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专题课:带电粒子在重力场和电场中的运动
例1　D　[解析] 微粒从A点沿直线运动到B点,可知合力方向与AB共线,微粒受竖直向下的重力,根据力的合成条件可知电场力水平向左,可知微粒带负电,故A错误;根据以上分析可知从A点沿直线运动到B点的过程中电场力对微粒做正功,电势能减小,其机械能增加,故C错误,D正确;根据动能定理可知重力做正功,电场力也做正功,即合外力对微粒做正功,所以动能会增加,故B错误.
例2　(1)见解析　(2)×104 N/C　水平向左　(3)2 m/s
[解析] (1)微粒只在重力和静电力作用下沿AB方向运动,受力分析如图所示,微粒所受合力的方向由B指向A,与初速度方向相反,微粒做匀减速直线运动.
(2)因为qE===mg,所以电场强度E=×104 N/C,方向水平向左.
(3)由题意知微粒运动到B时的速度vB=0时,微粒进入电场的速度最小,由动能定理得- L=0-m,
解得vA=2 m/s.
例3　B　[解析] 设四个微粒抛出时距地面的高度为h,微粒a、d在竖直方向均做自由落体运动,由h=gt2,可得落地时间为ta=td=,微粒b受电场力向下,做类平抛运动,微粒c受电场力向上,但由于重力较大,仍做类平抛运动,由牛顿第二定律分别可得qE+mg=mab,mg-qE=mac,类比微粒a可得,落地时间分别为tb=ta,则有tb例4　C　[解析] 液滴的动能增加量为零,故合力做功为零,选项A错误;液滴重力势能增加量为ΔEp=mgh,将液滴的运动分解,竖直方向做加速度为g的匀减速运动,则h==,解得ΔEp=m,选项B错误;因动能不变,故电场力做的功W电=m,液滴的电势能减少m,选项C正确;液滴的机械能增加量等于动能增加量和重力势能增加量之和,故机械能增加了m,选项D错误.
例5　AC　[解析] 当重力大小等于静电力时,只有细线的拉力提供向心力,小球做匀速圆周运动,故A正确;当重力小于静电力时,a点为等效最低点,则小球运动到最高点a时,细线的张力最大,故B错误;根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知,在圆周上a点的电势最高,由Epa=qφa知,当小球运动到最高点a时,小球的电势能一定最小,故C正确;当重力小于静电力时,a点为等效最低点,则小球运动到最高点a时,小球的速度最大,故D错误.
变式　D　[解析] 小球在A点时只受重力和电场力,重力和电场力的合力提供向心力,则有mg=qEsin 45°,E=,A错误;小球从A点运动到B点时,重力做功是零,电场力做功为W=qE·2Lcos 45°=mg·2L·=2mgL,合力做的功为2mgL,B错误;
小球运动到B点时,由动能定理2mgL=m-m,又=mg,得vB=,在B点,T-qEcos 45°=m,代入数据解得T=6mg,C错误;小球在F点时的电势最低,具有的电势能最小,因此小球在F点的机械能最大,D正确.
随堂巩固
1.AC　[解析] 极板所带电荷量Q不变,根据E==可知板间场强不变,设油滴质量为m、电荷量为q,与c孔距离为s,板间场强为E,板间距离为h,则由牛顿第二定律有mg-qE=ma可知,油滴在板间的加速度不变,A正确,B错误;根据动能定理有mg(h+s)-qEh=0,当仅将a板平行b板向上平移一小段距离,设油滴在板间运动的距离为h',有mg(h'+s')=qEh',解得h'==h,h'+s'2.B　[解析] 带电微粒进入电场中,做类平抛运动,在水平方向上做匀速直线运动,则微粒在电场中的运动时间为t=,由此可知两微粒在电场中的运动时间相同,选项B正确,A错误;在竖直方向上做匀加速直线运动,有y=at2,由于t相同,yA>yB,可得aA>aB,即>,而mA=mB,则qA>qB,选项C错误;由W=qU,可知静电力对微粒A做的功比对B做的功多,选项D错误.
3.AC　[解析] 从a到d过程,根据动能定理,有mgR-qER=0,解得qE=mg,即电场力与重力大小相等,故A正确;根据功能关系可知,电场力做正功,电势能减小,电场力向左,故运动到b点时电场力做的正功最多,电势能减少得最多,故电势能最小,故B错误;根据功能关系可知,除重力外其余力做的功等于机械能的增加量,小球受到重力、电场力和环的弹力作用,弹力沿径向,速度沿着切向,故弹力一直不做功,除重力外只有电场力做功,由于电场力水平向左,故运动到b点时,电场力做的功最多,机械能增量最大,故小球在b点时,机械能最大,故C正确;电场力与重力大小相等,故小球在重力场和电场的复合场的最低点在bc段圆弧的中点处,小球运动到此处时动能最大,故D错误.专题课:带电粒子在重力场和电场中的运动
1.BD　[解析] 对粒子受力分析,粒子所受合力水平向左,做匀减速直线运动;静电力做负功,电势能增加,动能减少.
2.BD　[解析] 液滴所受的合力沿bd方向,液滴受到的电场力方向水平向右,则此液滴带负电,故A错误;液滴所受合力恒定,加速度恒定,液滴做匀加速直线运动,故B正确;合力不为零,且合力与速度方向共线,则合力做功不为零,故C错误;从b到d,电场力做正功,液滴的电势能减少,故D正确.
3.D　[解析] 由于水平初速度相等,A的水平位移最大,故A的运动时间最长,选项C错误.由y=at2可知,A的加速度最小,C的加速度最大,即aAWB>WA,由动能定理知EkC>EkB>EkA,选项D正确.
