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综合质量评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分)第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上产生重要影响．下列图形：“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”．其中，中心对称图形是(　D　)
2．已知关于x的方程(a－3)x|a-1|＋x－1＝0是一元二次方程，则a的值是(　A　)
A．－1 B．2
C．－1或3 D．3
3．若1－是关于x的方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为(　A　)
A．－2 B．4－2
C．3－ D．1＋
4．用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是(　D　)
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25 D．(x＋4)2＝7
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax－b和二次函数y＝－ax2－b的大致图象是(　A　)
A　　　　　　B
C　　　 　　　D
6．抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(　C　)
A．0 B．1
C．2 D．3
7．若一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根分别为x1，x2，则3x2＋x1x2－2的值是(　D　)
A．10 B．9
C．8 D．7
8．二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是(　C　)
A．a＝4
B．当b＝－6时，顶点的坐标为(2，－10)
C．b＞－5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
第8题图 第10题图
9．若一个等腰三角形的一边长为2，它的另外两条边的长是关于x的一元二次方程 x2－6x＋k＝0 的两个实数根，则k的值是(　B　)
A．8 B．9
C．8或9 D．12
10．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　B　)
A．(－1，2＋) B．(－，3)
C．(－，2＋) D．(－3，)
11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现给出以下结论：①abc＜0；②c＋2a＜0；③9a－3b＋c＝0；④a－b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤4ac－b2＜0．其中，错误的结论有(　A　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值为(　A　)
A．2 B．2
C．3 D．
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为 y＝2(x＋1)2－2 ．
14．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩．设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 301(1＋x)2＝500 ．
15．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是 x1＝－2，x2＝5 ．
16．已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或－ ．
17．如图，△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，BD＝DC＝2，以D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 8 ．
　　　
第17题图　 　 第18题图
18．如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 18 cm2．
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(8分)解方程：
(1)x2－1＝3x＋3；
(2)x2＋2x－5＝0．
解：(1)原式变形为(x＋1)(x－1)－3(x＋1)＝0．
因式分解，得(x＋1)(x－4)＝0，
即x＋1＝0或x－4＝0，
解得x1＝－1，x2＝4．
(2)∵a＝1，b＝2，c＝－5，
∴Δ＝22－4×1×(－5)＝24＞0，
则x＝＝－1±．
∴x1＝－1＋，x2＝－1－．
20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点的坐标；
(2)画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°所得的△A2B2C1．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1)．
(2)如图，△A2B2C1即为所求．
21．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋4m＋1＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋4m＋1＝0有实数根，
∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，
解得m≤2．
(2)∵方程x2－6x＋4m＋1＝0的两个实数根分别为 x1，x2，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1．
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42＝16，
即32－16m＝16，解得m＝1．
22．(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α，与边AB，CD分别相交于点E，F(点E不与点A，B重合)．
(1)求证：四边形EHFG是平行四边形；
(2)若α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
(1)证明：∵对角线AC的中点为O，
∴AO＝CO．
∵AG＝CH，
∴GO＝HO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB．
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA．
∴△COF≌△AOE(ASA)．∴FO＝EO．
又∵GO＝HO，
∴四边形EHFG是平行四边形．
(2)解：如图，连接CE．
∵α＝90°，∴EF⊥AC．
∵AO＝CO，
∴EF是AC的垂直平分线．∴AE＝CE．
在Rt△BCE中，CE2＝BC2＋BE2，
即AE2＝9＋(9－AE)2，解得AE＝5．
23．(10分)某农场准备利用如图所示的直角墙角(两边足够长)，用60 m长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场MNPQ(篱笆只围PQ，PN两边)，并在PQ，PN两边上各开一个1 m宽的门，设PQ＝x m，养殖场的面积为S m2．
(1)求S关于x的函数解析式．
(2)求S的最大值．
(3)若在直角墙角内的A处有一个水池，且与墙MQ，MN的距离分别是10 m，20 m，要将这个水池围在矩形养殖场内(含边界，不考虑水池的尺寸)，则养殖场的面积能否为600 m2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
解：(1)依题意，得PN＝60－(x－1)＋1＝(62－x)m，
∴S＝x(62－x)＝－x2＋62x．
∴S关于x的函数解析式为S＝－x2＋62x．
(2)S＝－x2＋62x＝－(x－31)2＋961．
∵a＝－1＜0，
∴当x＝31时，S最大，
即S最大＝961．
(3)能．若养殖场的面积为600 m2，
则－x2＋62x＝600，
解得x1＝12，x2＝50．
根据题意，易知x≥10，且62－x≥20，
∴10≤x≤42．
∴当x＝12时，养殖场的面积为600 m2．
24．(10分)阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式变形为a(x＋m)2＋n的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式ax2＋bx＋c(a≠0)的配方法．
如：求代数式x2＋4x＋6的最小值．
解：原式＝x2＋4x＋4＋2＝(x＋2)2＋2．
∵(x＋2)2≥0，
∴当x＝－2时，x2＋4x＋6有最小值，最小值是2．
根据材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式x2－6x＋12的最小值；
(2)若y＝－x2＋2x－3，当x＝ 1 时，y有最 大 (填“大”或“小”)值，这个值是 －2 ；
(3)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数．
(1)解：原式＝x2－6x＋9－9＋12
＝(x－3)2＋3．
∵(x－3)2≥0，
∴当x＝3时，x2－6x＋12有最小值，最小值是3．
(3)证明：x2＋y2－4x＋2y＋6
＝x2－4x＋4＋y2＋2y＋1＋1
＝(x－2)2＋(y＋1)2＋1．
∵(x－2)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴(x－2)2＋(y＋1)2＋1＞0．
∴无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－4x＋2y＋6的值总为正数．
25．(12分)小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售 200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：销售单价不能超过 12元．设该纪念品的销售单价为x(单位： 元)，日销量为y(单位： 件)，日销售利润为w(单位： 元)．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
(3)求w关于x的函数解析式．当x为何值时，日销售利润最大？请求出最大利润．
解：(1)根据题意，得y＝200－10(x－8)＝－10x＋280．
故y关于x的函数解析式为y＝－10x＋280．
(2)根据题意，得w＝(x－6)(－10x＋280)＝720，
解得x1＝10，x2＝24(不合题意，舍去)．
∴要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元．
(3)根据题意，得w＝(x－6)(－10x＋280)＝－10(x－17)2＋1 210．
∵－10＜0，
∴当x＜17时，w随x的增大而增大．
∴当x＝12时，日销售利润最大，w最大＝960．
故w关于x的函数解析式为w＝－10(x－17)2＋1 210；
当x为12时，日销售利润最大，最大利润为960元．
26．(12分)如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x＝－1且经过点A(－3，0)，∴由抛物线的对称性可知抛物线还经过点(1，0)．
设抛物线的函数解析式为y＝a(x－1)(x＋3)．
把B(0，3)代入，得3＝－3a，
∴a＝－1．
故抛物线的函数解析式为y＝－x2－2x＋3．
(2)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b．
∵A(－3，0)，B(0，3)，
∴解得
故直线AB的函数解析式为y＝x＋3．
如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点M．
设－2x＋3)，
则M(x，x＋3)．
∴PM＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x．
∴S△PAB＝(－x2－3x)×3＝－＋．
∵－<0，
∴当x＝－时，S△PAB有最大值，S最大＝．
此时y＝－－2×＋3＝，
∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为．
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