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课时分层训练(十二)　正多边形和圆
知识点一　认识正多边形
1．下面图形中，是正多边形的是(　C　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是(　B　)
A．240° B．120°
C．60° D．30°
3．若某纪念币的形状可近似看为正七边形，则一个内角的度数为．(不取近似值)
知识点二　与正多边形有关的计算
4．如图，圆内接正六边形ABCDEF的周长为12 cm，则该正六边形的内切圆半径为(　A　)
A． cm B．2 cm
C．2 cm D． cm
第4题图 第5题图
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P为 上的一点，则∠APC的度数为(　D　)
A．36° B．60°
C．65° D．72°
6．若正方形的外接圆半径为2，则其内接圆半径为(　A　)
A． B．2
C． D．1
7．如图，在正六边形ABCDEF中，若对角线AC，BD相交于点M，则的值为 2 ．
第7题图 　　　第8题图
8．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 1＋ ．(结果保留根号)
9．如图，正方形、正六边形的边长相等，在同一平面内将两个多边形的一边重合，那么∠α的度数为 30° ．
10．如图，正五边形ABCDE和正三角形APQ都内接于⊙O，则的度数为 24° ．
11．已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的半径是R，求正六边形的边长a和面积S．
解：画示意图如图，作半径OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H．
∴∠AOH＝＝30°．
∴AH＝R．
∴a＝2AH＝R．由勾股定理，
可得OH2＝R2－，
∴OH＝R．
∴S＝a·OH×6＝R·R·6＝R2．
知识点三　正多边形的画法
12．如图(1)是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图(2)，AE是⊙O的直径，请你用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH．(不写作法，保留作图痕迹)
(1)
　
(2)
第12题图
解：如图所示，正八边形ABCDEFGH即为所求．
13．如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
　
　
解：如图所示．
(方法一) (方法二)
(方法三) (方法四)
方法一：①用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；
②连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法二：①用量角器画圆心角∠BOC＝120°；
②在⊙O上用圆规截取 ＝＝；
③连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．
方法三：①作直径AD；
②以点D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于点B，C；
③连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
方法四：①作直径AE；
②作半径OE的垂直平分线MN，交⊙O于点B，C；
③连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．
14．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为(　C　)
A． B．3
C．2 D．6
15．如图，点O是正方形AB′C′D′和正五边形ABCDE的中心，连接AD，CD′交于点P，则∠APD′的度数为(　B　)
A．72° B．81°
C．76° D．80°
16．如图，边长为6的正方形ABCD内接于⊙O，E是 上的一动点(不与点A，B重合)，F是 上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°．有以下结论：
①OG＝OH；
②△GBH周长的最小值为6＋2；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积始终为9．
其中，正确的是 ①③ ．(填序号)
17．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．
(1)正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为 ∶1 ．
(2)若连接BE，则BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．
解：(1)设⊙O的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的边长之比为R∶R＝∶1．
故答案为∶1．
(2)BE是⊙O的内接正十二边形的一边．理由如下：
如图，连接OA，OB，OE，BE．
在正方形ABCD中，∠AOB＝90°．
在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝30°．
∵n＝＝12，
∴BE是⊙O的内接正十二边形的一边．
18．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5，求正方形ABCD的外接圆的半径．
解：如图，连接AC，则AC是该圆的直径，延长AE交⊙O于点G，连接CG，则∠AGC＝90°．
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∴四边形EFCG是矩形．
∴EG＝FC＝5，CG＝EF＝4．
∴AG＝8．
由勾股定理，得AC＝＝4，
∴正方形外接圆的半径为2．
【创新运用】
19．如图，在图(1)，(2)，(3)，…，(n)中，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON．
(1)求图(1)中∠MON的度数；
(2)图(2)中∠MON的度数是 90° ，图(3)中∠MON的度数是 72° ；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
(1)　　　(2)　　　 (3)　　　　(n)
第19题图
解：(1)如图，连接OB，OC．
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°．
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS)．
∴∠BOM＝∠CON．
∴∠MON＝∠BOC＝120°．
(3)∠MON＝．
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