4.AC　[解析] 由题意可知,电场力对小球做正功,则小球的电势能一直减小,除了重力之外的其他力对小球做正功,则小球的机械能一直增加,故B、D错误;根据几何关系知,小球竖直方向速度减为零的位移和水平方向速度增加到v的位移大小相等,根据位移—速度关系v2=2ax可得竖直方向的加速度和水平方向加速度大小相等,即ax=ay,又max=mg,may=qE可得mg=qE,故C正确;根据动能定理可知Ek-Ek0=-mgy+qEx,得Ek=-mgy+qEx+Ek0,竖直方向做初速度为v的匀减速直线运动,水平方向做初速度为零的匀加速直线运动,开始重力做的负功大于电场力做的正功,竖直方向速度和水平方向速度大小相等后,电场力做正功的大于重力所做负功,所以动能先减小后增大,故A正确.
5.AD　[解析] 根据动能定理知,在小球运动到环的最低点的过程中,静电力和重力一直做正功,小球到达环的最低点时速度最大,故A正确;在小球运动的过程中除了重力做功以外,还有静电力做功,机械能不守恒,故B错误;在小球运动至环的最低点过程中,根据动能定理得mgR+qER=mv2,根据牛顿第二定律得N-qE-mg=m,解得N=3(mg+qE),由牛顿第三定律得,小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg+qE),故C错误,D正确.
6.C　[解析] 分析小球受力可知,重力和静电力的合力方向与竖直方向成45°角,根据等效思想,可以认为小球在此复合场中的“等效重力”方向与竖直方向成45°角,小球在此复合场中运动,由对称性可知,小球运动的最高点在水平位置,A正确;小球运动的等效最低点在与水平方向成45°角的位置,此时小球的速度最大,B正确;因小球运动过程中静电力做功,所以小球的机械能不守恒,C错误;由动能定理得mgL(1-cos 45°)=mv2,根据圆周运动公式及牛顿第二定律可得T-mg=m,联立解得T=(3-2)mg,D正确.
7.C　[解析] 小球沿斜面运动至M点时加速度为零,该过程中弹簧弹力和电场力均做负功,所以机械能减小,故A、B错误;在M点时mgsin θ=Eq+ks,位移大小s=,故C正确;根据能量守恒定律可知,电势能、动能和弹性势能的增加量等于重力势能的减少量,故D错误.
8.C　[解析] 小球沿圆弧轨道运动 ,不脱离轨道,所以受到的电场力水平向左,则小球一定带负电,小球从A运动到B的过程中,电场力做负功,电势能增大,机械能减小,故A、D错误;小球向右运动过程中,电场力做负功,电势能增大,机械能减小,因此小球不可能到达C点,故B错误;小球在电场和重力场的合力场中运动,电场力水平向左,重力方向竖直向下,所以电场和重力场的合力场的最低点在圆弧AB段上,因此小球速度最大的位置一定在AB段圆弧上某一点,故C正确.
9.10R
[解析] 小球所受的重力和静电力均为恒力,故两力可等效为一个力F==mg ,方向与竖直方向的夹角为37°偏左下,若使小球在圆环内恰好能做完整的圆周运动,即通过等效最高点D 时小球与圆环间的弹力恰好为0,由圆周运动知识可得mg=m ,由A 到D的过程由动能定理得mg(h-R-Rcos 37°)-mg(htan 37°+2R+Rsin 37°)=m,解得h=10R.
10.(1)　(2)　(3)3d
[解析] (1)根据题意可知,小球A运动方向与水平方向成45°角,则tan 45°=
且U=Ed
解得U=
(2)设小球B从小孔射出时水平和竖直速度大小分别为vBx和vBy,依题意,有==2d
解得vBy=
设B球运动到小孔的时间为t,有d=t
取向上为正,在竖直方向,有-vBy=v0-gt
联立解得v0=
(3)B球的竖直方向位移为y=t=2d
故板长为L=d+y=3d
11.(1)　(2)3(mg+qE)
(3)2
[解析] (1)小球从A到B的过程,由动能定理得
mgL+qEL=mv2-0
小球到达B点时的速度大小为
v=
(2)在B点,对小球由牛顿第二定律得
T-mg-qE=m
解得T=3(mg+qE)
(3)对小球,在细线断开后做类平抛运动,由牛顿第二定律有
qE+mg=ma
竖直方向:H-L=at2
水平方向:x=vt
联立解得x=2专题课:带电粒子在重力场和电场中的运动
学习任务一　带电粒子在重力场和电场中的直线运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
[物理观念] 带电粒子在电场中做直线运动的分析
(1)运动类型
①匀速直线运动:带电粒子受到的合力等于零,即受到的静电力与其他力平衡.
②匀加速直线运动:带电粒子受到的合力与其初速度方向相同.
③匀减速直线运动:带电粒子受到的合力与其初速度方向相反.
(2)分析方法
①运动学方法——牛顿运动定律、匀变速直线运动公式.
②能量方法——动能定理、能量守恒定律.
例1 [2024·陕西咸阳期末] 如图所示,空间有一水平向右的匀强电场,一带电微粒以初速度v0从A点沿直线运动到B点,微粒除受到电场力和重力外,不受其他力,则
(　)
A.微粒带正电
B.微粒从A点运动到B点,动能减小
C.微粒从A点运动到B点,电场力做负功
D.微粒从A点运动到B点,机械能增加
例2 如图所示,一个带正电的微粒从A点射入水平方向的匀强电场中,微粒沿直线AB运动,AB与电场线的夹角θ=30°.已知带电微粒的质量m=1.0×10-7 kg,电荷量q=1.0×10-10 C,A、B相距L=20 cm,g取10 m/s2.
(1)说明微粒在电场中运动的性质并给出理由.
(2)求电场强度的大小和方向.
(3)要使微粒能从A点运动到B点,微粒射入电场时的最小速度是多少
学习任务二　带电粒子在重力场和电场中的曲线运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
[物理观念] 带电粒子在电场中做曲线运动的分析
(1)运动分解的方法:将运动分解为沿合力方向的匀变速直线运动和垂直于合力方向的匀速直线运动,用运动学规律或牛顿第二定律进行求解.
