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课时分层训练(四)　二次函数的图象和性质
知识点一　二次函数的图象与性质
1．下列函数中是二次函数的是(　D　)
A．y＝3x－1
B．y＝x2＋
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝3x2－1
2．二次函数y＝－2(x－3)2＋1的图象的对称轴是(　A　)
A．直线x＝3
B．直线x＝－3
C．直线x＝－2
D．直线x＝1
3.如图，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，当函数y随自变量x的增大而减小时，x的取值范围是(　C　)
A．x>3
B．x<3
C．x>1
D．x<1
4．函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　B　)
5．已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3之间的大小关系是(　B　)
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y3＜y1
6．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5．
(1)将y＝－x2＋4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
解：(1)y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，即将y＝－x2＋4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝－(x－2)2＋9．
(2)∵y＝－(x－2)2＋9，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，9)．
知识点二　二次函数的图象与几何变换
7．抛物线y＝－x2＋x＋1经平移后，不可能得到的抛物线是(　D　)
A．y＝－x2＋x
B．y＝－x2－4
C．y＝－x2＋2 023x－2 024
D．y＝－x2＋x＋1
8．将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线是(　A　)
A．y＝－5(x＋1)2－1
B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x＋1)2＋3
D．y＝－5(x－1)2＋3
9．通过平移y＝－(x－1)2＋3的图象，可得到y＝－x2的图象，下列平移方法正确的是(　B　)
A．向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度
B．向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度
C．向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度
D．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度
知识点三　待定系数法求二次函数的解析式
10．已知二次函数的图象经过(0，0)，(3，0)，(1，－4)三点，则该函数的解析式为(　C　)
A．y＝x2－3x
B．y＝2x2－3x
C．y＝2x2－6x
D．y＝x2－6x
11．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的解析式是(　D　)
A．y＝x2－x－2
B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2－x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
12．已知二次函数y＝a(x－1)(x－3)的图象经过点(0，3)．
(1)求a的值；
(2)将该二次函数的图象以x轴为对称轴作轴对称变换得到新的二次函数，请求出新二次函数的解析式．
解：(1)把(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)，
得a×(－1)×(－3)＝3，
解得a＝1．
(2)由(1)得该二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3．
将该二次函数的图象沿x轴进行轴对称变换，得到的新二次函数的解析式是－y＝x2－4x＋3，即y＝－x2＋4x－3．
13．若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线过点(　B　)
A．(－3，－6) B．(－3，0)
C．(－3，－5) D．(－3，－1)
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且抛物线经过点(1，0)，下面给出了四个结论：①abc＞0；②a－2b＋4c＞0；③5a＋c＜b；④a－b＝c．其中，正确的结论有(　C　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 2 ．
16．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2 ．
17．如图，已知抛物线的顶点坐标为(－1，9)，且经过x轴上一点(－4，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点坐标；
(3)试说明当x＞－1时，函数值y随x的增大而变化的情况．
　　
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋9．把(－4，0)代入，得a×(－4＋1)2＋9＝0，解得a＝－1．
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋9．
(2)当x＝0时，y＝－(x＋1)2＋9＝8，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，8)．
(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，抛物线开口向下，∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而减小．
18．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，BD，P为线段BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D(1，4)．
把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，
∴C(0，3)．
∵P为线段BD的中点，B(3，0)，D(1，4)，
∴点P的坐标为，
即P(2，2)．
∴CP＝＝．
故答案为．
【创新运用】
19．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1．
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式．
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标．
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将点O(0，0)代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得0＝m2－1，解得m＝±1．∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x．
(2)当m＝2时，二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴C(0，3)，顶点坐标为D(2，－1)．
(3)存在．连接CD，图略，根据“两点之间，线段最短”可知，当点P位于CD与x轴的交点时，PC＋PD最短．
设经过C，D两点的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将C(0，3)，D(2，－1)两点的坐标代入解析式中，可得
解得
∴y＝－2x＋3．
令y＝0，可得－2x＋3＝0，解得x＝．
∴当点P的坐标为时，PC＋PD最短．
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