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习题课:带电粒子在电场中的运动轨迹及能量问题
例1　AC　[解析] 由沿电场线方向电势降低可知,A点电势低于B点电势,A正确;由图可知,A点处电场线比C点处电场线密集,因此A点的场强大于C点的场强,B错误;烟尘颗粒带负电,从A到B的过程中,静电力做正功,动能增加,烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能,电势能减小,烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能,C正确,D错误.
变式1　B　[解析] 由粒子的运动轨迹可知,粒子的受力方向沿着电场线的方向,所以粒子带正电,故A错误;电场线密的地方电场强度大,电场线疏的地方电场强度小,由题图可知,N点的场强大于M点场强,故粒子在N点受到的静电力大于在M点受到的静电力,所以粒子在M点的加速度小于在N点的加速度,故B正确;粒子带正电,假设粒子从M运动到N,这个过程中静电力做正功,动能增大,粒子在M点的动能小于在N点的动能,故C错误;根据粒子的运动轨迹可以判断其受力方向,但不能判断出粒子一定是从M点运动到N点的,故D错误.
例2　AD　[解析] 沿电场线电势降低,因此电极A1的电势低于电极A2的电势,故A正确;电子从P至R的运动过程中,是由低电势向高电势运动,静电力做正功,动能增加,电势能减小,故C错误,D正确;Q点处的电场线比R点处的电场线密,根据电场线的疏密程度表示场强大小,可知Q点的电场强度大于R点的电场强度,故B错误.
变式2　C　[解析] 根据图中等势面分布可知,A点处场强小于B点处场强,带电粒子在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力,根据牛顿第二定律可知,aAEkB,选项C正确,B错误.
例3　D　[解析] 由粒子运动的轨迹可知粒子带正电,A错误;粒子从A到B的过程中静电力做正功,所以电势能减小,B错误;根据动能定理得W+WG=ΔEk=-0.5 J,所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J,C错误;静电力做正功,机械能增加,所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J,D正确.
变式3　D　[解析] 由动能定理有WAB=0-Ek0=-10 J,相邻两个等势面间的电势差相等,Uab=Ubc,所以qUab=qUbc,即Wab=Wbc=WAB=-5 J,设粒子在等势面b上时的动能为Ekb,则Wbc=Ekc-Ekb,所以Ekb=5 J,则粒子在b处的总能量为Eb=Ekb=5 J,从而可以知道粒子在电场中的总能量为E=5 J,当这个粒子的动能为7.5 J时,有Ep=E-Ek=5-7.5 J=-2.5 J,选项D正确.
随堂巩固
1.BC　[解析] 若Q靠近M端,则由电子运动的轨迹可知,Q为正电荷,电子从A向B运动或从B向A运动均可,由于rAEB,FA>FB,aA>aB,φA>φB,EpArB,故EAφB,EpA2.BD　[解析] 由图可知带负电的点电荷所受电场力的方向由a等势面指向b等势面,由于点电荷带负电,故c等势面的电势最高,P点的电势低于Q点的电势,P点的电势能大于Q点的电势能,故A错误,B正确;由于带负电的点电荷在从P点向Q点运动的过程中电场力做正功,故点电荷在Q点的动能大于在P点的动能,故C错误;由于电场线越密等差等势线越密,由图可知P点的场强大于Q点的场强,故带负电的点电荷在P点所受的电场力大于在Q点所受的电场力,故带负电的点电荷通过P点时的加速度大,故D正确.
3.BC　[解析] 上升过程中,静电力做正功,小球与弹簧组成的系统机械能增加,A错误;小球上升,重力做负功,重力势能增加,增加量等于小球克服重力所做的功W2,B正确;静电力做正功,小球的电势能减少,减少量等于静电力对小球所做的功W1,C正确;小球的机械能的增加量为它增加的动能、重力势能之和,为mv2+W2,D错误.习题课:带电粒子在电场中的运动轨迹及能量问题
1.D　[解析] 由题图可知,负电荷仅受电场力作用沿虚线从A点运动到B点的过程中,电场力的方向大致向左,则电场力做正功,电势能减小,故D正确.