(2)利用功能关系和动能定理分析:①功能关系:静电力做功等于电势能的减少量,W电=Ep1-Ep2.②动能定理:合力做功等于动能的变化,W=Ek2-Ek1.
例3 如图所示,四个质量均为m、带电荷量均为+q的微粒a、b、c、d距离地面的高度相同,以相同的水平速度被抛出,除了a微粒没有经过电场外,其他三个微粒均经过电场强度大小为E的匀强电场(mg>qE,重力加速度为g),这四个微粒从被抛出到落地所用的时间分别是ta、tb、tc、td,不计空气阻力,则 (　)
A.tbC.ta=td[反思感悟]

例4 如图所示,一质量为m、带正电的液滴,在水平向右的匀强电场中运动,运动轨迹在竖直平面内,A、B为其运动轨迹上的两点,已知该液滴在A点的速度大小为v0,方向与竖直方向的夹角为30°;它运动到B点时速度大小仍为v0,方向与竖直方向的夹角为60°,则液滴从A运动到B的过程 (　)
A.合力做功为m
B.重力势能增加m
C.电势能减少m
D.机械能减少m
学习任务三　带电体在重力场和电场中的圆周运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
[物理观念] 带电体在电场和重力场的叠加场中的运动一般可用等效法处理.各种性质的场与常规物体的根本区别之一是场具有叠加性,即几个场可以同时占据同一空间,从而形成叠加场.对于叠加场中的力学问题,可以根据力的独立作用原理分别研究每一种场对物体的作用效果,也可以同时研究几种场共同作用的效果,将叠加场等效为一个简单场,其具体步骤是先求出重力与静电力的合力,将这个合力视为一个“等效重力”,将a=视为“等效重力加速度”,再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可.
例5 (多选)如图所示,用绝缘细线拴一带负电小球,在竖直平面内做圆周运动,匀强电场方向竖直向下,则 (　)
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点a时,细线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点a时,小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点b时,小球的速度一定最大
变式 如图所示,质量为m、带电荷量为+q的小球(可视为质点)与长为L的绝缘轻绳相连,轻绳另一端固定在O点,整个系统处在与竖直方向夹角为45°的匀强电场中.已知A、B、C、D、E、F为圆周上的点,AB为水平直径,CD为竖直直径,EF过O点且与CD的夹角为45°,当小球绕O点在竖直平面内做半径为L的圆周运动时,小球运动到A点时的速度最小,重力加速度的大小为g,
则下列说法正确的是 (　)
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球从A点运动到B点时,合力做的功为mgL
C.小球运动到B点时轻绳拉力的大小为5mg
D.小球运动到F点时的机械能最大
[反思感悟]

【要点总结】
解决重力场与电场中的圆周运动问题的关键是分析向心力的来源,提供向心力的是重力和静电力的合力,可以把复合场中的圆周运动等效为竖直面内的圆周运动,找出等效“最高点”和“最低点”.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(带电粒子在电场中的直线运动)(多选)[2024·同安一中月考] 如图所示,两平行金属板a、b水平放置,两板上正对位置开有小孔c、d,两金属板充电后与电源断开.一带电的液滴在c孔正上方某一高处由静止释放,恰好能运动到d孔.若其他条件不变,仅将a板平行b板向上平移一小段距离,不考虑板外电场的影响,油滴从原处释放后,与a板移动前相比,油滴 (　)
A.在板间的加速度不变
B.在板间的加速度变大
C.不能从d孔穿出两板
D.能从d孔穿出两板
2.(带电粒子在电场中的曲线运动)如图所示,带电的平行金属板电容器水平放置,质量相同、重力不计的带电微粒A、B以平行于极板的相同初速度从不同位置射入电场,结果打在极板上的同一点P.不计两微粒之间的库仑力,下列说法正确的是 (　)
A.在电场中微粒A运动的时间比B运动的时间长
B.在电场中微粒A、B运动的时间相同
C.微粒A带的电荷量比B带的电荷量少
D.静电力对微粒A做的功比对B做的功少
3.(带电粒子在重力场和电场中的圆周运动)(多选)一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右的场强为E的匀强电场中,如图所示,环上a、c是竖直直径的两端,b、d是水平直径的两端,质量为m的带负电小球套在圆环上,并可沿环无摩擦滑动,已知小球自a点由静止释放,沿abc运动到d点时速度恰好为零,由此可知(　)
A.小球所受重力与电场力大小相等
B.小球在d点时的电势能最小
C.小球在b点时的机械能最大
D.小球在圆环上c点时动能最大专题课:带电粒子在重力场和电场中的运动 建议用时:40分钟
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知识点一　带电粒子在重力场与电场中的直线运动
1.(多选)如图所示,平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度,两极板与一直流电源相连.若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器,则在此过程中,该粒子
(　)
A.所受重力与静电力平衡
B.电势能逐渐增加
C.动能逐渐增加
D.做匀变速直线运动
2.(多选)[2024·福州一中月考] 如图所示,一带电液滴在重力和水平匀强电场对它的电场力的作用下,由静止开始从b沿直线运动到d,且bd与竖直方向的夹角为45°,则下列结论中正确的是
(　)
A.此液滴带正电
B.液滴做匀加速直线运动
C.合力对液滴做的总功等于零
D.液滴的电势能减少
◆ 知识点二　带电粒子在重力场与电场中的曲线运动
