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2025年下期道县敦颐高级中学高三开学考试
数学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上
A. x轴 B. y轴 C. D.
2，函数f(x)=的定义域为 (　　)
A.(-∞,0]　　　　B.(-∞,1)
C.[0,1)　　　　D.[0,+∞)
　
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
4．可化为（ ）
A． B． C． D．
5.在等差数列{an}中,S3=3,S6=10,则S9= (　　)
A.13　　　　B.17　　　　
C.21　　　　D.23
6，的展开式中的常数项是 (　　)
A.第673项　　　　B.第674项
C.第675项　　　　D.第676项
7，已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[1,3)　　　　B.(1,3]　　　　
C.[1,3]　　　　D.(1,3)
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A． B．是偶函数
C．在上有最大值 D．的解集为
10．函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
11．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．是非奇非偶函数 B．是增函数
C．是周期函数 D．的值域是
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为__________.
13.如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心半径为的圆上运动，则的最大值为__________.
14.已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为______．
解答题：本题共5个小题，共77分。
15，如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积
16，如图，已知平面．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小．
17．如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
18，某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(μ，σ2)．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03
10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，
19，设函数（）.
（1）讨论函数的极值；
（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.
答案
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上
A. x轴 B. y轴 C. D.
【答案】C
【解析】复数，
所以对应的点在直线上.
故选：C
2，函数f(x)=的定义域为 (　　)
A.(-∞,0]　　　　B.(-∞,1)
C.[0,1)　　　　D.[0,+∞)
答案　A　
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，
，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中，，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：
，
故选：D.
4．可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
原式.
故选：C
5.在等差数列{an}中,S3=3,S6=10,则S9= (　　)
A.13　　　　B.17　　　　
C.21　　　　D.23
答案　C　
6，的展开式中的常数项是 (　　)
A.第673项　　　　B.第674项
C.第675项　　　　D.第676项
答案　D　
7，已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[1,3)　　　　B.(1,3]　　　　
C.[1,3]　　　　D.(1,3)
答案　C　
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】令双曲线的焦距为，依题意，，解得，
在中，，由余弦定理得，
整理得，所以双曲线C的离心率为.
故选：C
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A． B．是偶函数
C．在上有最大值 D．的解集为
【答案】AD
【解析】
定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确；
令得：，因为，所以，
故是奇函数，B错误；
任取，，且，则令，，代入得：，
因为当时，，而，所以，
故，即，从而在R上单调递减，
在上有最大值为，C错误；
由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确.
故选：AD
10．函数s=f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应
D．当时，
【答案】BD
【解析】
对于A：由图象可知：函数s=f（t）在没有图象，故定义城不是[-3，+∞），故A错误；
对于B：由图象可知函数s=f（t）的值域为（0，5]，故B正确；
对于C：由图象可知，当时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；
对于D：由图象可知函数s=f（t）在上单调递增，
又当时，，则在上单调递增，故D正确；
故选：BD
11．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．是非奇非偶函数 B．是增函数
C．是周期函数 D．的值域是
【答案】BC
【解析】
画出分段函数的图象，如图所示.
由图可知：
可知函数为非奇非偶函数，故A正确；
函数在的部分有增有减，不是单调函数，故B错误；
函数在部分最小正周期为，但是,∴函数在定义域内不是周期函数，故C错误；
函数的最小值为，函数没有最大值，部分值域为部分值域为,∴函数的值域是，故D正确.
∴错误的是，
故选：BC.
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设正项等比数列的公比为，则，
所以，
，
则，则，可得，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：24
13.如图，在等腰梯形中，，，，，点是线段上一点，且满足，动点在以为圆心半径为的圆上运动，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
如图，以为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形的高长为，则.
因为以为圆心的半径为的圆的方程为：，可设点，.
则
其中，，
故当时，.
故答案为：
14.已知双曲线，设是的左焦点，，连接交双曲线于.若，则的离心率的值为______．
【答案】
【解析】如下图所示：
设，由题意可得，，
则，且，所以，，
因为，则，
由余弦定理可得，
所以，，由双曲线的定义可得，
即，故该双曲线的离心率为.
故答案为：
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B；
（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理得，
得.
因为，
所以，即.
（2）在中AB=2，BC=3，，，
解得.
在中，，A，B，C，D在圆上，
因为，所以，
所以，
解得或（舍去），
所以四边形ABCD的面积.
16，如图，已知平面．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）平面，平面，，
，，
平面，
平面，平面平面；
（Ⅱ）由（1）得平面，
平面，，
，即为二面角的平面角，
在直角三角形中，，则，
，即二面角的大小为.
17．如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称
【解析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，
，的方程为.
由得.
设，，则，
∴，，
∴抛物线C的方程为.
（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），
由得，
，
，.
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴，，.
∴，
∴时，此时.
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.
18，某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N(μ，σ2)．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.12　9.97　10.01　9.95　10.02　9.98　9.21　10.03
10.04　9.99　9.98　9.97　10.01　9.97　10.03　10.11
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，
【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05.
【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4，
∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，
故X～B(16,0.0026)．
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408；
X的数学期望为E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
(2)，s≈0.20，得，.
∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在之外，
∴需要对当天的生产过程进行检查．
剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后，
剩下数据的平均数，可得μ的估计值为10.01.
∵，
剔除之外的数据9.21之后，
剩下数据的方差为，
∴σ的估计值为.
19，设函数（）.
（1）讨论函数的极值；
（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.
【答案】（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）
【解析】（1）.
当时，，在R上单调递增；无极值
当时，，解得，
由，解得.
函数在上单调递减，函数在上单调递增，
的极小值为，无极大值
综上所述：当时，函数在R上无极值；
当时，的极小值为，无极大值.
（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，
∴函数在上的最小值为，即，矛盾.
当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.
①当即时，函数在上单调递增，
则函数的最小值为，即，符合条件.
②当即时，函数在上单调递减，
则函数的最小值为即，矛盾.
③当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则函数的最小值为，即.
令（），则，
∴在上单调递减，
而，∴在上没有零点，
即当时，方程无解.
综上，实数a的值为.

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