周长，由此即可确定点对应的数．
【详解】解：因为圆的周长为，
所以圆从原点沿数轴向右滚动一周，．
故答案为：．
【变式4】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值为　　　　　　．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，差的绝对值是大数减小数，注意数轴上的点向右移动加，向左移动减．
（1）根据数轴上的点向右移动加，可得答案；
（2）根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：根据题意可知，
．
知识点04 实数的性质
例1．实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了学生对“求倒数的方法”知识点的掌握情况，解答本题的关键是熟练掌握倒数的概念，然后通过求整数的倒数的方法得到答案，
【详解】解：的倒数是
故选：D.
【变式1】化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
【变式2】下列说法错误的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，一个数的立方根只有一个，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
根据平方根以及立方根的概念进行判断即可．
【详解】解：A、9的平方根是，该选项说法错误；
B、1的立方根是1，该选项说法正确；
C．的相反数是，该选项说法正确；
D、π的绝对值是π，该选项说法正确；
故选：A．
【变式3】已知，且，求的值．
【答案】2或
【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，实数的性质，根据题意可得或，据此分情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴或，
当时，；
当时，．
综上所述，的值为2或．
知识点05 实数的运算
例1．化简： ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：11．
【变式1】已知，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查二次根式的运算，非负数的性质．根据非负性先分别求出，，再将a，b的值代入化简二次根式即可得出答案．
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：4．
【变式2】1）计算：；
（2）解方程：；
（3）已知，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了非负数的性质，实数的运算等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可；
（2）根据平方根的定义解方程即可；
（3）根据非负数的性质可求出x、y的值，根据相反数的定义和立方根的性质可求z的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
（3）∵，
∴，，
∴，，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∵9的平方根是，
∴的平方根是．
【变式3】如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点．
(1)写出点表示的数；
(2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长；
(3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长．
【答案】(1)点表示的数为和
(2)
(3)点表示的数为，线段的长为
【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出，再由表示出点表示的数；
（2）先求出点表示的数，再由数轴上两点距离公式求解；
（3）根据点是线段的中点，得到，则，即可求出，再由数轴上两点距离公式求解．
【详解】（1）解：如图，，那么4个一样的等腰直角三角形拼成一个面积为的正方形，如图：
∴，
∴（舍负），
∴，
∴点表示的数为和；
（2）解：由题意得点表示的数为，
∴；
（3）解：设点表示的数为
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴点表示的数为，线段的长为．
课后作业
A
一、单选题
1．在实数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数大小比较的概念，正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；根据这个规则来找出给定实数中的最小值．
【详解】解：∵，，，
又∵，即，
∴，
∵负数小于 ，
∴ ，
∴在实数中，最小的数是，
故选：B．
2．数学著作《九章算术》中用“面”来表示开方开不尽的数，这是中国传统数学对无理数的最早记载．下列四个数中，为无理数的是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了实数，根据有理数、无理数的定义分别判断即可．
【详解】解：，，2是有理数，无理数是，
故选：C．
3．下列实数：，，，，，0，，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了乘方运算，算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答．
【详解】解：，，
则，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1）都是无限不循环小数，
故无理数有3个,
故选：A
4．相传，古希腊有一个叫希帕索斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数和有理数的定义，判断每个选项属于有理数还是无理数．本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数，整数和分数是有理数是解题的关键．
【详解】解：是无限不循环小数，属于无理数；
是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数．
故选：A．
二、填空题
5．比较大小： 2．(填“”“”或“<”)
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是将整数2转化为算术平方根形式，再根据被开方数大小比较算术平方根的大小．
