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第二十三章成果展示
旋转
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．点(－1，2)关于原点的对称点的坐标是(　B　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(1，2) D．(2，－1)
2．将数字“6”旋转180°得到数字“9”；将数字“9”旋转180°得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(　B　)
A．96 B．69
C．66 D．99
3．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　C　)
A B C D
4．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是(　A　)
A．O1 B．O2
C．O3 D．O4
5．已知点P(a－3，2－a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(　C　)
A　　　　　　B
C 　　 　　　 D
6．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在边BC上时，CD的长为(　A　)
第6题图
A．1.6 B．1.8
C．2 D．2.6
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为点E，连接BE，下列结论一定正确的是(　D　)
第7题图
A．AC＝AD B．AB⊥EB
C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC
8．如图，点O是 ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为(　C　)
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．无法确定
第8题图　　　　　　　第9题图
9．如图，将斜边长为4的直角三角尺放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角尺绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是(　B　)
A．(，1) B．(1，－)
C．(2，－2) D (2，－2)
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(－7，10)，将△ABC绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则旋转2 024次后，点A的坐标为(　C　)
A．(7，－10) B．(10，－7)
C．(－7，10) D．(－10，－7)
解析：当△ABC绕着原点O旋转时，△ABC上的每一个点都绕着点O旋转了相同的角度，
则将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′．
如图，过点A作x轴的垂线，垂足为N，过点A′作y轴的垂线，垂足为M．
∵∠AOA′＝90°，
∴∠AOM＋∠A′OM＝90°．
又∵∠AOM＋∠AON＝90°，
∴∠AON＝∠A′OM．
在△AON和△A′OM中，
∴△AON≌△A′OM(AAS)．
∴MO＝NO，A′M＝AN．
又∵点A的坐标为(－7，10)，
∴AN＝10，NO＝7．
∴MO＝7，A′M＝10，
即点A′的坐标为(10，7)．
再继续旋转，点A的坐标依次为(7，－10)，(－10，－7)，(－7，10)，…．
由此可见，点A的坐标按(10，7)，(7，－10)，(－10，－7)，(－7，10)循环出现，
∵2 024÷4＝506，
∴旋转2 024次后，点A的坐标为(－7，10)．
故选C．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．在圆、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形六个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 平行四边形 ．
12．在如图的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是 90° ．
　　
第12题图　　　　第13题图
13．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中A′与A是对应点，B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B．若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为 ．
14．若将等腰直角三角形AOB按如图的位置放置，OB＝2，则点A 关于原点对称的点的坐标为 (－1，－1) ．
15．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为 12 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长为 2 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)如图，已知A(－2，－1)，B(－5，－5)，C(－2，－3)，P(－6，0)．
(1)将△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标： (－3，4) ；
(2)画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标： (2，1) ；
(3)把△A2B2C2向下平移6个单位长度得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，由图可知△A3B3C3可由△A1B1C1绕点Q逆时针旋转90°得到，则点Q的坐标为 (3，3) ．
解：(1)(2)(3)图略
18．(6分)如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
(1)在图(1)中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
(2)在图(2)中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图(3)中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
(1)　　　　　　　 (2)
(3)
第18题图
解：(1)图(1)：平行四边形(画法不唯一)．
(2)图(2)：等腰梯形(画法不唯一)．
(3)图(3)：正方形(画法不唯一)．
(1)　 　 　(2)　 　 　　(3)
第18题解图
19．(10分)如图，A，B为x轴上的两点，以AB为边作矩形ABCD，且点A，C的坐标分别为(－8，0)，(－2，4)，现将矩形ABCD向右平移4个单位长度后，再向上平移个单位长度得到矩形EFGH．
(1)若a＝4，请求出点H的坐标；
(2)若将矩形ABCD与矩形EFGH理解为关于点P中心对称，且点P的坐标为(－3，m)，求m的值．(用含a的代数式表示)
解：(1)∵a＝4，∴＝2．
∵将点A(－8，0)向右平移4个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为(－4，2)．
∵点C(－2，4)向右平移4个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到点G，∴点G的坐标为(2，6)．∴点H的坐标为(－4，6)．
(2)如图，连接AG，DF，它们的交点为P．
由题意有A(－8，0)，G，
∴AG的中点P的坐标为．
∵点P的坐标为(－3，m)，
∴m＝2＋＝．
20．(10分)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，B，C，D三点恰好在同一条直线上．
(1)判断△ACE的形状；
(2)连接CE，若CE⊥BD，求∠BAC的度数．
解：(1)∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，
∴AC＝AE，∠CAE＝140°．
∴△ACE是顶角为140°的等腰三角形．
(2)∵△ABC绕点A逆时针旋转140°得到△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE＝140°，AB＝AD，AC＝AE．
∴∠ABC＝∠ADB＝(180°－∠BAD)＝×(180°－140°)＝20°．
同理可得∠ACE＝∠AEC＝20°．
∵CE⊥BD，
∴∠ECB＝90°．
∴∠ACB＝∠ECB－∠ACE＝90°－20°＝70°．
在△ABC中，∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－20°－70°＝90°，
即∠BAC的度数为90°．
21．(12分)如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
(1)哪两个图形成中心对称？
(2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
(3)已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
解：(1)图中△ADC和△EDB成中心对称．
(2)∵△ADC和△EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4．
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4．
∴△ABE的面积为8．
(3)如图，连接CE，
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)．
∴AB＝EC．
∵在△ACE中，EC－AC∴AB－AC＜AE＜AC＋AB．
∴2＜AE＜8．∴1＜AD＜4．
22．(12分)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E．
(1)如图(1)，若点E恰好在边AC上，求∠ADE的度数；
(2)如图(2)，若α＝60°，F是边AC的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形．
(1)　 　　　　　　(2)
第22题图
(1)解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在边AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠ACB＝30°，
∠DEC＝∠ABC＝90°．
∴∠CAD＝∠CDA＝×(180°－30°)＝75°．
∴∠ADE＝90°－75°＝15°．
(2)证明：如图，连接AE．
∵α＝60°，
∴∠ACD＝60°．
∵∠DCE＝∠ACB＝30°，
∴∠ACE＝30°．
又∵CA＝CD，CE＝CE，
∴△CEA≌△CED(SAS)．
∴∠AEC＝∠DEC＝90°，
即A，E，D三点共线．
∵F是边AC的中点，∴BF＝AC．
∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC．
∴BF＝AB．
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB．
∴DE＝BF，△ACD和△BCE都是等边三角形．
∴BE＝CB．
∵F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC．
易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC．
∴DF＝BE．
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
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