2.C　[解析] 由电场线的方向可知φM>φO>φN,再作出此电场中过O的等势线,可知φO>φQ,A错误;M、O间的平均电场强度大于O、N间的平均电场强度,故UMO>UON,而UON>UQN,所以UMO>UQN,B错误;因UMQ>0,故负电荷从M到Q的过程中,静电力做负功,电势能增加,C正确;正电荷在Q点受到的静电力方向沿电场线的切线方向而不是圆的切线方向,D错误.
3.D　[解析] 根据题意可知此电场为匀强电场,所以粒子在a、b、c三点所受的静电力相等,故A错误;因速度方向未知,故粒子不一定先过a,再到b,然后到c,也可以反向运动,故B错误;由题图可知,电场方向向上,粒子所受静电力向下,故粒子带负电,则在电势越高处电势能越小,EpcEka>Ekb,故C错误,D正确.
4.B　[解析] 从电子的运动轨迹可以看出两个电荷相互排斥,故O点处电荷带负电,故A错误;O处点电荷带负电,结合负电荷周围的等势面分布,可以知道a、b、c三个等势面的电势高低关系是φc>φb>φa,故B正确;两个电荷相互排斥,故电子运动过程中电场力先做负功,后做正功,根据动能定理可知,动能先减小后增大,故C错误;相邻等势面的间距相等,结合负电荷周围电场线分布可知等势面a与b之间的平均电场强度大于等势面b与c之间的平均电场强度,所以从电子从位置2到位置3过程中电场力所做的功大于从位置3到位置4过程中电场力所做的功,故D错误.
5.B　[解析] 带电液滴受重力和静电力两个力的作用,由静止释放后,沿直线由b运动到d,说明液滴所受合外力沿b到d的方向,又因为重力方向竖直向下,所以静电力的方向水平向右,而电场线水平向左,故带电液滴带负电,选项A错误;液滴沿直线由b运动到d的过程中,重力和静电力均做正功,重力势能和电势能都减少,选项B正确,选项C错误;液滴所受合外力所做的功等于液滴动能的增量,又因为重力所做的功等于重力势能的减少量,静电力做的功等于电势能的减少量,故液滴的重力势能、电势能、动能三者之和不变,选项D错误.
6.C　[解析] 若微粒带正电荷,重力沿斜面向下的分力大于电场力时,电场力的方向可以沿斜面向上,也可以沿斜面向下,A错误;当电场力沿斜面向上时,则电场力做负功,电势能增加,当电场力沿斜面向下时,电场力做正功,电势能减小,B错误;由于合力沿斜面向下,故合力一定做正功,根据动能定理可知,动能一定增加,C正确;若电场力沿斜面向上,电场力做负功,机械能减小,D错误.
7.CD　[解析] 若l1、l2、l3为电场线,则a、c两点等电势,一定有Uab=-Ubc,A错误;当电场方向斜向左下时,电子不能够通过c点,B错误;若l1、l2、l3为等势线,则一定有Uab=Ubc,C正确;若l1、l2、l3为等势线,a、c连线在电场线上,电子运动离a、c连线越来越远,则电子一定不能通过c点,D正确.
8.B　[解析] 小物块Q在沿斜面方向受向上的静电力和重力沿斜面向下的分力,当向上滑动时,随着静电力的减小,加速度先逐渐减小,然后反向增大,即速度先增大后减小.因系统只有重力和静电力做功,则系统的机械能与电势能之和守恒,即Ek+EpG+Ep电=C(常数),则在Q向上运动的过程中,随着重力势能的增加,小物块P、Q的电势能和动能之和逐渐减少,选项A错误;在Q向上运动的过程中动能先增加后减少,小物块P、Q的重力势能和电势能之和先减少后增加,选项B正确,C错误;在Q向上运动的过程中,电势能逐渐减少,小物块P、Q的重力势能和动能之和逐渐增加,选项D错误.
9.小于　 6.4×10-4
[解析] 因A、B之间的场强大于B、C之间的场强,UAB=EABd>EBCd=UBC,即φA-φB>φB-φC,φB<=4 V;将一个带电荷量为1.6×10-4 C的负电荷从C点移到A点过程中电场力做功为WCA=UCAq=(2-6) V×(-1.6×10-4) C=6.4×10-4 J.
10.(1)　(2)mgh-mv2-mgR
[解析] (1)因B、C两点电势相等,小球由B到C的过程中,只有重力做功,由动能定理得
mgR·sin 30°=m-mv2
解得vC=.