把2转化为，然后比较和的大小，根据算术平方根的性质，被开方数大的算术平方根大．
【详解】解：因为，而，
根据算术平方根的性质，当时，，所以，即，
故答案为：．
6．定义新运算 “※”：，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查含乘方的有理数的混合运算、新定义运算法则等知识点，掌握新定义运算法则成为解题的关键．
先根据定义新运算的法则得到含乘方的算式，然后利用含乘方的有理数的混合运算法则运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
7．设表示小于a的最大整数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新运算的定义，有理数加法，理解新运算的定义是解题的关键．
根据新运算的定义，将转化成，再根据有理数加法法则，计算即可．
【详解】解：根据题意得，
故答案为：．
8．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是

【答案】点/点
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴表示的点是Q点．
故答案为：点．
9．如图，在数轴上的a，b，c三个实数，且，化简 ．
【答案】/
【分析】本题考查了绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴正确判断相关式子的符号是解题的关键．根据数轴可得，，，再利用绝对值的性质即可化简．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且，
，，，
．
故答案为：．
三、解答题
10．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、乘方、算术平方根．先计算立方根、绝对值、乘方、算术平方根，再去括号计算加减法即可．
【详解】解：
．
11．设是的整数部分，，求的值．
【答案】4
【分析】本题考查的是无理数的整数部分的含义，算术平方根的含义，求解一个数的立方根，掌握“无理数的估算方法，算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键；由可得m的值，再利用算术平方根的含义求解n，再求解的立方根即可．
【详解】解：，即，
的整数部分为5，
即，
又，
，
．
12．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设+···+，求不超过m的最大整数是多少？
【答案】(1)
(2)2025
【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键．
（1）根据题干列举的等式，即可得出答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）+···+，
，
，
，
∴不超过m的最大整数是2025．
B
一、单选题
1．在实数 ， 0，， ，中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．根据无理数的概念即可判断．
【详解】解：是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
则无理数有个，
故选：C．
2．球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估算，掌握估算的方法是解决问题的关键．将代入公式计算，然后用平方法估算即可．
【详解】解：将代入得：，
∵，
∴，
∴所用时间与4秒最接近．
故选：B．
3．若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，解一元一次不等式组．数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，由此列不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：由题意得
解不等式得：，
解不等式得：，
所以该不等式组的解集为，
故选：B．
4．满足的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查估算无理数的大小．先估算无理数的大小，进而得到的大小即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
而，
∴的整数m的值可以是3，不可能是2，1，0，
故选：A．
二、填空题
5．估算的值 ．
【答案】7.9
【分析】本题考查了无理数的估算，根据“夹逼法”求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7.9．
6．已知m是整数，且，若是无理数，则整数m的值为 ．
【答案】或0或2
【分析】本题考查无理数的定义以及不等式的求解．先根据求出m的取值范围，再结合m是整数确定m的可能值，最后根据是无理数来确定m的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m是整数，
∴m的值可能为，，0，1，2，
∴当时，，是有理数，不符合要求；
当时，，是无理数，符合要求；
当时，，是无理数，符合要求；
当时，，是有理数，不符合要求；
当时，，是无理数，符合要求．
所以整数m的值为或0或2，
故答案为：或0或2．
7．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么 ．
【答案】9
【分析】根据定义，解答即可．
本题考查了新定义运算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据定义，得，
故答案为：9．
三、解答题
8．将下列各数填入相应的大括号内：
，0，8，， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，．
正数集：{ …}；
有理数集：{ …}；
负数集：{ …}；
无理数集：{ …}．
【答案】8，；，0，8，，；， (每相邻两个2之间依次多一个1)，；， (每相邻两个2之间依次多一个1)
【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数和有理数的识别，解题的关键是熟练掌握相关定义．
利用实数的分类，无理数和有理数的定义进行求解即可．
【详解】解：正数集：{8，，…}；
有理数集：{，0，8，，，…}；
负数集：{， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，…}；
无理数集：{， (每相邻两个2之间依次多一个1)，…}.
