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专题01 与平方根与立方根有关的题型
题型一、平方根与立方根的概念理解
1．在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查平方根的性质．根据非负数有平方根即可求得答案．
【详解】解：0，，2006，20.80有平方根，没有平方根，
则有平方根的数有4个，
故选：D．
2．关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（ ）
A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤×
C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√
【答案】A
【分析】本题考查了对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根．根据平方根的意义与性质逐个进行判断即可．
【详解】解：①的平方根是，故是的平方根正确，即①；
②的平方根是，故的平方根是错误，即②；
③负数没有平方根，故的平方根是错误，即③；
④的平方根，故是的平方根正确，即④；
⑤的平方根是，所以的平方根是错误，即⑤；
故选：A ．
3．若代数式没有平方根，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平方根的定义；根据负数没有平方根得到，计算即可求出．
【详解】解：∵代数式没有平方根，
∴，
解得：；
故选：A．
4．下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
即一个非负数的平方根为，据此即可判断．
【详解】解：“9的平方根是”可表示为：，
故选：B．
5．“13的立方根”用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：13的立方根是，
故选：D．
6．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根 B．是的立方根
C．是的立方根 D．是的立方根
【答案】B
【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴是的立方根，
故选：B．
7．要使成立，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意数
【答案】D
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数，
故选：D．
8．立方根等于它本身的有（　　）
A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1
【答案】A
【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案．
【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1．
故选：A．
9．若的平方根只有一个，则x的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查平方根的性质，根据0的平方根是0，只有一个，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵的平方根只有一个，
∴，
∴；
故答案为：3．
10．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据平方根求参数．
根据平方根求出a的值即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得：，
故答案为：．
题型二、已知平方根和立方根反求这个数
11．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（ ）
A． B．5 C．5或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．本题先依据平方根的性质求得的值，然后再进行计算即可．
【详解】解: ∵是的一个平方根，
∴，
∵的平方根是，
∴，
∴ 当，时，，
当，时，．
故选：D．
12．若一个正数的平方根是与，则这个正数是
【答案】4
【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与，
，
，
，
则，
故答案为：4．
13．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义；先根据平方根的定义求出这个自然数，再根据平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵一个自然数的平方根为，
∴这个自然数为9，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数为10，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，
故答案为：．
14．已知和是数的平方根，求的值．
【答案】25
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根）是解题关键．分两种情况：①当数时，②当数时，根据平方根的性质建立方程，解方程求出的值，由此即可得．
【详解】解：①当数时，
则，解得，此时，
所以此时不存在符合条件的的值；
②当数时，
则，解得，
所以，
所以；
综上，的值为25．
15．已知正数x的平方根是a和．
(1)当时，求a的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．
（1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案；
（2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：正数x的平方根是a和，
，
当时，，
；
（2）解：正数x的平方根是a和，
，
，
，
即，
，
，
．
16．已知的算术平方根是的立方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，平方根；
（1）根据题意得到，，计算求解即可；
（2）把，代入中，再求平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，
∴，
解得：，
∵的立方根是，
∴，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为．
17．已知，求的算术平方根．
【答案】3或或
【分析】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根．先根据平方根、立方根的定义得到关于的一元一次方程，解方程组即可求出的值，进而得到的平方根．
【详解】解：∵，
∴，解得，
，解得，
或，解得，
或，解得，
故或8或7，
则的算术平方根为3或或．
18．已知，b是9的算术平方根，的立方根是．
(1)求a，b，c的值；
(2)若，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根：
（1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解；
（2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可．
【详解】（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是，
所以，
所以．
（2）解：因为，，
所以，
所以．
因为25的平方根是，
所以的平方根是．
19．已知的两个平方根分别是和，的立方根是2．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】此题考查平方根，立方根，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据平方根定义，立方根定义列得，，即可求出，，的值；
（2）先求出的值，再利用平方根定义求出答案即可．
【详解】（1）解：依题意得，
解得
故
∴，
解得
由题意，
解得；
（2）∵，
，6的平方根为 ，
所以的平方根为．
20．已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根是．求的算术平方根．
【答案】3
【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键．先根据平方根的定义求出a，立方根的定义求出b，再代入计算即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和，
