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课时分层训练(六)　实际问题与二次函数
知识点一　面积问题
1．用总长为a m的材料做成如图(1)所示的矩形窗框，设窗框的宽为x m，窗框的面积为y m2，y关于x的函数图象如图(2)，则a的值是(　B　)
第1题图
A．16 B．12
C．8 D．4
2．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(　B　)
A．50 m2 B．49 m2
C．46 m2 D．48 m2
3．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设直角三角形的一条直角边长为x，则另一条直角边长为(20－x)，其面积为y，则y＝x·(20－x)＝－x2＋10x＝－(x－10)2＋50．
因为－<0，
所以当x＝10时，面积y取最大值，y最大＝50．
知识点二　利润问题
4．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，当销售单价定为13.5元时，销售量是500件，而销售单价每降低1元就可多售出200件．若销售单价为x元时，获得的利润为y元，则y关于x的函数解析式为(　D　)
A．y＝(6－x)(500＋x)
B．y＝(13.5－x)(500＋200x)
C．y＝(6－x)(500＋200x)
D．y＝(x－7.5)[500＋200(13.5－x)]
5．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价定为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大．
6．某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数y＝－x＋26．
(1)求这种产品第一年的利润w1(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
(2)如果该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？
(3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润w2至少为多少．
解：(1)w1＝(x－6)(－x＋26)－80＝－x2＋32x－236．
(2)由题意，得20＝－x2＋32x－236，
解得x1＝x2＝16．
答：该产品第一年的售价是16元．
(3)由题意，可知销售量无法超过12万件，即－x＋26≤12，解得x≥14．∴14≤x≤16．
w2＝(x－5)(－x＋26)－20＝－x2＋31x－150，
∴抛物线的对称轴为x＝15.5．
又∵14≤x≤16，
∴当x＝14时，w2有最小值，最小值为88万元．
答：该公司第二年的利润w2至少为88万元．
知识点三　抛物线形问题
7．如图，若被击打的小球飞行高度h(单位： m)与飞行时间t(单位： s)满足函数关系h＝24t－4t2，则小球从飞出到落地所用的时间为(　D　)
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
8．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A处的水平距离为1 m处达到最高点C，高度为3 m，水柱落地点D距离池中心A处4 m，则水管的顶端B距离水面的高度AB为(　D　)
A．2 m　B． m　C． m　D． m
9．如图，某大学的校门是一个抛物线形的水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面4 m高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6 m．求校门的高．(结果精确到0.1 m，水泥建筑物厚度忽略不计)
解：以大门地面为x轴、以它的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则抛物线过(－4，0)，(4，0)，(－3，4)三点．
∵抛物线关于y轴对称，∴设解析式为y＝ax2＋c．∴
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋．
∴抛物线的顶点坐标为，
即校门的高为 m≈9.1 m．
10．已知学校航模组设计制作的火箭升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是(　C　)
A．点火后1 s和点火后3 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．火箭升空的最大高度为145 m
D．点火后10 s的升空高度为139 m
11．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙(墙足够长)，其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为50 m，门宽为2 m．这个矩形花圃的最大面积是(　C　)
A．169 m2 B．288 m2
C．338 m2 D．312.5 m2
12．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位： m)．有下列结论：
①AB＝24 m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝x2－5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8 m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的．其中，正确的是(　B　)
A．①② B．②④
C．③④ D．①④
13．如图，利用135°的墙角修建一个梯形的储料场，并使∠C＝90°．如果新建的墙BCD总长为24 m，那么当BC＝ 16 m 时，储料场的面积最大．
14．一名女生投掷实心球，实心球行进的路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)根据体育考试(女生)评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分？请说明理由．
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝a(x－3)2＋3．
把代入解析式，得＝a(0－3)2＋3，解得a＝－．
∴y＝－(x－3)2＋3．
(2)该女生在此项考试中得满分．理由如下：
令y＝0，即－(x－3)2＋3＝0，
解得x1＝7.5，x2＝－1.5(不合题意，舍去)．
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5 m，大于6.70 m．
∴该女生在此项考试中得满分．
15．某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ和Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图(1)，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m 的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长；
(2)方案二：如图(2)，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问：BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
(1)
(2)
第15题图
解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)，
∴Ⅰ和Ⅱ两块矩形的面积和为12×3＝36(m2)．
设水池的长为a m，
则水池的面积为a×1＝a(m2)．
∴36－a＝32，解得a＝4．
∴DG＝4 m．
∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)，
即CG的长为8 m，DG的长为4 m．
(2)设BC的长为x m，则CD的长为(21－3x)m，
总种植面积为(21－3x) x＝－3(x2－7x)＝－3＋．
∵－3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值，最大面积为 m2，
即BC应设计为 m，此时总种植面积最大，最大面积为 m2．
【创新运用】
16．某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品(销量＝产量)，年销量不超过30万件．年销量y(万件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图(1)所示．为提高该产品的竞争力，投入研发费用P万元(计入成本)，P与x之间的函数关系如图(2)所示，AB是一条线段，BC是抛物线P＝－4x＋m的一部分．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当售价为多少时年利润最大？最大利润是多少？
(1)
(2)
第16题图
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b．
把(5，30)，(15，10)代入，
得解得
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋40(5≤x≤15)．
(2)由题意，得当5≤x≤10时，P＝60．
设年利润为w，
则w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－60＝－2x2＋50x－260．
∵－2＜0，5≤x≤10，对称轴为x＝12.5，
∴当5≤x≤10时，w随x的增大而增大．
∴当x＝10时，w最大，最大值为40．
当10≤x≤15时，P＝x2－4x＋m．
把x＝10，P＝60代入P＝x2－4x＋m，得60＝×102－4×10＋m，
解得m＝75．
∴P＝x2－4x＋75．
∴w＝(x－5)y－P＝(x－5)(－2x＋40)－＝－x2＋54x－275＝＋49．
∵－＜0，10≤x≤15，
∴当x＝12时，w有最大值，最大值为49．
综上所述，当x＝12时，年利润w最大，最大利润为49万元．
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