9．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可；
（2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
10．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义、无理数估算，属于基础题型，熟练掌握这三者是关键．
（1）根据平方根和算术平方根的定义即可求出、，估算出的范围即可求出；
（2）将、、的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答．
【详解】（1）解：∵的平方根是和，的算术平方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵是的整数部分，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
11．【阅读】
对于数对，若，则称为“轩缘数对”．如：因为，，所以，都是“轩缘数对”．
【理解】
（1）下列数对中，是“轩缘数对”的是_____；（填序号）
①；②；③；④．
【运用】
（2）若是“轩缘数对”，求的值；
（3）若是“轩缘数对”，求算式的值．
【答案】（1）①③④
（2）
（3）0
【分析】本题考查了新定义“轩缘数对”的理解与应用，解题的关键是紧扣“轩缘数对”的定义，通过代入计算、列方程求解等方式解决问题．
（1）根据“轩缘数对”定义，分别验证各数对中两数的和是否等于两数的积；
（2）利用定义列出关于x的方程，求解得出x的值；
（3）由定义得到，将其代入算式化简求值．
【详解】解：①对于，和等于积，是“轩缘数对”；
②对于，，和不等于积，不是；
③对于，，，和等于积，是“轩缘数对”；
④对于，和等于积，是“轩缘数对”．
故答案为：①③④．
（2）解：∵是“轩缘数对”，
∴，
移项得：，
解得．
（3）解：∵是“轩缘数对”，
∴．
则．
C
1．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，．
试解决下列问题：
(1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________．
(2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________．
②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围．
(3)求满足的所有非负整数x的值．
【答案】(1)①3，②
(2)①；②
(3)3
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，新定义，根据题意正确理解的意义是解题关键．
（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；
（2）①首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；②先解方程，得出，再根据是整数，x是正整数，得到或2，进而得出或1，则或，即得；
（3）根据，得，解得，3，4，由是正整数即得．
【详解】（1）解：①由题意可得：；
故答案为：3，
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：①解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有3个得，，
故；
故答案为：；
②解方程得，
∵是整数，x是正整数，
∴或1，
∴或1，
∴，或，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，3，4，
∵x为整数，
∴满足的所有非负整数x的值为3．
2．我们规定：二元一次方程组的解记为，若存在满足，，则称是的“五好点”．
(1)点的“五好点”的坐标为______；
(2)若方程组的解记为，点的“五好点”为，且满足，求的取值范围；
(3)已知：是的整数部分，是的算术平方根（其中），当时，的“五好点”是，问：可能取得的最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)可能取得的最大值是
【分析】（1）根据新定义，由，利用，，得到其“五好点”的坐标即可；
（2）解二元一次方程组，得到，得到“五好点”的坐标，代入，得到的范围；
（3）根据题意，得到，通过解方程组得到，从而得到结果．
【详解】（1）解：根据“五好点”定义，，，
，
“五好点”，，，
“五好点”的坐标为，
故答案为：；
（2）解：
将，得，
解得，
把代入，得，
点的“五好点”为，
，，
又
，
；
（3）解：，
的整数部分，
，是的算术平方根（其中），
，
即为，
当时，的“五好点”是，
，
两式相减，得，
，
，
可能取得的最大值是．
【点睛】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用，读懂题意，熟练解二元一次方程组是解题的关键．
3．现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”．
例如，，则称“关联”了
(1)下列数对中被“关联”的有______；
①，②，③，④
(2)若同时被和“关联”，请求出p，q；
(3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对．
【答案】(1)①④
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式．
（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可；
（2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可；
（3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出的关系，进而可求出的值．
【详解】（1）解：①，
∴被“关联”；
②
∴未被“关联”；
③
∴未被“关联”；
④
∴被“关联”；
故答案为：①④；
（2）解：根据题意得，
解方程组得；
（3）解：根据题意得，
得，即，
将代入①得，
将和代入③得，
，
根据题意可得，
，
整理得，
将代入得，，
∴，
解得，
所以，数对为．中小学教育资源及组卷应用平台
第十章 数的开方
专题10.2 实数
基础知识夯实
知识点01 无理数
1．定义 无限不循环小数叫做无理数．
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环。
2．三种常见形式
（1）开方开不尽的数，如 ；
（2）含有 的一类数，如 ；
（3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 （每相邻两个 1 之间依次多一个 0 ）．
3.无理数与有理数的区别
(1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数;
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式，
注意：
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如： 0.3 是无限小数，但不是无理数．
2．某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数．例如 就不是无理数．
知识点02 实数
1.定义 有理数和无理数统称为实数特别解读:(1)在实数范围内，一个数不是有理数那么它一定是无理数，反之亦成立(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行
2.分类
(1)按定义分类:
实数 有理数 整数 正整数
0
负整数
分数 正分数
负分数
无理数 正无理数
负无理数
（2）按性质分类:
实数 正实数 正有理数
正无理数
0
负实数 负有理数
负无理数
注意：
1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法都要按同一标准，做到不重复不遗漏
2.0既不是正实数也不是负实数
3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数
知识点03 实数与数轴
1.实数与数轴上的点的对应关系
实数与数轴上的点是一一对应的
（1）“一一对应”包含着两层含义:
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示②数轴上的每一个点都表示一个实数,
（2）数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 、点 在数轴上表示的数分别为 ，则 ．
