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课时分层训练(五)　二次函数与一元二次方程
知识点一　二次函数与一元二次方程
1．二次函数y＝9x2＋1的图象与x轴的交点有(　D　)
A．1个 B．2个
C．1个或2个 D．0个
2．已知二次函数y＝－x2－2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2－2x＋m＝0的解为(　B　)
A．x1＝3，x2＝1
B．x1＝－3，x2＝1
C．x1＝3，x2＝－3
D．x1＝－3，x2＝－1
3．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　B　)
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
4．若二次函数y＝(m2－1)x2－(2m＋2)x＋2的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
解：由题意可知，
当m2－1≠0，
即m≠±1时，
该函数为二次函数．
由题意，得(2m＋2)2－2×4(m2－1)＝0，
解得m1＝－1(不合题意，舍去)，m2＝3．
综上，m的值为3．
知识点二　利用二次函数求一元二次方程的近似解
5．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.2 1.3 1.4
y －1 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(　C　)
A．x＝1.4 B．x＝1.1
C．x＝1.2 D．x＝1.3
6．小颖用计算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝－3.4，则方程的另一个近似根(精确到0.1)为 x＝1.4 ．
知识点三　二次函数与不等式
7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是(　D　)
A．－1＜x＜5
B．x＞5
C．x＜－1且x＞5
D．x＜－1或x＞5
8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A(－4，－1)，B(0，2)两点，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞kx＋m的解集是 －4＜x＜0 ．
9．如图，抛物线y1＝ax2＋c与直线y2＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式y1＜y2的解集为(　D　)
A．x＞－1
B．x＜3
C．x＜－3或x＞1
D．－1＜x＜3
10．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x交于(1，1)和(3，3)两点，有以下结论：①b2－4c＞0；②3b＋c＋6＝0；③当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＜0．其中，正确的有(　C　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
11．二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 －1≤t＜8 ．
12．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数图象与x轴都没有公共点；
(2)把该函数图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？
(1)证明：∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12＝－12＜0，
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数解．
∴不论m为何值，该函数图象与x轴都没有公共点．
(2)解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3．
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y＝(x－m)2 的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
此时，这个函数的图象与x轴只有一个公共点．
【创新运用】
13.如图，直线y1＝x＋1与抛物线y2＝x2－4x＋8交于B，C两点(点B在点C的左侧)．
(1)求B，C两点的坐标；
(2)直接写出y1＜y2时，x的取值范围；
(3)若抛物线的顶点为A，求△ABC的面积．
解：(1)令x＋1＝x2－4x＋8，
解得x1＝2，x2＝7．
将x1＝2，x2＝7分别代入y＝x＋1，
得y1＝2，y2＝．
∴点B的坐标为(2，2)，点C的坐标为．
(2)由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围为x＞7或x＜2．
(3)如图，作AD∥y轴交BC于点D．
∵y2＝x2－4x＋8＝(x－4)2，
∴抛物线顶点A的坐标为(4，0)．
将x＝4代入y1＝x＋1，
得y1＝3，
∴点D的坐标为(4，3)，AD＝3．
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝AD(xA－xB)＋AD(xC－xA)＝AD(xC－xB)＝×3×(7－2)＝．
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