(2)小球由A点运动到C点,由动能定理得
WAC+mgh=m-0
解得WAC=mv2+mgR-mgh
由电势能变化量与静电力做功的关系得
ΔEp=-WAC=mgh-mv2-mgR.
11.(1)　(2)-　(3)L
[解析] (1)a、b是AB连线上的两点,其中Aa=Bb=,可知a、b两点关于O点对称,则a、b两点电势相等,即Uab=0.
设滑块与水平面间的动摩擦因数为μ,对滑块从a点到b点的过程中,由动能定理得
-f+qUab=0-Ek0
摩擦力为f=μmg
解得μ=
(2)对于滑块从O点到b点的过程中,由动能定理得
qUOb-μmg·=0-3Ek0
解得UOb=-
(3)由于a、b两点关于O点对称,则UaO=-UOb=
对于滑块从a点开始运动到最终在O点停下的整个过程,由动能定理得qUaO-μmgs=0-Ek0
解得s=L习题课:带电粒子在电场中的运动轨迹及能量问题
学习任务一　电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
[科学思维] 解决带电粒子的运动轨迹综合问题的方法
(1)画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向),从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况.如果题中给出等势面,需依据电场线与等势面垂直先画出电场线,再去画“力线”.
(2)电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向,若已知其中的任意一个,可顺次向下分析判定各待求量;若上面的各量都不知,则要用假设法分别讨论各种情况.
例1 (多选)[2024·福州一中月考] 某静电除尘设备集尘板的内壁带正电,设备中心位置有一个带负电的放电极,它们之间的电场线分布如图所示,虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹,A、B是轨迹上的两点,C点与B点关于放电极对称,下列说法正确的是(　)
A.A点电势低于B点电势
B.A点电场强度小于C点电场强度
C.烟尘颗粒在A点的动能小于在B点的动能
D.烟尘颗粒在A点的电势能小于在B点的电势能
变式1 某静电场的电场线如图中实线所示,虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹,下列说法正确的是 (　)
A.粒子一定带负电
B.粒子在M点的加速度小于在N点的加速度
C.粒子在M点的动能大于在N点的动能
D.粒子一定从M点运动到N点
[反思感悟]

例2 (多选)阴极射线示波管的聚焦电场是由电极A1、A2形成的,图中实线为电场线,虚线为等势线,Z轴为该电场的中心轴线,P、Q、R为一个从左侧进入聚焦电场的电子运动轨迹上的三点,则 (　)
A.电极A1的电势低于电极A2的电势
B.电场中Q点的电场强度小于R点的电场强度
C.电子在P点处的动能大于在Q点处的动能
D.电子从P至R的运动过程中,静电力对它一直做正功
[反思感悟]

变式2 [2024·莆田一中月考] 如图所示,虚线表示某电场的等势面,实线表示一带电粒子仅在静电力作用下运动的径迹.粒子在A点的加速度为 aA,动能为 EkA,电势能为 EpA;在B点的加速度为aB,动能为 EkB,电势能为EpB.下列结论正确的是 (　)
A.aA>aB,EkA>EkB
B.aAEpB
C.aAD.aA>aB,EkA[反思感悟]
学习任务二　电场中的功能关系
　　　　　 　　　　　 　　　　　
[物理观念]
(1)合力做功等于物体动能的变化量,即W合=ΔEk,这里的W合指合力做的功.
(2)静电力做功决定带电体电势能的变化,即WAB=EpA-EpB=-ΔEp,这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似.
(3)只有静电力做功时,带电体电势能与机械能的总量不变,即Ep1+E机1=Ep2+E机2,这与只有重力做功时,物体的机械能守恒类似.
例3 [2024·晋江一中月考] 如图所示为一匀强电场,某带电粒子从A点运动到B点,在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J,静电力做的功为1.5 J.下列说法中正确的是 (　)
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C.粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D.粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
[反思感悟]


变式3 [2024·厦门一中期末] 如图所示,a、b、c三条虚线表示电场中的等势面,等势面b的电势为零,且相邻两个等势面间的电势差相等.一个带正电的粒子(粒子重力不计)在A点时的动能为10 J,在电场力作用下从A点运动到B点时速度为零.当这个粒子的动能为7.5 J时,其电势能为 (　)
A.12.5 J B.2.5 J
C.0 D.-2.5 J
[反思感悟]


【要点总结】
在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律、功能关系.