，解得：，
的立方根是
，
解得：，
，
的算术平方根为3．
题型三、利用算术平方根的非负性求解
21．已知则的值是（ ）
A． B． C．9 D．
【答案】B
【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值与算术平方根的非负性，以及利用二元一次方程组求解未知数．
根据非负数的性质，绝对值与平方根均为非负数，它们的和为零时，各自必须为零，从而建立方程组求解，即可解题．
【详解】由题意可得，，
解方程组：
由可得：③，
③代入：，解得，
代入③得：，
因此，，则．
故选：B．
22．已知，则的值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查算术平方根和平方的非负性，1、几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0；2、任何数的算术平方根都大于或等于0，任何数的平方都大于或等于0．根据非负性求出，再代入求值即可解答．
【详解】解：∵，,
∴，
∴，，
解得：，
∴，
故答案为：11．
23．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的非负性及二元一次方程组的应用，先根据二次根式的非负性求出x、y值，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
解得：，
把代入，，
故答案为：．
24．若、为实数，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键是掌握以上知识点．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：，
∴，，
∴，，
．
故答案为：1．
25．已知长方形的长和宽分别为a，b且a，b满足，求这个长方形的面积．
【答案】6
【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，以及列二元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握非负性是解题的关键．
根据非负性得到，解方程组即可．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴长方形的面积为．
26．已知与互为相反数，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，1、几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0；2、任何数的算术平方根都大于或等于0，任何数的绝对值都大于或等于0．先求出，再代入求解即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴且，
∴，
∴．
27．已知．
(1)求x、y的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是非负数的性质、平方根，熟记绝对值、算术平方根的非负性是解题的关键．
（1）根据绝对值、算术平方根的非负性列出二元一次方程组，解方程组求出x、y；
（2）把x、y的值代入，根据平方根的概念计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴由题意得：，
解得：；
（2）解：当时，，
∵2的平方根是，
∴的平方根是．
28．已知a，b为实数，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，非负数的性质，先根据算术平方根的非负性计算出a和b的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意，得且，
因为两个非负式，之和为0，
所以且
所以，
所以．
题型四、利用平方根和立方根求解方程
29．已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
【答案】A
【分析】一个正实数x的两个平方根分别是m和，得到，代入得到，解答即可．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：由一个正实数x的两个平方根分别是m和，
得到，
代入得到，
故，
解得，（舍去）．
故选：A．
30．若，则 ．
【答案】5或1/1或5
【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案．
【详解】
，
∴或，
故答案为：5或1．
31．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键：
（1）根据平方根的定义，解方程即可；
（2）根据平方根的定义，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
所以，
解得或．
（2）由题意，得，
所以，
所以，
解得或．
32．求满足下列各式的未知数x：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）（2）将方程转化为两边均是平方的形式，根据平方根的概念即可求解；本题考查利用平方根的概念求解方程的方法，熟练掌握平方根概念是解题的关键．
【详解】（1）由，
得，
∴．
（2）由，
得，
∴，
∴或．
33．解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，掌握平方根及立方根定义，利用开平方与开立方运算求解是解题的关键．
（1）根据开平方运算得到一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）根据开立方运算得到一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
解得或；
（2）解：，
，
，
解得．
34．解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
（1）利用立方根解方程即可得；
（2）方程变形为，利用平方根解方程即可得．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
，
或，
或．
35．求出下列等式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
（1）直接利用平方根解方程即可得；
（2）直接利用立方根解方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
36．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（）把移到右边，再根据平方根的定义解答即可；
（）把移到右边，再根据立方根的定义解答即可；
本题考查了利用平方根和立方根解答方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型五、与算术平方根和立方根有关的规律题
37．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解．
【详解】解：该组单项式可变形为：
因此第n个单项式的系数为，次数为n，
故第n个单项式是，
故选：B．
38．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根据以上规律，若 ，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．
∴，
故答案为：．
39．若 ， 则 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
40．观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可．
【详解】解：，
，
……，
依此类推可知，第n个等式为：，
故答案为：．
41．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键．
利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
42．（1）填表：
a 1 1000 1000000
（2）根据你发现的规律填空：
①，则______，______；
②已知，则______．
【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ②
【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．
（1）利用立方根的性质求解即可；
（2）①利用立方根的性质求解即可；
②利用立方根的性质求解即可．
【详解】解：（1）；
