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专项突破提升(三)　线段与角度计算中的思想方法
(时间：90分钟　满分：140分)
类型一　利用逐段计算法求线段长
1．(4分)若已知线段AB的长为2 cm，延长线段AB到点C，使AC＝3AB，再反向延长线段AB到点D，使BD＝2BC，则线段CD的长度为 12 cm.
2．(8分)如图，已知线段AB＝12 cm，M是AB的中点，点N在AB上，NB＝2 cm，求线段MN的长．
解：因为AB＝12 cm，M是线段AB的中点，
所以BM＝AB＝6 cm.
又因为NB＝2 cm，
所以MN＝BM－NB＝6－2＝4(cm)．
类型二　利用方程思想计算线段长
3．(4分)如图，已知点B，C把线段AD分成2∶5∶3三部分，若E为AD的中点，CE＝6，则BE的长是 9 ．
4．(10分)如图，线段AB＝24，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x s.
(1) 6 s后，PB＝2AM；
(2)当点P在线段AB上运动时，试说明2BM－PB为定值；
(3)当点P在线段AB的延长线上运动时，N为BP的中点，求MN的长度．
解：(1)因为M为AP的中点，
所以AM＝AP＝x，
PB＝AB－AP＝24－2x.
因为PB＝2AM，
所以24－2x＝2x，
解得x＝6，
即6 s后，PB＝2AM.
故答案为6.
(2)易知AM＝x，BM＝24－x，PB＝24－2x，
所以2BM－PB＝2(24－x)－(24－2x)＝24，
即2BM－PB为定值24.
(3)当点P在线段AB的延长线上运动时，
易知PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24.
因为N为BP的中点，
所以PN＝PB＝x－12.
所以MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.
类型三　利用分类讨论思想求线段长
5．(4分)已知C是线段AB的三等分点，E是线段BC的中点．若CE＝6，则AB的长为(　A　)
A．18或36 B．18或24　
C．24或36 D．24或48
6．(4分)已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为(　C　)
A．3 B．7
C．3或7 D．5或7
类型四　利用整体思想求线段长
7．(12分)(1)如图，已知点C在线段AB上，线段AC＝10，BC＝6，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．
(2)根据(1)的计算过程与结果，设AC＋BC＝a，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？请用一句简洁的语言表达你发现的规律．
(3)若把(1)中的“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，结论又如何？
解：(1)因为M，N分别是AC，BC的中点，
所以CM＝AC＝5，CN＝BC＝3.
所以MN＝CM＋CN＝5＋3＝8.
(2)MN的长度为a.
规律：同(1)可得CM＝AC，CN＝BC，
所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝a，
即MN的长度等于AC与BC长度和的一半．
(3)①当点C在线段AB上时，则MN＝AC＋BC＝5＋3＝8.
②当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝AC－BC＝5－3＝2.
类型五　利用“化动为静法”求线段长
8．(4分)在数轴上点A对应的数为－2，B是数轴上的一个动点，当动点B到原点O的距离与到点A的距离之和为6时，则点B对应的数为 －4或2 ．
9．(12分)如图，A，B两点在数轴上，点A对应的数为－10，OB＝4OA，点M以每秒2个单位长度的速度从点A开始向左运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动．(点M和点N同时出发)
(1)数轴上点B对应的数是 40 ；线段AB的中点C对应的数是 15 ．
(2)经过几秒，点M，N到原点的距离相等．
(3)当点M运动到什么位置时，点M与点N相距20个单位长度？
解：(1)因为点A对应的数为－10，
所以OA＝10.
因为OB＝4OA，所以OB＝40.
所以数轴上点B对应的数是40，线段AB的中点C对应的数是15.
故答案为40；15.
(2)设经过x s，点M，N对应的数分别为－10－2x，40－3x.
根据题意可知，分两种情况：
①如图，当点M，N在点O两侧时，
则10＋2x＝40－3x，解得x＝6.
②如图，当点M，N在点O左侧且重合时，
则10＋2x＝3x－40，
解得x＝50.
综上，经过6 s或50 s，点M，N到原点的距离相等．
(3)设经过y s，则点M，N对应的数分别为－10－2y，40－3y，
①当点M在点N的左侧时，
则40－3y－(－10－2y)＝20，
解得y＝30.
此时点M，N对应的数分别为－70，－50，符合题意．
②当点N在点M的左侧时，
则－10－2y－(40－3y)＝20，
解得y＝70.