3.如图所示,带正电、负电和不带电的三个等质量小球A、B、C以相同的水平速度由P点射入水平放置的平行金属板间,已知上板带负电,A、B、C三小球分别落在图中a、b、c三点,其中小球B不带电,则(　)
A.A带负电,C带正电
B.三小球在电场中的加速度大小关系是aA>aB>aC
C.三小球在电场中运动时间相等
D.三小球到达下板时的动能关系是EkC>EkB>EkA
4.(多选)[2023·同安一中月考] 如图所示,在水平向右的匀强电场中,质量为m可看成质点的带电小球以初速度v从M点竖直向上抛出通过N点时,速度大小为v,方向与电场方向相反.若M、N连线与水平方向夹角为45°,则小球从M点运动到N点的过程中 (　)
A.小球的动能先减小再增大
B.小球的机械能先增大再减小
C.小球的重力大小一定等于电场力大小
D.小球的电势能一定逐渐增大
◆ 知识点三　带电粒子在重力场与电场中的圆周运动
5.(多选)如图所示,一绝缘光滑半圆环轨道放在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场中,在与环心等高处有一质量为m、带电荷量为+q的小球由静止开始沿轨道运动,重力加速度为g,下列说法正确的是(　)
A.小球经过环的最低点时速度最大
B.小球在运动过程中机械能守恒
C.小球经过环的最低点时对轨道的压力为mg+qE
D.小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg+qE)
6.如图所示,匀强电场方向水平向右,电场强度为E,悬线长为L,上端系于O点,下端系一质量为m、带电荷量为+q的小球,已知Eq=mg(g为重力加速度).现将小球从最低点A由静止释放,则下列说法错误的是 (　)
A.小球可到达水平位置
B.当悬线与水平方向成45°角时,小球的速度最大
C.小球在运动过程中机械能守恒
D.当小球速度最大时,悬线的张力为(3-2)mg
7.[2024·河南周口期末] 如图所示,劲度系数为k的轻弹簧,一端固定于倾角为θ的光滑绝缘斜面顶端的挡板上,另一端连接绝缘、带正电、可视为质点的小球A,小球的质量为m,电荷量为q,弹簧处于原长时小球在O点.在空间中加一平行于斜面向上的匀强电场,电场强度大小为E,将小球从O点由静止释放,小球沿斜面运动至M点时加速度为零,重力加速度大小为g,则小球从O点运动至M点的过程中,小球的 (　)
A.机械能一直增大
B.机械能先增大后减小
C.位移大小为s=
D.电势能的增加量等于重力势能的减少量
8.如图所示,固定在竖直面内、半径为R的光滑绝缘半圆形轨道ABC,圆心为O,AC为水平直径,处在水平向右的匀强电场中,电场线与轨道平面平行.一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带电小球从轨道上的A点由静止释放,小球始终沿圆弧轨道运动.下列说法正确的是 (　)
A.小球从A运动到B的过程中,小球的机械能可能增加
B.小球一定会运动到C点
C.小球运动速度最大的位置一定在AB段圆弧上的某一点
D.小球一定带正电
9.[2024·安溪一中期中] 如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道,处于水平向右的匀强电场中,一带负电的小球从高为h 的A 处由静止开始下滑,沿轨道ABC 运动,然后进入圆环内做圆周运动.已知小球所受静电力是其重力的 ,圆环半径为R ,斜面倾角
为θ=53°,轨道水平段BC 长度为sBC=2R.若使小球在圆环内恰好能做完整的圆周运动,则高度h为　　　　.
10.如图所示,平行金属板竖直放置,板间存在匀强电场,两板间距为d,在负极板开有一个小孔,小孔到负极板上边缘的距离也为d.小球A从正极板的上边缘由静止释放,同时小球B从正极板的下边缘以某一竖直向上的初速度v0释放,两小球刚好都能从小孔离开金属板,且离开时的速度方向相同.已知小球A、B电荷量均为+q,质量分别为m和4m,重力加速度为g,忽略两小球之间的相互作用,求:
(1)两极板之间的电压大小;
(2)小球B的初速度v0大小;
(3)平行金属板的板长.
11.[2024·厦门大学附中月考] 在真空中存在着竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E,如图所示,一根绝缘细线长为L,一端固定在图中的O点,另一端固定有一个质量为m、电荷量为+q、可视为点电荷的小球,O点距离地面的高度为H,将小球拉至与O点等高的位置A处由静止释放.重力加速度大小为g,求:
(1)求小球运动到O点正下方B点时的速度大小;
(2)求细线对B点处的小球的拉力大小;
(3)若小球通过B点时,细线恰好断开,求小球落地点与O点的水平距离x.(共62张PPT)
专题课：带电粒子在重力场和电场中的运动
学习任务一 带电粒子在重力场和电场中的直线运动
学习任务二 带电粒子在重力场和电场中的曲线运动
学习任务三 带电体在重力场和电场中的圆周运动
随堂巩固
备用习题
学习任务一 带电粒子在重力场和电场中的直线运动
［物理观念］ 带电粒子在电场中做直线运动的分析
(1)运动类型
①匀速直线运动：带电粒子受到的合力等于零，即受到的静电力与其他力平衡.
②匀加速直线运动：带电粒子受到的合力与其初速度方向相同.
③匀减速直线运动：带电粒子受到的合力与其初速度方向相反.
(2)分析方法
①运动学方法——牛顿运动定律、匀变速直线运动公式.
②能量方法——动能定理、能量守恒定律.
例1 [2024·陕西咸阳期末] 如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，一带电微粒以初速度从点沿直线运动到点，微粒除受到电场力和重力外，不受其他力，则( )
A.微粒带正电
B.微粒从点运动到点，动能减小
C.微粒从点运动到点，电场力做负功
D.微粒从点运动到点，机械能增加
√
[解析] 微粒从A点沿直线运动到B点，可知合力方向与共线，微粒受竖直向下的重力，根据力的合成条件可知电场力水平向左，可知微粒带负电，故A错误；根据以上
分析可知从A点沿直线运动到B点的过程中电场力对微粒做正功，电势能减小，其机械能增加，故C错误，D正确；根据动能定理可知重力做正功，电场力也做正功，即合外力对微粒做正功，所以动能会增加，故B错误.
