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专项突破提升(二)　规律探究的常见类型
(时间：90分钟　满分：110分)
类型一　数字规律探究
1．(4分)按一定规律排列的单项式：2a，－4a，8a，－16a，32a，…，则第n个单项式是(　D　)
A．2na B．(－2)na
C．－2na D．－(－2)na
2．(4分)观察下列等式：
70＝1；
71＝7；
72＝49；
73＝343；
74＝2 401；
75＝16 807；
……
根据其中的规律可得72 024的个位数字是(　D　)
A．9 B．7 C．3 D．1
3．(4分)如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数1，2，3，4，5，6，7，…，则数“2 024”在(　B　)
A．射线OA上 B．射线OB上
C．射线OC上 D．射线OF上
4．(4分)如图，观察“田”字中各数之间的关系，可知c的值为 270 ．
类型二　数字循环类规律探究
5．(4分)数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫作三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2……第n个三角形数记为an，推算a6＋a7＝ 49 ；a399＋a400＝ 160 000 ．
6．(4分)已知下列按一定规律排列的一组数：3，5，9，17，…，用含字母n(n为正整数)的代数式表示第n个数为 2n＋1 ．
7．(4分)观察下列等式：
21＝2；22＝4；
23＝8；24＝16；
25＝32；26＝64；
……
根据这个规律，21＋22＋23＋24＋25＋…＋22 024的末尾数字是 0 ．
类型三　数式规律探索
8．(4分)将一些数按如下规律排列：
　　　　第一列 第二列 第三列 第四列 第五列　……
第一行 　　1
第二行　　 4　　　7
第三行　　10　　 13　　 16
第四行　　19　　 22　　 25　　 28
第五行　　 31　　 34　　 37　　 40　　43
……
则第20行第8列的数为(　D　)
A．568 B．574 C．586 D．592
9．(4分)“杨辉三角形”是古代重要的数学成就．如图是三角形数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为(　D　)
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
1　5　10　10　5　1
……
A．528 B．1 020 C．1 038 D．1 040
10．(4分)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行　　　　　　　1
第2行　　 　　　2　3　4
第3行　　　　9　8　7　6　5
第4行　　 10 11 12 13 14 15 16
第5行　25 24 23 22 21 20 19 18 17
……
则第46行左起第3个数是 2 028 ．
类型四　等式规律探究
11．(10分)观察下列关于自然数的等式：
2×4－12＋1＝8；
3×5－22＋1＝12；
4×6－32＋1＝16；
5×7－42＋1＝20；
……
利用等式的规律，解答下列问题：
(1)若等式8×10－a2＋1＝b(a，b都为自然数)具有以上规律，则a＝ 7 ，a＋b＝ 39 ；
(2)写出第n个等式．(用含n的代数式表示)
解：(1)因为2×4－12＋1＝8；
3×5－22＋1＝12；
4×6－32＋1＝16；
5×7－42＋1＝20；
……
所以第7个等式为8×10－72＋1＝4×(7＋1)＝32，
所以a＝7，b＝32.
所以a＋b＝7＋32＝39.
故答案为7；39.
(2)由已知等式的规律可知，第n个等式为(n＋1)(n＋3)－n2＋1＝4(n＋1)．
12．(12分)观察下列等式：
①1×4－22＝0；
②2×5－32＝1；
③3×6－42＝2；
……
根据上述式子的规律，解答下列问题：
(1)第④个等式为 4×7－52＝3 ；
(2)写出第n个等式．(不化简)
解：(2)由已知等式的规律可知，
第n个等式为n(n＋3)－(n＋1)2.
13．(12分)观察下列等式：
－1×＝－1＋；
－＝－；
－＝－；
……
(1)你能探索出什么规律？(用文字或表达式)
(2)试运用你发现的规律计算：
＋…＋－＋－．
解：(1)－＝－.
(2)根据发现的规律可得，
原式＝－1＋＋…＋
＝－1＋
＝－.
14．(12分)观察下列等式：
12×231＝132×21；
13×341＝143×31；
23×352＝253×32；
34×473＝374×43；
62×286＝682×26；
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
①52× 275 ＝ 572 ×25；
② 63 ×396＝693× 36 ．
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并验证．
解：(1)①因为5＋2＝7，
所以左边的三位数是275，右边的三位数是572.
所以52×275＝572×25.
②因为左边的三位数是396，
所以左边的两位数是63，右边的两位数是36.
63×396＝693×36.
故答案为①275；572.②63；36.
(2)因为左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
所以左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10(a＋b)＋a，
右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b.
所以一般规律的式子为(10a＋b)·[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]·(10b＋a)．
验证：左边＝(10a＋b)·[100b＋10(a＋b)＋a]
＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)
＝(10a＋b)(110b＋11a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]·(10b＋a)
＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)
＝(110a＋11b)(10b＋a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
所以左边＝右边．
类型五　图形累加型变化规律
15．(4分)某传统建筑的窗户上常有一些精致花纹，小辰对传统建筑非常感兴趣，他观察发现窗格的花纹排列呈现一定的规律．如图，其中“”代表的就是精致的花纹，第1个图有5个花纹，第2个图有8个花纹，第3个图有11个花纹……则第7个图的精致花纹的个数为(　B　)
A．26 B．23 C．20 D．17
16．(4分)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成……按此规律排列下去，则第n个图案中基础图形的个数为 3n＋1 ．(用含n的代数式表示)
17．(4分)如图，每个图形均由边长相等的灰、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图形中白色正方形比灰色正方形多 (4n＋3) 个．(用含n的代数式表示)
18．(4分)如图，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得 3 个锐角；画2条不同的射线，可得 6 个锐角；画3条不同的射线，可得 10 个锐角……照此规律，画n条不同的射线，可得 个锐角．
19．(4分)如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”……照此规律，图A6比图A2多出 60 个“树枝”．
20．(4分)如图，用小木棍摆成第1个图形所需要的小木棍的根数是4，摆成第2个图形所需要的小木棍的根数是12，摆成第3个图形所需要的小木棍的根数是24，按照此类图形的结构规律，摆成第4个图形所需要的小木棍的根数是 40 ，摆成第n个图形所需要的小木棍的根数是 2n2＋2n ．(用含n的代数式表示，结果可以不化简)
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