(1)应用动能定理解决问题时,需研究合力做的功(总功).
(2)应用能量守恒定律解决问题时,需注意电势能和其他形式能之间的转化.
(3)应用功能关系解决问题时,需明确静电力做功与电势能变化的对应关系.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(轨迹分析)(多选)如图所示,在点电荷Q产生的电场中,实线MN是一条方向未标出的电场线,虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹.设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB,电势能分别为EpA、EpB.下列说法正确的是 (　)
A.电子一定从A向B运动
B.若aA>aB,则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷,一定有EpAD.B点电势可能高于A点电势
2.(等势面与粒子运动轨迹问题)(多选)如图所示,虚线a、b、c代表电场中三个等势面,相邻等势面之间的电势差相等,即Uab=Ubc,实线为一带负电的点电荷仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、Q是这条轨迹上的两点,据此可知 (　)
A.P点的电势高于Q点的电势
B.该点电荷在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大
C.该点电荷通过P点时的动能比通过Q点时大
D.该点电荷通过P点时的加速度比通过Q点时大
3.(电场中的功能关系)(多选)如图所示,绝缘的轻质弹簧竖直立于水平地面上,上面放一质量为m的带正电小球(小球与弹簧不拴接),整个系统处在方向竖直向上的匀强电场中.开始时,整个系统处于静止状态,现施加一外力F,将小球向下压至某一位置,然后撤去外力,使小球从静止开始向上运动.设小球从静止开始向上运动到离开弹簧的过程中,静电力对小球所做的功为W1,小球克服重力所做的功
为W2,小球离开弹簧时的速度为v.不计空气阻力,则在上述过程中 (　)
A.小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B.小球的重力势能增加了W2
C.小球的电势能减少了W1
D.小球的机械能增加了mv2+W2-W1习题课:带电粒子在电场中的运动轨迹及能量问题建议用时:40分钟
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知识点一　电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
1.[2024·厦门二中月考] 如图所示,负电荷仅受电场力作用沿虚线从A点运动到B点,则运动过程中电场力对其做功和电势能变化情况分别是 (　)
A.做负功、电势能增加
B.做正功、电势能增加
C.做负功、电势能减小
D.做正功、电势能减小
2.如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图,电场线的方向如图中箭头所示,M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点,O、Q连线垂直于MN.以下说法正确的是 (　)
A.O点电势与Q点电势相等
B.M、O间的电势差小于Q、N间的电势差
C.将一负电荷由M点移到Q点,电荷的电势能增加
D.在Q点释放一个正电荷,正电荷所受静电力将沿与OQ垂直的方向向上
3.如图所示,三条平行等间距的虚线表示电场中的三个等势面,电势分别为10 V、20 V、30 V,实线是一带电粒子(不计重力)在该区域内的运动轨迹,a、b、c是轨迹上的三个点,下列说法正确的是 (　)
A.粒子在a、b、c三点所受的静电力不相等
B.粒子一定先过a,再到b,然后到c
C.粒子在a、b、c三点所具有的动能大小关系为Ekb>Eka>Ekc
D.粒子在a、b、c三点的电势能大小关系为Epc4.[2024·福州二中月考] 如图所示,虚线a、b、c表示O处点电荷的电场中的三个不同的等势面,相邻等势面的间距相等,一电子射入电场后(只受电场力作用)的运动轨迹如图中实线所示,其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的交点,由此可以判定 (　)
A.O处的点电荷一定带正电
B.三个等势面的电势高低关系是φc>φb>φa
C.电子运动过程中,动能先增大后减小
D.电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力所做的功相等
◆ 知识点二　电场中的功能关系
5.如图所示,空间中存在水平向左的匀强电场.在电场中将一带电液滴从b点由静止释放,液滴沿直线由b运动到d,且直线bd方向与竖直方向成45°角,下列判断正确的是 (　)
