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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A C D B A
题号 9 10 11
答案 AC BCD ACD
填空题
12. 13. 14.；
解答题
15.解：（1）因为，所以............................................. 2分
所以是的必要条件，所以，....................................................................4分
所以，
所以，
所以，实数的取值范围为．....................................................................................7分
（2）因为，
所以， ......................................................................................................11分
解得：．
又因为，
所以，实数的取值范围为..................................................................13分
16.解（1）因为为増函数
所以在上恒成立..................................................... 2分
所以.......................................................................................4分
所以
所以. ..............................................................................................................6分
所以 ................................................................8分
当时，则的増区间为,无减区间............10分
当时，令,则或
令.则
所以増区间为,减区间为.....................................12分
当时，令,则或
令,则
所以的増区间为和，减区间 ...............................14分
综上：当时，増区间为,减区间为；
当时，的増区间为,无减区间；
当时，増区间为,减区间为.........15分
解：（1）（方法一）由题知，即，且，
因为，
所以，
又由是所在棱的中点，得，所以； ............................................2分
易知四边形是正方形，可知，所以； .....................................3分
又由，且，所以，
因为，所以； ............................................6分
（方法二）由知，可以分别以
作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
不妨记，设，可得
，记平面的法向量为，可得
，取得，即； ...........................................2分
同理可得平面的法向量为； .....................................3分
因为，所以，所以； ...................................6分
（2）由知，可以分别以
作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨记，
设，可得
，因为，，所以，
故，解得，即； ...........................................8分
，记平面的法向量为，可得
，取得，即； ..........................................10分
假设棱上是否存在一点，使得直线与平面AEF所成角的正弦值为，
设，则，，
由题知， .......................................................................................12分
解得，即，所以. ..........................................15分
18.解：（1）提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，......................................1分
由题得列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低
体育锻炼频率高
合计
.....................................................................................................................................................3分
，.................................................5分
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关．.............................................................................6分
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，
年龄在与内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，...................................................................7分
....................................................................10分
所以的分布列为：
.....................................................................................................................................................11分
所以的数学期望为．...................................................12分
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件D，
则，，，
，，，
..................14分
.................................................................16分
答：若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为．.................................17分
19.解：（1）函数的定义域为， ..........................................1分
令得，所以函数在区间上单调递增；
同理可得函数在区间上单调递减； ..........................................3分
所以函数在处取得最大值； .........................................4分
（2）函数的定义域为，；
①当时，恒成立，在单调增，
因为不可能恒成立； .........................................6分
②当时，令得，所以函数在区间上单调递增；
同理可得函数在区间上单调递减；
所以函数在处取得最小值，
因为恒成立，所以，即， ...........................8分
由（1）知，所以，解得；...........................10分
（3）（方法一）由（1）知，即（*），
用替换（*）式中的，得（**），
再用替换（**）式中的，得，即；.................12分
（方法二）记，令，
所以在单调递增，同理得在单调递减，
所以，即； ................12分
所以，即， ...........................13分
所以，
故，得证. ........................17分

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