例2 如图所示，一个带正电的微粒从点射入水平方向的匀强电场中，微粒沿直线运动，与电场线的夹角
(1) 说明微粒在电场中运动的性质并给出理由.
[答案] 见解析
[解析] 微粒只在重力和静电力作用下沿方向运动，受力分析如图所示，微粒所受合力的方向由指向，与初速度方向相反，微粒做匀减速直线运动.
.已知带电微粒的质量，电荷量，、相距，取.
(2) 求电场强度的大小和方向.
[答案] ; 水平向左
[解析] 因为，所以电场强度，方向水平向左.
(3) 要使微粒能从点运动到点，微粒射入电场时的最小速度是多少？
[答案]
[解析] 由题意知微粒运动到时的速度时，微粒进入电场的速度最小，由动能定理得，
解得.
学习任务二 带电粒子在重力场和电场中的曲线运动
［物理观念］ 带电粒子在电场中做曲线运动的分析
(1)运动分解的方法：将运动分解为沿合力方向的匀变速直线运动和垂直于合力方向的匀速直线运动，用运动学规律或牛顿第二定律进行求解.
(2)利用功能关系和动能定理分析：①功能关系：静电力做功等于电势能的减少量，.②动能定理：合力做功等于动能的变化，.
例3 如图所示，四个质量均为、带电荷量均为的微粒、、、距离地面的高度相同，以相同的水平速度被抛出，除了微粒没有经过电场外，其他三个微粒均经过电场强度大小为的匀强电场,重力加速度为，这四个微粒从被抛出到落地所用的时间分别是、、、，不计空气阻力，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设四个微粒抛出时距地面的高度为，微粒、在竖直方向均做自由落体运动，由，可得落地时间为，微粒受电场力向下，做类平抛运动，微粒受电场力向上，但由于重力较大，仍做类平抛运动，由牛顿第二定律分别可得，，类比微粒可得，落地时间分别为，，则有，故选B.
例4 如图所示，一质量为、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，、为其运动轨迹上的两点，已知该液滴在点的速度大小为，方向与竖直方
A.合力做功为 B.重力势能增加
C.电势能减少 D.机械能减少
向的夹角为 ；它运动到点时速度大小仍为，方向与竖直方向的夹角为 ，则液滴从运动到的过程( )
√
[解析] 液滴的动能增加量为零，故合力做功为零，选项A错误；液滴重力势能增加量为，将液滴的运动分解，竖直方向做加速度为的匀减速运动，则
，解得，选项B错误；因动能不变，故电场力做的功，液滴的电势能减少，选项C正确；液滴的机械能增加量等于动能增加量和重力势能增加量之和，故机械能增加了，选项D错误.
学习任务三 带电体在重力场和电场中的圆周运动
［物理观念］ 带电体在电场和重力场的叠加场中的运动一般可用等效法处理.各种性质的场与常规物体的根本区别之一是场具有叠加性，即几个场可以同时占据同一空间，从而形成叠加场.对于叠加场中的力学问题，可以根据力的独立作用原理分别研究每一种场对物体的作用效果，也可以同时研究几种场共同作用的效果，将叠加场等效为一个简单场，其具体步骤是先求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将视为“等效重力加速度”，再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可.
例5 (多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A.小球可能做匀速圆周运动
B.当小球运动到最高点时，细线的张力一定最小
C.当小球运动到最高点时，小球的电势能一定最小
D.当小球运动到最低点时，小球的速度一定最大
√
√
[解析] 当重力大小等于静电力时，只有细线的拉力提供向心力，小球做匀速圆周运动，故A正确；当重力小于静电力时，点为等效最低点，则小球运动到最高点时，细线的张力最大，故B错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，在圆周上点
的电势最高，由知，当小球运动到最高点时，小球的电势能一定最小，故C正确；当重力小于静电力时，点为等效最低点，则小球运动到最高点时，小球的速度最大，故D错误.
变式 如图所示，质量为、带电荷量为的小球(可视为质点)与长为的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在点，整个系统处在与竖直方向夹角为 的匀强电场中.已知、、、、、为圆周上的点，为水平直径，为竖直直径，过点且与的夹角为 ，当小球绕点在竖直平面内做半径为的圆周运动时，小球运动到点时的速度最小，重力加速度的大小为，则下列说法正确的是( )
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球从点运动到点时，合力做的功为
C.小球运动到点时轻绳拉力的大小为
D.小球运动到点时的机械能最大
√
[解析] 小球在A点时只受重力和电场力，重力和电场力的合力提供向心力，则有
，，A错误；小球从A点运动到B点时，重力做功是零，电场力做功为
，合力做的功为，B错误；
小球运动到B点时，由动能定理，又，得，在B点，，代入数据解得，C错误；小球在点时的电势最低，具有的电势能最小，因此小球在点的机械能最大，D正确.
【要点总结】
解决重力场与电场中的圆周运动问题的关键是分析向心力的来源，提供向心力的是重力和静电力的合力，可以把复合场中的圆周运动等效为竖直面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”.
1.电子束焊接机中的电场线如图中虚线所示.K为阴极,A为阳极,两极之间的距离为d,在两极之间加上高压U.有一电子在K极由静止被加速,不考虑电子重力,元电荷为e.下列说法正确的是(　　)
A.A、K之间的电场强度为
B.电子到达A极板时的动能大于eU
C.由K到A,电子的电势能减小了eU
D.由K沿直线到A,电势逐渐降低
√
[解析] A、K之间的电场为非匀强电场,A、K之间的电场强度不是,选项A错误;
由动能定理可知,电子到达A极板时的动能Ek=eU,选项B错误;
电子由K到A的过程中,静电力做正功,电子的电势能减小了eU,选项C正确;
由K到A,逆着电场线方向,电势逐渐升高,选项D错误.
