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课时分层训练(十)　圆的有关性质
知识点一　垂径定理及其推论
1．高速公路上隧道和桥梁很多，如图是一个隧道的纵截面．若它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8 m，净高CD＝8 m，则此圆的半径OA＝(　A　)
A．5 m B． m
C．6 m D． m
2．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．若OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　D　)
A．8 B．12
C．15 D．16
3．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C．若AB＝4，BC＝1，则圆环的面积是 5π ．
知识点二　弧、弦、圆心角之间的关系
4．如图，在⊙O中，∠AOB＝100°，C是的中点，则∠AOC的度数为(　A　)
A．50°　 B．80°　
C．100°　 D．200°
5．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是(　A　)
A．OA＝OB＝AB
B．∠AOB＝∠COD
C．＝
D．点O到AB，CD的距离相等
知识点三　圆周角定理及其推论
6．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(　D　)
A．25° B．27.5°
C．30° D．35°
7．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为(　C　)
A．35° B．45°
C．55° D．65°
8．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于(　D　)
A．2 B．
C．2 D．
9．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD．求证：DB平分∠ADC．
证明：∵AB＝BC，
∴＝．
∴∠ADB＝∠BDC．
∴DB平分∠ADC．
知识点四　圆内接四边形的性质
10．如图，点B，C，D在⊙O上．若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是(　D　)
A．50° B．60°
C．80° D．100°
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是 AB∥CD ．
12.如图，在⊙O中，AB是直径，点C，D，E在圆上，AC＝2，AD＝6，AE＝8，AB＝10．下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中，正确的结论有(　B　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝30°，则CD的长为(　D　)
A． B．
C．2 D．2
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°．若AB＝2，CD＝1，则AD的长为(　C　)
A．2－2　B．3－　C．4－　D．2
15．如图，△ABC的顶点在⊙O上．若∠ABC＝45°，AC＝，则⊙O的半径是 1 ．
16．如图，AB为⊙O的直径，半径OC∥弦BD，判断与是否相等，并说明理由．
解：相等．理由如下：
如图，连接OD．
∵OC∥BD，
∴∠AOC＝∠B，∠COD＝∠D．
∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B．
∴∠AOC＝∠COD．
∴＝．
17．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°．求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°．
∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°．
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°．
∴AB＝2AO＝8．
∴⊙C的半径为4．
18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且D为边BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
(1)证明：如图，连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
又∵AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC．
∴△ABC为等边三角形．
(2)解：如图，连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°．
∴BE⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
又∵D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AB＝×2＝1．
【创新运用】
19．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
解：(1)△BDE为等腰直角三角形．证明如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠CBD＋∠EBC，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°．
∴△BDE是等腰直角三角形．
(2)如图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F．
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，
∴BD＝DC．
∵OB＝OC,
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5－t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52－t2＝－(5－t)2，
解得t＝3．∴BF＝4．∴BC＝8．
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