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第二十二章成果展示
二次函数
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列函数是二次函数的是(　D　)
A．y＝
B．y＝(x＋3)2－x2
C．y＝
D．y＝x(x－1)
2．抛物线y＝－2(x＋1)2－3的对称轴是(　B　)
A．直线x＝1 B．直线x＝－1
C．直线x＝3 D．直线x＝－3
3．若抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为(　B　)
A．－ B．
C．－4 D．4
4．下列选项中，与y＝2(x－1)2＋3的形状相同的抛物线的解析式为(　D　)
A．y＝1＋x2
B．y＝(2x＋1)2
C．y＝(x－1)2
D．y＝2x2
5．如图，在平面直角坐标系中，有四条抛物线，其中，二次项系数的绝对值最小的是(　C　)
A．y1 B．y2
C．y3 D．y4
6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列结论错误的是(　B　)
A．函数有最小值
B．当－1＜x＜2时，y＞0　
C．a＋b＋c＜0
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到抛物线y＝－(x－2)2＋3，则原抛物线的解析式为(　A　)
A．y＝－(x＋1)2＋1
B．y＝－(x－1)2－1　
C．y＝－x2
D．y＝－(x－5)2＋5
8．经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为(　B　)
A．10 B．12
C．13 D．15
解析：∵经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点，
∴＝－，Δ＝b2－4×(－b2＋2c)≥0．
∴b＝c＋1，b2－4c≤0．
∴(c＋1)2－4c≤0．
∴(c－1)2≤0．
∴c－1＝0，
解得c＝1．
∴b＝c＋1＝2．
∴AB＝|(4b＋c－1)－(2－3b)|
＝|4b＋c－1－2＋3b|
＝|7b＋c－3|
＝|7×2＋1－3|
＝|14＋1－3|
＝12．
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，下列结论正确的有(　A　)
①abc＜0；②b2－4ac＜0；③2a＞b；④(a＋c)2＜b2．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第9题图　　　 　第10题图
10．如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点、水平直线OB为x轴建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，且AC⊥x轴．若OA＝10 m，则桥面离水面的高度AC为(　B　)
A．16 m B． m
C．16 m D． m
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为 y＝(x－2)2＋1 ．
12．经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是 y＝－x2＋x＋3 ．
13．已知点＋3，y3) 都在函数 y＝－(x＋4)2 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是y1＞y2＞y3．
14．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝x2与y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是 8 ．
　
第14题图　　　　 第15题图
15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＝0的根为 x1＝0，x2＝－3 ．
16．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)的总长为27 m，则能建成的饲养室的面积最大为 75 m2．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)已知二次函数的解析式是y＝x2－2x－3．
(1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标以及它的顶点坐标；
(2)根据(1)的结果在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．
解：(1)令y＝0，则x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3．
令x＝0，则y＝－3．
即抛物线y＝x2－2x－3与x轴交点的坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴交点的坐标为(0，－3)．
由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
可得其顶点坐标为(1，－4)．
(2)列表如下．
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
画出抛物线如图．
18．(8分)设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，且a，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … －1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m＝4．
①求二次函数的解析式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
(2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
解：(1)①由题意，得
解得
∴二次函数的解析式是y＝x2－2x＋1．
②∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1．
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
(2)∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1．
∴(1，n)是顶点，(－1，m)和(3，p)关于对称轴对称．
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0．
∵－＝1，∴b＝－2a．
∴二次函数为y＝ax2－2ax＋1．
∴m＝a＋2a＋1≤0．
∴a≤－．
19．(8分)已知二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数)．
(1)请写出该二次函数的三条性质；
(2)在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围．
解：(1)∵二次函数y＝x2－4x＋3a＋2＝(x－2)2＋3a－2，∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，3a－2)，有最小值3a－2．(答案不唯一)
(2)令x2－4x＋3a＋2＝2x－1．
整理，得x2－6x＋3a＋3＝0．
∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，
∴方程x2－6x＋3a＋3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根．
∴
解得≤a<2．
∴a的取值范围为≤a＜2．
20．(10分)如图，抛物线 y＝a(x＋1)2 的顶点为点A，与y轴的负半轴交于点B，且 S△AOB＝．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若C是抛物线上A，B两点之间的一点，当S△ABC 最大时，求点C的坐标．
解：(1)由题意，得A(－1，0)，B(0，a)，
∴OA＝1，OB＝－a．
∵S△AOB＝，
∴×1×(－a)＝，
解得a＝－1．
∴抛物线的函数解析式为y＝－(x＋1)2．
(2)∵A(－1，0)，B(0，－1)，
∴AB所在直线的函数解析式为y＝－x－1．
如图，在抛物线上A，B两点之间任取一点C，过点C作CD⊥x轴，交AB于点D．
设C[x，－(x＋1)2]，则D(x，－x－1)，
∴CD＝－(x＋1)2＋x＋1．
∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝ [－(x＋1)2＋x＋1]×1，
∴S△ABC＝－＋．
∵－＜0，
∴当x＝－时，S△ABC最大，此时点C的坐标为．
21．(12分)某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月的销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获得利润1 800 元？
(3)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)由题意，得y＝80＋20×＝－2x＋200，
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋200(30≤x≤60)．
(2)由题意，得(x－30)(－2x＋200)－450＝1 800，解得x1＝55，x2＝75(舍去)．
∴当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获得利润 1 800 元．
(3)设每月获得的利润为w元．由题意，得
w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2 000．
∵－2＜0，
∴当x<65时，w随x的增大而增大．
∵30≤x≤60，
∴当x＝60时，w最大，w最大＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950．
∴当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1 950元．
22．(12分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2kx＋k2＋k图象的对称轴为直线x＝k，且k≠0，顶点为P．
(1)求a的值；
(2)求顶点P的坐标；(用含k的式子表示)
(3)已知A(0，1)，B(2，1)，若函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点，写出k的取值范围．
解：(1)∵二次函数y＝ax2－2kx＋k2＋k图象的对称轴为直线x＝k，
∴－＝k．∴a＝1．
(2)把a＝1代入y＝ax2－2kx＋k2＋k，
得y＝x2－2kx＋k2＋k．
当x＝k时，y＝k2－2k2＋k2＋k＝k，
∴顶点P的坐标为(k，k)．
(3)∵函数y＝ax2－2kx＋k2＋k＝x2－2kx＋k2＋k＝(x－k)2＋k，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝k，顶点坐标为(k，k)．
∵A(0，1)，B(2，1)，
∴①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与线段AB没有公共点，则函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB没有公共点；
②当k＝1时，顶点(1，1)在线段AB上，即函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点；
③当k＜0时，则x＝k＋1或x＝k－1时，y＝1＋k＜1，函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象在线段AB下方，没有公共点；
④当0＜k＜1时，若函数图象过点A(0，1)，则k2＋k＝1，解得k＝＜0(舍去)或k＝．
∵0＜＜1，
∴根据抛物线的对称性知，当≤k＜1时，函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB有两个公共点；当0＜k＜时，函数y＝ax2－2kx＋k2＋k(k－1≤x≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点．
综上所述，若函数y＝≤k＋1)的图象与线段AB恰好有一个公共点，则09 / 9

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