2. (多选)空间内有高度为d、宽度足够宽、方向水平向左的匀强电场.当在该空间内建立如图所示的坐标系后,在x轴上的P点沿y轴正方向连续射入质量和电荷量均相同、且带电性质也相同的带电粒子(粒子重力不计),由于粒子的入射速度v(v>0)不同,有的粒子将在电场中直接通过y轴,有的将穿出电场后再通过y轴.设粒子通过y轴时离坐标原点的距离为h,从P到y轴所需的时间为t,则(　　)
A.由题设条件可以判断出粒子的带电性质
B.对h≤d的粒子,h越大,则t越大
C.对h≤d的粒子,在时间t内,静电力对粒子做的功不相等
D.h越大的粒子进入电场时的速度v也越大
√
√
[解析] 由题意可知,粒子向左偏,由电场线的方向,可确定静电力方向向左,因此粒子带正电,故A正确;
对h≤d的所有粒子,受到的静电力相同,加速度也相同,因此运动时间也相等,由于粒子的入射速度v不同,所以h不同,故B错误;
对h≤d的所有粒子,在时间t内,沿着静电力方向的位移相同,
所受静电力相同,因此静电力做功相等,故C错误;
若在电场中直接通过y轴,水平分位移x相等,由x=at2知,运动时间t相等,竖直分位移h=vt,则h越大的粒子进入电场时的速度v也越大,若穿出电场后再通过y轴,则通过电场时竖直分位移y相等,h越大时,沿着静电力方向偏转位移x越小,由x=at2可知t越小,由y=vt可知v越大,故D正确.
3.如图所示,空间中存在与水平方向成45°角斜向右上方的匀强电场,电场强度为E,在电场中的P点有一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球.已知电场强度为E=,其中g为重力加速度,忽略空气阻力,下列对小球运动情况分析正确的是 (　　)
A.若小球从静止释放,小球将做曲线运动
B.若小球以某一速度竖直向下抛出,小球的动能一直增加
C.若小球以某一速度竖直向上抛出,小球的电势能先减小后增大
D.若小球初速度方向与电场线方向相同,最终小球可能竖直向下做直线运动
√
[解析] 带正电的小球受到的电场力与电场方向相同,大小为F=qE=q·=mg,由于竖直方向有Fy=Fsin 45°=mg,可知小球竖直方向的合力为零,故小球受到的合力方向水平向右,大小为F合=Fx=Fcos 45°=mg,若小球从静止释放,小球将沿合力方向水平向右做匀加速直线运动,A错误;
若小球以某一速度竖直向下抛出,由于小球受到的合力方向水平向右,则小球向下做类平抛运动,运动过程中,合力一直做正功,小球的
动能一直增加,B正确;
若小球以某一速度竖直向上抛出,由于小球受到的合力方向水平向右,则小球向上做类平抛运动,运动过程,电场力一直做正功,小球的电势能一直减小,C错误;
若小球初速度方向与电场线方向相同,由于小球受到的合力方向水平向右,与初速度方向不在同一直线上,则小球将做匀变速曲线运动,最终小球不可能竖直向下做直线运动,D错误.
4.如图所示,在竖直平面内有一水平向右的匀强电场,将一带电小球从坐标原点斜向上抛出,抛出时速度大小为v0,方向与x轴正方向夹角为θ,则以下对小球运动状态的描述可能正确的是 (　　)
A.若小球带正电,则小球可以做匀变速曲线运动,再次经过
x轴时速度增大
B.若小球带负电,则小球可以做匀变速曲线运动,再次经过y轴时速度增大
C.若小球带负电,则速度大小再次等于v0时位置一定在第二象限
D.若小球带正电,则速度大小再次等于v0时位置一定在第二象限
√
[解析] 若小球带正电,小球受到重力及水平向右恒定的电场力的作用,合力保持不变,则小球将做匀变速曲线运动,再次经过x轴时重力不做功,水平方向上电场力做正功,动能增大,则速度增大,故A正确;
若小球带负电,小球受到重力及水平向左恒定的电场力作用,合力大小保持不变,重力与电场力大小关系未知,若合力方向与速度方向不在同一直线上,则小球可以做匀变速曲线运动,若二者在同一直线上,则也可能做匀变速直线运动,当做匀变速曲线运动的小球再次经过y轴时,电场力不做功,但重力可能做负功,也可能做正功,即速度可能减小,也可能增大,故B错误;
若小球带负电,则速度大小再次等于v0时,根据动能定理可知,电场力所做的功等于小球克服重力做的功,由于电场力与重力大小关系不确定,所以位置不一定在第二象限,也可能在坐标原点处或第四象限,故C错误;
若小球带正电,则速度大小再次等于v0时,根据动能定理可知,小球克服重力所做的功等于电场力做的功,所以位置一定在第一象限,故D错误.
5. (多选)水平地面上方有水平向右的匀强电场,从地面上的A点斜向右上方以速度v0=10 m/s抛出一个带电荷量为+q、质量为m的小球,速度方向与水平地面的夹角θ=53°,轨迹如图所示.点B为轨迹最高点,D、E两点高度相等,小球落在水平地面的C点.忽略空气阻力的影响,g取10 m/s2,匀强电场的场强大小为E=,则 (　　)
A.小球在D、E两点的速度大小相等
B.小球在B点的速度为10 m/s
C.小球落地时与水平方向的夹角仍为53°
D.A、C两点的距离为16 m
√
√
[解析] D、E两点高度相等,小球从D到E重力做功为零,电场力做正功,所以小球在D、E两点的速度大小不相等,故A错误;
小球在竖直方向与水平方向的初速度分别为vx0=v0cos 53°=6 m/s,vy0=v0sin 53°=8 m/s,点B为轨迹最高点,所以在B点竖直速度为零,vy0=gt,ax=,vx=vx0+axt,联立可得vx=10 m/s,即小球在B点速度为10 m/s,故B正确;
小球从A到C的时间为从A到B的时间的两倍,则到C点时,水平速度为vxC=vx0+ax·2t=14 m/s,则小球落地时与水平方向的夹角的正切值为tan β==,故C错误;
A、C两点距离为x==16 m,故D正确.