A.液滴带正电荷
B.液滴的电势能减少
C.液滴的重力势能和电势能之和不变
D.液滴的电势能和动能之和不变
6.[2024·北京四中月考] 如图所示,一带电微粒沿与CD平行方向(垂直AD方向)射入倾角为θ的光滑斜面上,斜面所在区域存在和AD平行的匀强电场,微粒运动轨迹如图中虚线所示,则 (　)
A.若微粒带正电荷,则电场方向一定沿斜面向下
B.微粒从M点运动到N点电势能一定增加
C.微粒从M点运动到N点动能一定增加
D.微粒从M点运动到N点机械能一定增加
7.(多选)如图所示,水平面内有三条虚线l1、l2、l3,相邻虚线间距相等且彼此平行,a、b、c为虚线上的三点,其中a、c连线与l2垂直.某时刻电子以水平向右的速度v通过a点,则 (　)
A.若l1、l2、l3为电场线,则一定有Uab=Ubc
B.若l1、l2、l3为电场线,则电子一定能够通过c点
C.若l1、l2、l3为等势线,则一定有Uab=Ubc
D.若l1、l2、l3为等势线,则电子一定不能通过c点
8.如图所示,固定的光滑绝缘斜面的底端固定着一个带正电的小物块P,将另一个带电小物块Q在斜面的某位置由静止释放,它将沿斜面向上运动.设斜面足够长,则在Q向上运动的过程中 (　)
A.小物块P、Q的电势能和动能之和先增加后减少
B.小物块P、Q的重力势能和电势能之和先减少后增加
C.小物块P、Q的重力势能和电势能之和先增加后减少
D.小物块P、Q的重力势能和动能之和先增加后减少
9.[2024·厦门集美中学月考] 如图所示,A、B、C三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面,已知这三个圆的半径之差相等.A、C两个等势面电势分别为φA=6 V和φC=2 V,则中间B等势面的电势一定　　　　4 V(选填
“小于”“等于”或“大于”);将一个带电荷量为1.6×10-4 C的负电荷从C点移到A点过程中电场力做功为　　　　　　　J.
10.如图所示,在O点放置一个正点电荷,在过O点的竖直平面内的A点处由静止释放一个带正电且可视为质点的小球,小球的质量为m,电荷量为q.小球下落的轨迹如图中虚线所示,它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点,O、C在同一条水平线上,∠BOC=30°,A点距离OC的高度为h.若小球通过B点时的速度大小为v,重力加速度为g,求:
(1)小球通过C点时的速度大小;
(2)小球由A点运动到C点的过程中电势能的增加量.
11.如图所示,在绝缘粗糙的水平面上,相距为L的A、B两点处分别固定着两个带相等电荷量的正电荷,a、b是AB连线上的两点,其中Aa=Bb=,O点为AB连线的中点.一质量为m、带电荷量为+q的小滑块(可以看成质点)以初动能Ek0从a点出发,沿AB直线向b点运动,其中小滑块第一次经过O点时的动能为初动能的3倍,到达b点时的动能恰好为零,小滑块最终停在O点,重力加速度为g,求:
(1)小滑块与水平面间的动摩擦因数;
(2)O、b两点间的电势差;
(3)小滑块运动的总路程.(共36张PPT)
习题课：带电粒子在电场中的运动轨迹及能量问题
学习任务一 电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
学习任务二 电场中的功能关系
随堂巩固
备用习题
学习任务一 电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
［科学思维］ 解决带电粒子的运动轨迹综合问题的方法
(1)画出“速度线”(运动轨迹在初始位置的切线)与“力线”(在初始位置电场线的切线方向)，从两者的夹角情况来分析曲线运动的情况.如果题中给出等势面，需依据电场线与等势面垂直先画出电场线，再去画“力线”.
(2)电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，若已知其中的任意一个，可顺次向下分析判定各待求量;若上面的各量都不知，则要用假设法分别讨论各种情况.
例1 (多选)[2024·福州一中月考] 某静电除尘设备集尘板的内壁带正电，设备中心位置有一个带负电的放电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹，、是轨迹上的两点，点与点关于放电极对称，下列说法正确的是( )
A.点电势低于点电势
B.点电场强度小于点电场强度
C.烟尘颗粒在点的动能小于在点的动能
D.烟尘颗粒在点的电势能小于在点的电势能
√
√
[解析] 由沿电场线方向电势降低可知，A点电势低于B点电势，A正确；由图可知，A点处电场线比C点处电场线密集，因此A点的场强大于C点的场强，B错误；烟尘颗粒带负电，从A到B的过程中，静电力做正功，动能增加，烟尘颗粒在A点
的动能小于在B点的动能，电势能减小，烟尘颗粒在A点的电势能大于在B点的电势能，C正确，D错误.