2．利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
注意：
1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置
2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数
知识点04 实数的性质
1．相关概念
（1）相反数：实数 的相反数为 ，若a, b互为相反数，则 ；
（2）倒数：非零实数 的倒数为 ，若a, b互为倒数，则;
绝对值：
2.比较实数的大小
(1)定义法:正数大于0，0大于一切负数。(2)性质法:两个正数，绝对值大的数大;两个负数
绝对值大的数反而小
注意：
1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可
知识点05 实数的运算
1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的
2．实数的运算律
加法交换律： ；
加法结合律： ；
乘法交换律： ；
乘法结合律： ；
乘法分配律： 。
3.运算种类
运算级别 第一级 第二级 第三级
运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方
运算结果 和 差 积 商 幂 方根
注意：
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到:
一“看”--看算式的结构特点能否运用运算律或公式:
二“用”--运用运算律或公式;
三“查”--检查过程和结果是否正确
典型案例探究
知识点01 无理数
例1.（24-25八年级上·四川成都·期中）在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）在实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
知识点02 实数的分类
例1．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，．
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
整数集合：{ }
分数集合：{ }
【变式2】下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题，要求对以下实数进行分类填空：，0，0.3（3无限循环），，18，，，1.21（21无限循环），3.14159，1.21，，，0.8080080008…，
（1）有理数集合：_____；
（2）无理数集合：_____；
（3）非负整数集合：_____；
王老师评讲的时候说，每一个无限循环的小数都属于有理数，而且都可以化为分数．
比如：0.3（3无限循环）=，那么将1.21（21无限循环）化为分数，则1.21（21无限循环）=_____（填分数）
知识点03 实数与数轴
例1.如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式2】如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若，则数轴上点A表示的数是 ．
【变式3】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，那么点所对应的数是 ．
【变式4】如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值为　　　　　　．
(2)求的值．
知识点04 实数的性质
例1．实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列说法错误的是（ ）
A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π
【变式3】已知，且，求的值．
知识点05 实数的运算
例1．化简： ．
【变式1】已知，则 ．
【变式2】1）计算：；
（2）解方程：；
（3）已知，且与互为相反数，求的平方根．
【变式3】如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点．
(1)写出点表示的数；
(2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长；
(3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长．
课后作业
A
一、单选题
1．在实数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
2．数学著作《九章算术》中用“面”来表示开方开不尽的数，这是中国传统数学对无理数的最早记载．下列四个数中，为无理数的是（　　）
A． B． C． D．2
3．下列实数：，，，，，0，，，…（每相邻两个1之间0的个数依次增加1），其中无理数有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
4．相传，古希腊有一个叫希帕索斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．0 C． D．
二、填空题
5．比较大小： 2．(填“”“”或“<”)
6．定义新运算 “※”：，则 ．
7．设表示小于a的最大整数，则的值为 ．
8．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是

9．如图，在数轴上的a，b，c三个实数，且，化简 ．
三、解答题
10．计算：．
11．设是的整数部分，，求的值．
12．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设+···+，求不超过m的最大整数是多少？
B
一、单选题
1．在实数 ， 0，， ，中，无理数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．球从空中落到地面所用的时间（秒）和球的起始高度（米）之间有关系式，若球的起始高度为米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
3．若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．满足的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
5．估算的值 ．
6．已知m是整数，且，若是无理数，则整数m的值为 ．
7．用“&”定义新运算：对于任意实数a，b，都有，如果，那么 ．
三、解答题
8．将下列各数填入相应的大括号内：
，0，8，， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，．
正数集：{ …}；
有理数集：{ …}；
负数集：{ …}；
无理数集：{ …}．
9．计算：
(1)；
(2)．
10．已知的平方根是和，的算术平方根是，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
11．【阅读】
对于数对，若，则称为“轩缘数对”．如：因为，，所以，都是“轩缘数对”．
【理解】
（1）下列数对中，是“轩缘数对”的是_____；（填序号）
①；②；③；④．
【运用】
（2）若是“轩缘数对”，求的值；
（3）若是“轩缘数对”，求算式的值．
C
1．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，．
试解决下列问题：
(1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________．
(2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________．
②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围．
(3)求满足的所有非负整数x的值．
2．我们规定：二元一次方程组的解记为，若存在满足，，则称是的“五好点”．
(1)点的“五好点”的坐标为______；
(2)若方程组的解记为，点的“五好点”为，且满足，求的取值范围；
(3)已知：是的整数部分，是的算术平方根（其中），当时，的“五好点”是，问：可能取得的最大值是多少？
3．现有有序数对和，如果，则称“关联”了，或被“关联”．
例如，，则称“关联”了
(1)下列数对中被“关联”的有______；
①，②，③，④
(2)若同时被和“关联”，请求出p，q；
(3)对于均不为0的a、b、c，数对“关联”了、和，且被“关联”，试求数对．

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