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第二十一章成果展示
一元二次方程
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列方程是一元二次方程的是(　C　)
A．5x2－6y－2＝0
B．2x2－7＝3y＋1
C．x(x＋2)＝5(x－2)
D．ax2＋(b－3)x＋c＋5＝0
2．一元二次方程(2x＋1)(2x－1)＝8x＋15的根的情况是(　A　)
A．有两个不等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．若方程2x2＋x－2m＋1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则m的取值范围是(　B　)
A．m≥ B．m＞
C．m＞ D．m≥
4．设a，b是方程x2＋2x－20＝0的两个实数根，则a2＋3a＋b的值为(　D　)
A．－18 B．21
C．－20 D．18
5．一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　B　)
A．＝1 B．＝1
C．＝ D．＝
6．若x＝3是关于x的一元二次方程x2－ax－a2＝0(a＞0)的一个根，下面对a的值估计正确的是(　B　)
A．＜a＜1
B．1＜a＜
C．＜a＜2
D．2＜a＜
7．某省深度落实加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业1月的营业额是1 000万元，营业额的月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3 990万元．若设月平均增长率是x，则可列出的方程是(　B　)
A．1 000(1＋x)2＝3 990
B．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990
C．1 000(1＋2x)＝3 990
D．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋2x)＝3 990
8．《九章算术》“勾股”章有一题，其译文大意是：已知矩形门的高比宽多六尺八寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是(　D　)
A．x2＋12＝(x＋0.68)2
B．x2＋(x＋0.68)2＝12
C．x2＋1002＝(x＋68)2
D．x2＋(x＋68)2＝1002
9．下列表格中的数据是ax2＋bx＋c与x的部分对应值：
x 5.12 5.13 5.14 5.15
ax2＋bx＋c －0.04 －0.02 0.01 0.03
那么你认为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解最接近于(　C　)
A．5.12 B．5.13
C．5.14 D．5.15
10．若关于x的方程a(x＋m)2＋bx－c＝0的根是x1＝－2，x2＝1(a，m，b，c均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m－1)2＋b(x－1)＝c的根是(　A　)
A．x1＝－1，x2＝2
B．x1＝－2，x2＝1
C．x1＝2，x2＝1
D．x1＝－2，x2＝－1
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．把一元二次方程(－x－1)2＝3化为一般形式是 x2＋2x－2＝0 ．
12．已知x1和x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，则＝ 11 ．
13．若关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤1且k≠0 ．
14．若关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m＋4＝0的两根的倒数和为1，则m的值为 2 ．
15．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2．若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则 m2＋n2＝ 6 ．
16．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；
②若方程ax2＋c＝0有两个不等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等的实数根；
③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立．
其中，正确的是 ①② ．(填序号)
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)把下列方程化成一般形式，然后写出其二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)(2x＋1)2＝16(3x－2)2；
(2)(2＋x)(2－x)＝(x－3)2．
解：(1)方程整理，得140x2－196x＋63＝0．
则二次项系数为140，一次项系数为－196，常数项为63．
(2)方程整理，得2x2－6x－3＝0．
则二次项系数为2，一次项系数为－6，常数项为－3．
18．(12分)用合适的方法解方程：
(1)x2－x－＝0；
(2)3x(x－1)＝2(x－1)；
(3)x2－5x＋2＝0；
(4)(2x－1)2＝(3－x)2．
解：(1)x2－x－＝0，
a＝1，b＝－，c＝－．Δ＝b2－4ac>0．
方程有两个不等的实数根x＝，
即x1＝，x2＝．
(2)移项，得3x(x－1)－2(x－1)＝0．
因式分解，得(x－1)(3x－2)＝0，
解得x1＝1，x2＝．
(3)移项，得x2－5x＝－2．
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，
得x2－5x＋＝－2＋．
配方，得＝．
开方，得x－＝±，
解得 x1＝，x2＝．
(4)两边开平方，得2x－1＝±(3－x)，
即2x－1＝3－x或2x－1＝－3＋x，
解得x1＝，x2＝－2．
19．(8分)已知x＝2是关于x的方程x2－(m＋4)x＋4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长．求：
(1)m的值；
(2)△ABC的周长．
解：(1)把x＝2代入方程x2－(m＋4)x＋4m＝0，
得4－2(m＋4)＋4m＝0，解得m＝2．
(2)方程化为x2－6x＋8＝0，
解得x1＝2，x2＝4．
∵2＋2＝4，
∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2．
∴△ABC的周长为4＋4＋2＝10．
20．(10分)如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由点A以2 cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3 cm/s的速度沿OC方向爬行．多长时间时，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2
解：分两种情况进行讨论：
①如图(1)，当一只蚂蚁在AO上运动时，设x s 时两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2．
由题意，得×3x·(50－2x)＝450．
整理，得x2－25x＋150＝0，
解得x1＝15，x2＝10．
　　　　
(1)　 　 　　　 (2)
第20题解图
②如图(2)，当一只蚂蚁在OB上运动时，设y s 时，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2．
由题意，得×3y·(2y－50)＝450．
整理，得y2－25y－150＝0，解得y1＝30，y2＝－5(不合题意，舍去)．
综上，10 s或15 s或30 s时，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2．
21．(10分)如图，为了美化环境，某小区计划在一块矩形空地上修建一个面积为1 500 m2的矩形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知矩形空地的长为 60 m，宽为40 m．
(1)求通道的宽度；
(2)某公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿植，该公司种植“四季青”的单价是每平方米30元，超过50 m2后，每多出5 m2，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于每平方米 20元．已知小区种植“四季青”的面积超过了50 m2，支付该公司种植“四季青”的费用为2 000元，求种植“四季青”的面积．
解：(1)设通道的宽度为x m．
由题意，得(60－2x)(40－2x)＝1 500，
解得x1＝5，x2＝45(不合题意，舍去)．
∴通道的宽度为5 m．
(2)设种植“四季青”的面积为y m2．
由题意，得y＝2 000，
解得y1＝y2＝100．
∴种植“四季青”的面积为100 m2．
22．(10分)某商城在端午节期间促销某品牌冰箱，每台冰箱进货价为2 500元，标价为3 000元．
(1)商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2 430元的价格出售给中奖者，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每台冰箱售价为2 900元时，平均每天能售出8台，当每台冰箱售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商城想要使冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
解：(1)设每次降价的百分率为x．
依题意，得3 000(1－x)2＝2 430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
∴每次降价的百分率是10%．
(2)设下调a个50元．
依题意，得5 000＝(2 900－2 500－50a)·(8＋4a)，解得a1＝a2＝3．
∴应下调3×50＝150(元)．
∴定价为2 900－150＝2 750(元)．
∴每台冰箱的定价应为2 750元．
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