6. (多选) 如图所示,在竖直平面内有水平向左的匀强电场,匀强电场中有一根长为L的绝缘细线,细线一端固定在O点,另一端系一可视为质点的质量为m、电荷量为q的带电小球.小球静止时细线与竖直方向成θ角,此时让小球获得沿切线方向的初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做完整的圆周运动,重力加速度为g.下列说法正确的是 (　　)
A.小球带负电,且匀强电场的电场强度为E=
B.小球做圆周运动过程中速度的最小值为v=
C.小球从静止位置运动至圆周轨迹最高点的过程中动能逐渐减小,电势能先减小后增大
D.小球从静止位置开始至其在竖直平面内运动一周的过程中,机械能先减小后增大
√
√
√
[解析] 小球静止时细线与竖直方向成θ角,由平衡条件可知电场力水平向右,与场强方向相反,小球带负电,有qE=mgtan θ,解得E=,故A正确;
小球恰能绕O点在竖直面内做完整的圆周运动,如图所示,在等效最高点A的速度最小,根据平衡条件得=m,解得v=,故B正确;
小球从静止位置沿逆时针方向运动至圆周轨迹最高点的过程中,电场力先做正功后做负功,电势能先减小后增大,而小球在等效最高点A的速度最小,动能最小,所以小球的动能逐渐减小,故C正确;
小球从静止位置开始沿逆时针方向运动一周的过程中,小球的机械能和电势能之和守恒,电场力先做正功后做负功最后再做正功,则小球的电势能先减小后增大再减小,机械能先增大后减小再增大,故D错误.
7. 水平向右的匀强电场中,电场强度为E,一根长度为L不可伸长且绝缘的细绳一端固定于O点,另一端连着一个带电荷量为+q的小球.现将小球从与场强平行的A位置无初速度释放,小球沿圆弧经过最低点B,重力加速度为g.
(1)求B、A两点间的电压UBA;
[答案] EL　
[解析] B、A两点间的电压为UBA=EL
7. 水平向右的匀强电场中,电场强度为E,一根长度为L不可伸长且绝缘的细绳一端固定于O点,另一端连着一个带电荷量为+q的小球.现将小球从与场强平行的A位置无初速度释放,小球沿圆弧经过最低点B,重力加速度为g.
(2)求小球从A到B的过程中电场力所做的功WAB;
[答案] -qEL　
[解析]小球从A到B的过程中电场力所做的功为
WAB=qUAB
结合UAB=-UBA=-EL
得WAB=-qEL
7. 水平向右的匀强电场中,电场强度为E,一根长度为L不可伸长且绝缘的细绳一端固定于O点,另一端连着一个带电荷量为+q的小球.现将小球从与场强平行的A位置无初速度释放,小球沿圆弧经过最低点B,重力加速度为g.
(3)若小球质量m=,求小球运动到B点的速度大小vB.
[答案]
[解析] 小球从A到B的过程中,根据动能定理得
mgL-qEL=m-0 又m=
解得 vB=
8.如图所示,绝缘光滑轨道的AB部分是倾角为30°的斜面,AC部分是竖直平面内半径为R的圆弧轨道,斜面与圆弧轨道相切.整个装置处于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中.现有一个带正电的小球,质量为m,电荷量为q=(重力加速度为g),要使小球能安全通过圆弧轨道,在O点的初速度v应满足什么条件
[答案] v≥
[解析] 小球先在斜面上运动,受到重力、静电力和支持力,然后在圆弧轨道上运动,受到重力、静电力和轨道作用力,如图所示.将静电力与重力的合力视为等效重力mg',大小为mg'==
tan θ==,解得θ=30°
等效重力的方向与斜面垂直且指向右下方,小球在斜面上做匀速运动.
要使小球能安全通过圆弧轨道,在圆弧轨道的等效“最高点”(D点)处应满足等效重力刚好提供向心力,即有mg'=m
因θ=30°与斜面的倾角相等,由几何关系可知AD=2R
令小球以最小初速度v0运动,由动能定理得
-2mg'R=m-m
解得v0=
由于小球在斜面上匀速运动,所以v=v0
因此要使小球安全通过圆弧轨道,在O点的初速度应满足v≥ .
9.如图所示,ABCD是竖立放在场强为E=3×104 V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道,其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环,轨道的水平部分与半圆环相切于B点,A为水平轨道上的一点,且AB=R=0.2 m.把一质量m=400 g、带电荷量q=10-4 C的小球放在水平轨道上的A点(图中未画出),由静止开始释放后,小球在轨道的内侧运动.(g取10 m/s2)
(1)小球到达B点时的速度是多大
[答案] m/s2　
[解析] 设小球在B点时速度为vB,小球从A至B的过程中,由动能定理得
EqR=m
解得vB= m/s
(2)小球到达C点时对轨道压力是多大
[答案] 7 N　
[解析] 设小球在C点时速度大小是vC,小球从A
至C的过程中,由动能定理得
qE·2R-mgR=m-0
解得vC= m/s2
小球在C点时水平方向受力如图所示,有 NC-Eq=m
解得NC=7 N
根据牛顿第三定律可知,小球对轨道的压力为7 N
(3)小球所能获得的最大动能是多少
[答案] 0.8 J
[解析] 由题可知mg=4 N,Eq=3 N.