此时点M，N对应的数分别为－150，－170，符合题意．
所以当点M运动到－70或－150的位置时，点M与点N相距20个单位长度．
类型六　利用和差倍分关系求角度
10．(4分)如图，∠AOB＝90°，OA平分∠COD，OE平分∠BOD.若∠BOE＝23°，则∠BOC的度数是(　B　)
A．113° B．134°
C．136° D．144°
11．(4分)如图，已知OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON＝50°，∠BOC＝10°，则∠AOD＝ 90° ．(填度数)
类型七　利用方程思想求角度
12．(4分)如图，已知OM，OA，ON是∠BOC内的三条射线，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，且∠AOB＋∠MON＝120°，则∠MON＝ 40° ．(填度数)
13．(8分)如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB的度数是多少？
解：设∠COD的度数为x，
因为OD是∠COE的平分线，
所以∠COE＝2∠COD＝2x.
因为∠BOC比∠COD的2倍还多10°，
所以∠BOC＝2x＋10°.
因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x＋20°.
因为∠AOE＝140°，
所以2x＋4x＋20°＝140°，
解得x＝20°.
所以∠BOC＝2x＋10°＝50°.
所以∠AOB是50°.
14．(12分)如图，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA的位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB的位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°时，OC与OD同时停止旋转．
(1)当OC旋转10 s时，∠COD＝ 40° ；(填度数)
(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；
(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．
解：(1)当OC旋转10 s时，
因为射线OC绕点O从OA的位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，
所以∠AOC＝(4×10)°＝40°.
因为射线OD绕点O从OB的位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，
所以∠BOD＝(1×10)°＝10°.
所以∠COD＝90°－40°－10°＝40°.
故答案为40°.
(2)设转动t s时，OC与OD的夹角是30°.
①如图1，当OC在∠AOB的内部时，
由题意，得4t＋t＝90－30，解得t＝12.
图1
②如图2，当OC在∠AOB的外部时，
由题意，得4t＋t＝90＋30，解得t＝24.
图2
综上，旋转的时间是12 s或24 s.
(3)如图3，设转动m s时，OB平分∠COD，
图3
由题意，得4m－90＝m，
解得m＝30.
所以旋转的时间是30 s．
类型八　巧用整体思想求角度
15．(12分)如图，OC是∠AOB内部的一条射线，且OM，ON分别平分∠AOC与∠BOC.
(1)若∠AOC＝120°，∠BOC＝30°，求∠MON的大小；
(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，试用含α，β的代数式表示∠MON，并直接写出∠AOB与∠MON的数量关系．
解：因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，
所以∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC．
(1)因为∠AOC＝120°，∠BOC＝30°，
所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝×120°＋×30°＝75°.
(2)因为∠AOC＝α，∠BOC＝β，
所以∠MON＝∠COM＋∠CON＝(α＋β)＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB.
所以∠MON＝(α＋β)，∠AOB＝2∠MON.
16．(12分)将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起．
(1)若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 145° ；
(2)若∠ACB＝144°42′，则∠DCE的度数为 35°18′ ；(写成度、分、秒的形式)
(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
解：(3)∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
因为∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
所以∠ACE＋∠DCE＋∠DCB＋∠DCE＝180°.
因为∠ACE＋∠DCE＋∠DCB＝∠ACB，
所以∠ACB＋∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补．
类型九　利用分类讨论思想求角度
17．(10分)已知∠AOB＝30°，自∠AOB的顶点O引射线OC，同时使∠AOC∶∠AOB＝4∶3，求∠BOC的度数．
解：因为∠AOB＝30°，∠AOC∶∠AOB＝4∶3，
所以∠AOC＝40°.
当OB在∠AOC的外部时，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝40°＋30°＝70°；
当OB在∠AOC的内部时，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝40°－30°＝10°.
综上，∠BOC的度数为70°或10°.
18．(12分)已知∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数．
解：分两种情况：①如图1，当OC在∠AOB外部时，
图1
因为∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠AOB＝30°，
∠AOF＝∠AOC＝20°，
所以∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝50°.
②如图2，当OC在∠AOB内部时，
图2
因为∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，
OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠AOB＝30°，
∠AOF＝∠AOC＝20°，
所以∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝30°－20°＝10°.
综上，∠EOF的度数为50°或10°.
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