；
；
；
；
故答案为：，，1 ，10 ，100；
（2）①；
；
故答案为：，；
②
故答案为：．
43．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整：
(1)口算并填空：个位数字为______．
(2)求．
①由，，可以确定是______位数；
②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______．
(3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］
【答案】(1)5
(2)①两；②8；③，
(3)
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键．
（）根据的个位数字即可判断；
（）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【详解】（1）解：∵，个位数字为，
∴个位数字为，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴，
∴可以确定是两位数，
故答案为：两；
②由的个位上的数是，，个位数字为，
∴的个位上的数是，
故答案为：；
③∵，，，
∴，
∴可以确定的十位上的数是，
∴
故答案为：．
（3）解：，，
的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6，
的个位数字是6．
如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，，
，
，即的十位数字是2．
．
44．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表：
n 0.0016 0.16 16 1600 160000 …
0.04 0.4 4 40 400 …
(1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来．
(2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值：
①_______；
②_______．
【答案】(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）
(2)①0.1435 ②1435
【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键．
（1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可；
（2）①根据（1）总结的规律，计算即可；
②根据（1）总结的规律，计算即可；
【详解】（1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）；
（2）解：①根据（1）总结规律，；
②根据（1）总结规律，，
故答案为：①0.1435 ②1435．
45．先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：．
(1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
【详解】（1）∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
故根据规律可猜测第五个等式为；
故答案为：．
（2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）根据规律可化简
．
46．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
1 100 10000
1 100
(1)表格中__________；__________；
(2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则__________；
②已知，若，则__________；
(3)拓展：
①已知，若，用含的代数式表示．则__________；
②已知，则__________；
③已知，若，则__________．
【答案】(1)，
(2)①；②32400
(3)①；②；③
【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键．
（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案；
（3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案；
②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案；
③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
．
故答案为：，．
（2）①解：，
，
故答案为：．
②解：，
，
，
故答案为：．
（3）①解：，
，
，
，
，
故答案为：．
②解：，
，
故答案为：．
③，
，
，
故答案为：．
题型六、与立方根有关的实际应用题
47．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
【答案】A
【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．
【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：，
体积为的正方体的棱长为：，
又 ∵，
∴棱长应变为原来的2倍．
故选：A．
48．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可．
【详解】解：∵正方体蓄水池容积为，
∴正方体蓄水池的棱长为．
故答案为：5．
49．某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可．
【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为，
由题意得：，
解得：，
∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为．
故答案为：6．
50．根据下图所示的对话内容回答下列问题：
(1)求魔方的棱长．
(2)求长方体纸盒的长．
【答案】(1)魔方的棱长为
(2)
【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
（1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答；
（2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答．
【详解】（1）设魔方的棱长为．
由题意，得，
解得，
所以魔方的棱长为．
（2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，
由题意，得，
解得，
所以长方体纸盒的长为．
51．（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）．
（2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到）
【答案】（1）这个木箱的棱长约；（2）这个篮球的半径约
【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是能根据题意得出方程．
（1）设这个正方体木箱的棱长为，由题意得出方程，求出即可．
（2）设这个篮球的半径为，由题意得出方程，求出即可．
【详解】解：（1）设这个木箱的棱长为，
则，
解得．
答：这个木箱的棱长约．
（2）设这个篮球的半径为，
根据题意，得，
解得．
答：这个篮球的半径约．
52．这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
【答案】
【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决．
【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为，
∵长方体铁坯的长为，宽为，高为，
∴，
∴，
解得，
∴加工后正方体铁块的棱长为．
53．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．

(1)这个魔方的棱长为______．
(2)图1的侧面有一个正方形，求这个正方形的面积和边长．
(3)将正方形放置在数轴上，如图2所示，点A与数3表示的点重合，则D在数轴上表示的数为______．
【答案】(1)6
(2)，边长
(3)