变式1 某静电场的电场线如图中实线所示，虚线是某个带电粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，下列说法正确的是( )
A.粒子一定带负电
B.粒子在点的加速度小于在点的加速度
C.粒子在点的动能大于在点的动能
D.粒子一定从点运动到点
√
[解析] 由粒子的运动轨迹可知，粒子的受力方向沿着电场线的方向，所以粒子带正电，故A错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图可知，点的场强大于点场强，故粒子在点受到的静电力大于在点受到的静电力，所
以粒子在点的加速度小于在点的加速度，故B正确；粒子带正电，假设粒子从运动到，这个过程中静电力做正功，动能增大，粒子在点的动能小于在点的动能，故C错误；根据粒子的运动轨迹可以判断其受力方向，但不能判断出粒子一定是从点运动到点的，故D错误.
例2 (多选)阴极射线示波管的聚焦电场是由电极、形成的，图中实线为电场线，虚线为等势线，轴为该电场的中心轴线，、、为一个从左侧进入聚焦电场的电子运动轨迹上的三点，则( )
A.电极的电势低于电极的电势
B.电场中点的电场强度小于点的电场强度
C.电子在点处的动能大于在点处的动能
D.电子从至的运动过程中，静电力对它一直做正功
√
√
[解析] 沿电场线电势降低，因此电极的电势低于电极的电势，故A正确；电子从至的运动过程中，是由低电势向高电势运动，静电力做正功，动能增加，电势能减小，故C
错误，D正确；点处的电场线比点处的电场线密，根据电场线的疏密程度表示场强大小，可知点的电场强度大于点的电场强度，故B错误.
变式2 [2024·莆田一中月考] 如图所示，虚线表示某电场的等势面，实线表示一带电粒子仅在静电力作用下运动的径迹.粒子在点的加速度为，动能为，电势能为；在点的加速度为，动能为，电势能为.下列结论正确的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] 根据图中等势面分布可知，A点处场强小于B点处场强，带电粒子在A点所受的静电力小于在B点所受的静电力，根据牛顿第二定律可知，，选项A、D错误；根
据带电粒子运动轨迹可知，粒子受到指向轨迹凹侧的力的作用，带电粒子从A到B，静电力做负功，电势能增大，动能减小，即，，选项C正确，B错误.
学习任务二 电场中的功能关系
［物理观念］
(1)合力做功等于物体动能的变化量，即，这里的指合力做的功.
(2)静电力做功决定带电体电势能的变化，即，这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似.
(3)只有静电力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即，这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似.
例3 [2024·晋江一中月考] 如图所示为一匀强电场，某带电粒子从点运动到点，在这一运动过程中克服重力做的功为，静电力做的功为.下列说法中正确的是( )
A.粒子带负电
B.粒子在点的电势能比在点少
C.粒子在点的动能比在点少
D.粒子在点的机械能比在点少
√
[解析] 由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得，所以粒子在A点的动能比在B点多，C错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少，D正确.
变式3 [2024·厦门一中期末] 如图所示，、、三条虚线表示电场中的等势面，等势面的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等.一个带正电的粒子(粒子重力不计)在点时的动
A. B. C.0 D.
能为，在电场力作用下从点运动到点时速度为零.当这个粒子的动能为时，其电势能为( )
√
[解析] 由动能定理有，相邻两个等势面间的电势差相等，，所以，即，设粒子在等势面上时的动能为,则
，所以，则粒子在处的总能量为，从而可以知道粒子在电场中的总能量为，当这个粒子的动能为时，有，选项D正确.
【要点总结】
在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律、功能关系.
(1)应用动能定理解决问题时，需研究合力做的功(总功).
(2)应用能量守恒定律解决问题时，需注意电势能和其他形式能之间的转化.
(3)应用功能关系解决问题时，需明确静电力做功与电势能变化的对应关系.