设小球和O点的连线与竖直方向的夹角为θ时动能为Ekm,则
tan θ==
Ekm=EqR(1+sin θ)-mgR(1-cos θ)
解得Ekm=0.8 J
10.如图所示,半径为R=1 m的绝缘光滑圆弧轨道竖直放置,在A点右侧空间中存在水平向右、电场强度大小为E=1×105 N/C的匀强电场,质量为m=0.4 kg、带电荷量为q=+3×10-5 C的小球从O1点以4 m/s水平向右的初速度做平抛运动,恰好在圆弧轨道的A点与圆弧轨道相切进入电场,已知A点与圆心O点连线与竖直方向夹角为θ=37°.不考虑边缘电场的影响,不计空气阻力,求:(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2)
(1)小球抛出点位置相对A点的水平距离;
[答案] 1.2 m　
[解析] 设小球从O1点到A点的时间为t
由平抛运动规律有tan θ=
解得t=0.3 s
小球抛出点位置相对A点的水平距离为s=v0t=1.2 m
(2)小球在圆弧轨道上运动的最大速度,以及此时小球对轨道的压力大小.
[答案] m/s　22.2 N
[解析] 小球运动到A点的速度为v==5 m/s
小球在电场中所受的静电力大小为F=Eq=3 N
静电力与重力的合力为F合==5 N
静电力与重力的合力与竖直方向的夹角的正弦值为sin α==0.6
解得α=37°=θ
由几何关系可知,等效最高点在C点,设等效最低点在B点,如图所示
则小球运动到B点时的速度最大,由动能定理可得
qE·2Rsin θ=m-mv2
解得vm= m/s
此时轨道对小球的支持力为N=m+F合=22.2 N
根据牛顿第三运动定律可知小球对轨道的压力大小为22.2 N
11. 如图所示,两平行金属板AB、CD组成电容器,AB板带正电、CD板接地,板长为L=0.2 m,板间距为d=0.1 m,电容器的电容为C=10-4 F.质量为m=1×10-9 kg、电荷量为q=-1×10-6 C的粒子,以初速度v0=1×103 m/s持续不断地沿中轴线射入两板间.已知第一个粒子恰好打在AB板中央,粒子打在板上后会与极板发生电荷中和.不计粒子重力,求:
(1)第一个粒子在电场中运动的加速度大小;
[答案] 107 m/s2　
[解析] 依题意,第一个粒子在电场中做类平抛运动,有=at2,=v0t
代入相关数据求得a=107 m/s2
(2)电容器最初所带电荷量Q;
[答案] 0.1 C　
[解析] 根据U0=
a=
E0=
联立以上式子,代入相关数据求得电容器最初带电荷量为Q=0.1 C
[答案] 7.5×104个
[解析] 当粒子飞入电场中,恰好从上极板右边缘飞出时,打在AB板上的粒子数最多,设此时极板所带电荷量为Q',则有=a't'2,L=v0t'
则a'=2.5×106 m/s2
根据U'=a'=E'=
联立以上式子,代入相关数据求得此时极板所带电荷量为Q'=0.025 C
则打在AB板上的粒子总数为N==(个)=7.5×104(个)
(3)打在AB板上的粒子总数N.
1. (带电粒子在电场中的直线运动)(多选)[2024·同安一中月考] 如图所示，两平行金属板、水平放置，两板上正对位置开有小孔、，两金属板充电后与电源断开.一带电的液滴在孔正上
A.在板间的加速度不变 B.在板间的加速度变大
C.不能从孔穿出两板 D.能从孔穿出两板
方某一高处由静止释放，恰好能运动到孔.若其他条件不变，仅将板平行板向上平移一小段距离，不考虑板外电场的影响，油滴从原处释放后，与板移动前相比，油滴( )
√
√
[解析] 极板所带电荷量不变，根据可知板间场强不变，设油滴质量为、电荷量为，与孔距离为，板间场强为，板间距离为，则由牛顿第二定律有可知，油滴在板间的加速度不变，A正确，B错误；根据动能定理有，当仅将板平行板向上平移一小段距离，设油滴在板间运动的距离为，有，解得，
，油滴到不了孔，C正确，D错误.
2. (带电粒子在电场中的曲线运动)如图所示，带电的平行金属板电容器水平放置，质量相同、重力不计的带电微粒、以平行于极板的相同初速度从不同位置射入电场，结果打在极板上的同一点.不计两微粒之间的库仑力，下列说法正确的是( )
A.在电场中微粒运动的时间比运动的时间长
B.在电场中微粒、运动的时间相同
C.微粒带的电荷量比带的电荷量少
D.静电力对微粒做的功比对做的功少
√
[解析] 带电微粒进入电场中，做类平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则微粒在电场中的运动时间为，由此可知两微粒在电场中的运动时间相同，
选项B正确，A错误；在竖直方向上做匀加速直线运动，有，由于相同，，可得，即，而，则，选项C错误；由，可知静电力对微粒A做的功比对B做的功多，选项D错误.
3. (带电粒子在重力场和电场中的圆周运动)(多选)一半径为的光滑圆环竖直放在水平向右的场强为的匀强电场中，如图所示，环上、是竖直直径的两端，、是水平直径的两端，质量为的带负电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动，已知小球自点由静止释放，沿运动到点时速度恰好为零，由此可知( )
A.小球所受重力与电场力大小相等
B.小球在点时的电势能最小
C.小球在点时的机械能最大
D.小球在圆环上点时动能最大
√
√
[解析] 从到过程，根据动能定理，有，解得，即电场力与重力大小相等，故A正确；根据功能关系可知，电场力做正功，电势能减小，电场力向左，故
运动到点时电场力做的正功最多，电势能减少得最多，故电势能最小，故B错误；根据功能关系可知，除重力外其余力做的功等于机械能的增加量，小球受到重力、电场力和环的弹力作用，弹力沿径向，速度沿着切向，故弹力一直不做功，除重力外只有电场力做功，由于
电场力水平向左，故运动到点时，电场力做的功最多，机械能增量最大，故小球在点时，机械能最大，故C正确；电场力与重力大小相等，故小球在重力场和电场的复合场的最低点在段圆弧的中点处，小球运动到此处时动能最大，故D错误.

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