【分析】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系，正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示．
（1）根据正方体的体积，求的立方根，即可作答．
（2）根据正方形的面积，求的平方根，即可作答．
（3）根据数轴上表示实数，在左边的点用减法表示，即可作答．
【详解】（1）解：设魔方的棱长为，
则，
∴，
故答案为：6；
（2）解：，
∵边长乘边长，
∴边长；
（3）解：∵，点A为3，
∴点D代表的数为，
故答案为：．
54．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．）
【答案】10.95厘米
【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解．
根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得
【详解】
（厘米）
答：底面半径约是10.95厘米．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 与平方根与立方根有关的题型
题型一、平方根与立方根的概念理解
1．在数，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（ ）
A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤×
C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√
3．若代数式没有平方根，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子中表示“9的平方根是”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．“13的立方根”用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是的立方根 B．是的立方根
C．是的立方根 D．是的立方根
7．要使成立，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意数
8．立方根等于它本身的有（　　）
A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1
9．若的平方根只有一个，则x的值是 ．
10．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为 ．
题型二、已知平方根和立方根反求这个数
11．若是的一个平方根，的平方根是，则的值为（ ）
A． B．5 C．5或 D．或
12．若一个正数的平方根是与，则这个正数是
13．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ．
14．已知和是数的平方根，求的值．
15．已知正数x的平方根是a和．
(1)当时，求a的值；
(2)若，求x的值．
16．已知的算术平方根是的立方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
已知，求的算术平方根．
18．已知，b是9的算术平方根，的立方根是．
(1)求a，b，c的值；
(2)若，求的平方根．
19．已知的两个平方根分别是和，的立方根是2．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
20．已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根是．求的算术平方根．
题型三、利用算术平方根的非负性求解
21．已知则的值是（ ）
A． B． C．9 D．
22．已知，则的值为 ．
23．若，则 ．
24．若、为实数，且，则的值为 ．
25．已知长方形的长和宽分别为a，b且a，b满足，求这个长方形的面积．
26．已知与互为相反数，求代数式的值．
27．已知．
(1)求x、y的值；
(2)求的平方根．
28．已知a，b为实数，且，求的值．
题型四、利用平方根和立方根求解方程
29．已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　）
A．5 B．10 C．25 D．50
30．若，则 ．
31．计算：
(1)．
(2)．
32．求满足下列各式的未知数x：
(1)；
(2)．
33．解下列方程．
(1)；
(2)．
34．解方程
(1)；
(2)．
35．求出下列等式中的值：
(1)；
(2)．
36．解下列方程：
(1)；
(2)．
题型五、与算术平方根和立方根有关的规律题
37．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
38．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 …
根据以上规律，若 ，，则 ．
39．若 ， 则 ．
40．观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ．
41．已知，，则 ．
42．（1）填表：
a 1 1000 1000000
（2）根据你发现的规律填空：
①，则______，______；
②已知，则______．
43．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整：
(1)口算并填空：个位数字为______．
(2)求．
①由，，可以确定是______位数；
②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______．
(3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］
44．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表：
n 0.0016 0.16 16 1600 160000 …
0.04 0.4 4 40 400 …
(1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来．
(2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值：
①_______；
②_______．
45．先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：．
(1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
46．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
1 100 10000
1 100
(1)表格中__________；__________；
(2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则__________；
②已知，若，则__________；
(3)拓展：
①已知，若，用含的代数式表示．则__________；
②已知，则__________；
③已知，若，则__________．
题型六、与立方根有关的实际应用题
47．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（ ）
A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍
48．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ．
49．某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ．
50．根据下图所示的对话内容回答下列问题：
(1)求魔方的棱长．
(2)求长方体纸盒的长．
51．（1）一个正方体形状的木箱容积是，求这个木箱的棱长．（结果精确到）．
（2）一个篮球的体积是，求这个篮球的半径．（球体积公式为取3.14，结果精确到）
52．这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
53．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．

(1)这个魔方的棱长为______．
(2)图1的侧面有一个正方形，求这个正方形的面积和边长．
(3)将正方形放置在数轴上，如图2所示，点A与数3表示的点重合，则D在数轴上表示的数为______．
54．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．）

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