1. (多选)图中虚线a、b、c、d、e代表匀强电场内间距相等的一组等势面,已知平面b上的电势为2 V.一电子经过a时的动能为10 eV,从a到d的过程中克服静电力所做的功为6 eV.下列说法正确的是 (　　)
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面e
C.该电子经过平面d时,其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时速率的2倍
√
√
[解析] 电子经过等势面b时的电势能为E=qφ=-2 eV,电子由a到d的过程中,静电力做负功,电势能增加6 eV,由于相邻两等势面之间的距离相等,故相邻两等势面之间的电势差相等,则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到e,电势能均增加2 eV,所以电子经过等势面c时的电势能为零,等势面c的电势为零,A正确;
电子经过等势面d时的电势能应为2 eV,C错误;
电子经过等势面b时的动能为8 eV,电子经过等势面d时的动能为4 eV,由公式Ek=mv2可知,该电子经过等势面b时的速率为经过等势面d时速率的倍,D错误;
如果电子的速度方向与等势面不垂直,则电子在该匀强电场中
做曲线运动,所以电子可能到达不了平面e就返回平面a,B正确.
2. (多选)某电场的等势面如图所示,图中a、b、c、d、e为电场中的5个点,则(　　)
A.一正电荷从b点运动到e点,电场力做正功
B.一电子从a点运动到d点,电场力做功为4 eV
C.b点电场强度垂直于该点所在等势面,方向向右
D.a、b、c、d四个点中,b点的电场强度最大
√
√
[解析] 由图像可知φb=φe,则正电荷从b点运动到e点,电场力不做功,A错误;
由图像可知φa=3 V,φd=7 V,根据电场力做功与电势能的变化关系有Wad=Epa-Epd=(φa-φd)·(-e)=4 eV,B正确;
沿电场线方向电势逐渐降低,则b点处的场强方向向左,C错误;
由于电场线与等势面处处垂直,则可画出电场线分布如图所示,由图可看出,b点电场线最密集,则b点处的电场强度最大,D正确.
3. (多选) 如图所示,虚线a、b、c代表某一点电荷产生的电场中的三个等势面,a、b等势面的电势分别为6 V、4 V,一电荷量为e的质子在该电场中运动,经过c等势面时的动能为5 eV,从等势面c到等势面b的过程中克服电场力做功为2.5 eV,则(　　)
A.该场源电荷带正电
B.该质子从等势面c运动到等势面b过程中,电势能增加2.5 eV
C.该质子可能到达不了等势面a
D.该质子经过等势面c时的速率是经过等势面b时的2倍
√
√
√
[解析] 根据φa>φb可知该场源电荷带正电,故A正确;
由题意可知从等势面c到等势面b的过程中电场力对质子做功为-2.5 eV,所以质子的电势能增加2.5 eV,故B正确;
设质子到达等势面b时在指向场源电荷方向的速度分量为v1,在垂直于电场线方向的速度分量为v2,则由题意可知m=5 eV-2.5 eV=2.5 eV,当m由题意可知==,故D错误.
4.如图所示,等腰直角三角形ABC位于竖直平面内,AB=AC=L,D为BC边中点.一电荷量为Q(Q<0)的点电荷固定于A点.将质量为m、电荷量为q(q>0)的小球从B点由静止开始释放,小球沿BC运动.已知静电力常量为k、重力加速度大小为g,且k=mg,忽略空气阻力,BC边光滑绝缘.则下列说法正确的是 (　　)
A.D点的电场强度大小为
B.小球刚到达C点时,其动能为mgL
C.小球刚到达C点时,其加速度大小为g
D.小球在沿BC下滑的过程中,电势能先增大后减小
√
[解析] D点的电场强度大小为E==,故A错误;
小球刚到达C点时,有mgsin 45°-kcos 45°=ma,解得a=g,B、C在同一等势面上,从B到C过程中,有mv2-0=mgL,解得小球刚到达C点时的动能Ek=mgL,故B错误,C正确;
小球在沿BC下滑的过程中,电场力先做正功,后做负功,电势能先减小后增大,故D错误.
5. (多选)如图所示,两个相同的绝缘细圆环带有等量正电荷,电荷在圆环上的分布是均匀的,两圆环相隔一定距离同轴平行固定放置,B、D分别为两环圆心,C为BD中点.一带负电的粒子从很远处沿轴线飞来向下顺次穿过两环.若粒子只受静电力作用,则在粒子运动过程中 (　　)
A.粒子经过B点时加速度为零
B.粒子经过B点和D点时动能相等
C.粒子从A到C的过程中,电势能一直增大
D.粒子从B到D的过程中,速度先减小后增大
√
√
[解析] 根据电场叠加可知,B环上电荷在B点产生的电场强度为零,D环上电荷在B点产生的电场向上,故粒子经过B点时所受静电力方向向下,加速度不为零,选项A错误;
根据对称性可知,在B、D两点处电势相同,粒子运动过程中能量守恒,粒子经过B、D两点时电势能相等,故动能也相等,选项B正确;
粒子在由A到B过程中所受静电力向下,电势能减小,故选项C错误;
粒子从B到C,静电力做负功,速度减小,从C到D,静电力做正功,
速度增大,故选项D正确.
6.如图所示,C 为固定的、电荷量为Q 的正点电荷,A、B 两点在C 的正上方,它们与C 的距离分别为4h 和0.25h.将另一质量为m、电荷量未知的正点电荷D 从A 点由静止释放,运动到B点时的速度正好又变为零.已知重力加速度大小为g,点电荷D 在B 点处的加速度大小为15g,静电力常量为k.
(1)点电荷D 所带电荷量为q= 　;
[解析] 对点电荷D 在B 点时受力分析,根据牛顿第二运动定律有FB-mg=m×15g,又FB=,解得q=
6.如图所示,C 为固定的、电荷量为Q 的正点电荷,A、B 两点在C 的正上方,它们与C 的距离分别为4h 和0.25h.将另一质量为m、电荷量未知的正点电荷D 从A 点由静止释放,运动到B点时的速度正好又变为零.已知重力加速度大小为g,点电荷D 在B 点处的加速度大小为15g,静电力常量为k.
(2)A 、B 两点间的电势差为UAB=　 　.
-
[解析] 点电荷D 从A 点运动到B 点的过程中,根据动能定理有mg+WAB=0 ,又WAB=qUAB,解得UAB=-
1. (轨迹分析)(多选)如图所示，在点电荷产生的电场中，实线是一条方向未标出的电场线，虚线是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹.设电子在、两点的加速度大小分别为、，电势能分别为、.下列说法正确的是( )
A.电子一定从向运动
B.若，则靠近端且为正电荷
C.无论为正电荷还是负电荷，一定有
D.点电势可能高于点电势
√
√
[解析] 若靠近端，则由电子运动的轨迹可知，为正电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于，故，，，
，；若靠近端，则由电子运动的轨迹可知，为负电荷，电子从A向B运动或从B向A运动均可，由于，故，，，，，选项A、D错误，选项B、C正确.
2. (等势面与粒子运动轨迹问题)(多选)如图所示，虚线、、代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即，实线为一带负电的点电荷仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，、是这条轨迹上的两点，据此可知( )
A.点的电势高于点的电势
B.该点电荷在点具有的电势能比在点具有的电势能大
C.该点电荷通过点时的动能比通过点时大
D.该点电荷通过点时的加速度比通过点时大
√
√
[解析] 由图可知带负电的点电荷所受电场力的方向由等势面指向等势面，由于点电荷带负电，故等势面的电势最高，点的电势低于点的电势，点的电势能大于点的电势能，故A错误，B
正确；由于带负电的点电荷在从点向点运动的过程中电场力做正功，故点电荷在点的动能大于在点的动能，故C错误；由于电场线越密等差等势线越密，由图可知点的场强大于点的场强，故带负电的点电荷在点所受的电场力大于在点所受的电场力，故带负电的点电荷通过点时的加速度大，故D正确.
3. (电场中的功能关系)(多选)如图所示，绝缘的轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为的带正电小球(小球与弹簧不拴接)，整个系统处在方向竖直向上的匀强电场中.开始时，整个系统处于静止状态，现施加一外力，将小球向下压至某一位置，然后撤去外力，使小球从静止开始向上运动.设小球从静止开始向上运动到离开弹簧的过程中，静电力对小球所做的功为，小球克服重力所做的功为，小球离开弹簧时的速度为.不计空气阻力，则在上述过程中( )
A.小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B.小球的重力势能增加了
C.小球的电势能减少了
D.小球的机械能增加了
√
√
[解析] 上升过程中，静电力做正功，小球与弹簧组成的系统机械能增加，A错误；小球上升，重力做负功，重力势能增加，增加量等于小球克服重力所做的功，B正确；静电力做正功，
小球的电势能减少，减少量等于静电力对小球所做的功，C正确；小球的机械能的增加量为它增加的动能、重力势能之和，为，D错误.

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