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专项突破提升(四)　利用方程思想解决实际问题
(时间：90分钟　满分：100分)
类型一　营销问题
1．(8分)某商场推出新年大促销活动，将标价为300元的某种商品打8折出售，这时商品的利润率仍有20%.
(1)求该商品的成本价；
(2)该商品在降价前一周的销售额达到了12 000元，要使该商品降价后一周内的销售额也要达到12 000元，降价后一周内的销售数量应该比降价前一周内的销售数量增加m%，求m的值．
解：(1)设该商品的成本价是x元．
根据题意，得300×0.8－x＝20%x，
解得x＝200.
答：该商品的成本价是200元．
(2)降价前一周的销售量为12 000÷300＝40(件)．
根据题意，得300×0.8×40(1＋m%)＝12 000，
解得m＝25.
所以m的值为25.
2．(8分)某商场开展春节促销活动出售A，B两种商品，活动方案如表：
A B
每件标价 90元 100元
方案一 每件商品返利 按标价的30% 按标价的15%
例如，买一件A商品，只需付款90(1－30%)元
方案二 所购商品一律按标价的20%返利
(1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案更合算？能省多少钱？
(2)某单位购买A商品x件(x为正整数)，购买B商品的件数比购买A商品件数的2倍少1件，若两方案的实际付款一样，求x的值．
解：(1)方案一付款：30×90×(1－30%)＋20×100×(1－15%)＝3 590(元)，
方案二付款：(30×90＋20×100)×(1－20%)＝3 760(元)．
因为3 590＜3 760，3 760－3 590＝170(元)，
所以选用方案一更合算，能省170元．
(2)某单位购买A商品x件，则购买B商品(2x－1)件．
方案一需付款：90(1－30%)x＋100(1－15%)·(2x－1)＝(233x－85)元，
方案二需付款：[90x＋100(2x－1)](1－20%)＝(232x－80)元，
当两方案实际付款一样时，可得233x－85＝232x－80，解得x＝5.
故当两方案的实际付款一样时，x的值为5.
类型二　行程问题
3．(4分)一艘轮船在甲、乙两地之间航行，已知水流速度是5 km/h，顺水航行需要3 h，逆水航行需要4 h，则甲、乙两地间的距离是(　A　)
A．120 km B．110 km
C．130 km D．175 km
4．(4分)已知A，B两地相距350 km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为60 km/h，乙车速度为40 km/h，经过t h两车相距50 km，则t的值是(　D　)
A．3.5 B．3.5或2.5
C．4 D．3或4
5．(8分)甲、乙两地相距270 km，从甲地开出一辆快车，速度为120 km/h，从乙地开出一辆慢车，速度为75 km/h，如果两车相向而行，慢车先开出1 h后，快车开出，那么再经过多长时间两车相遇？
解：设再经过x h两车相遇．
根据题意，得75×1＋(120＋75)x＝270，
解得x＝1.
答：再经过1 h两车相遇．
类型三　配套问题
6．(4分)某工程队共有27人，每天每人可挖土4方或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是(　C　)
A．12人，15人 B．14人，13人
C．15人，12人 D．13人，14人
7．(4分)某车间有工人85名，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，每2个大齿轮和3个小齿轮可配成一套零件，则这85名工人一天能生产的零件套数为(　C　)
A．170 B．190
C．200 D．205
8．(8分)某医疗器械企业计划购进20台机器生产口罩，已知生产口罩面的机器每台每天的产量为12 000个，生产耳挂绳的机器每台每天的产量为96 000个，口罩由一个口罩面和两个耳挂绳构成，为使每天生产的口罩面和耳挂绳刚好配套，该企业应分别购进生产口罩面和生产耳挂绳的机器各多少台？
解：设该企业应购进生产口罩面的机器x台，则购进生产耳挂绳的机器(20－x)台．
根据题意，得2×12 000x＝96 000(20－x)，
解得x＝16.
20－x＝20－16＝4.
答：该企业应购进生产口罩面的机器16台，生产耳挂绳的机器4台．
9．(8分)油桶制造厂的某车间生产圆形铁片和长方形铁片，两个圆形铁片和一个长方形铁片可以制造出一个油桶．已知该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．安排生产圆形铁片和长方形铁片的工人各多少人，才能使生产的铁片恰好配套？
解：设安排x人生产圆形铁片，则安排(42－x)人生产长方形铁片．
根据题意，得120x＝2×80(42－x)，
解得x＝24.
42－x＝42－24＝18.
答：安排24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片，才能使生产的铁片恰好配套．
类型四　工程问题
10．(4分)检修一台机器，甲、乙小组单独做分别需要7.5 h，5 h 就可完成．两小组合作2 h后，由乙小组单独完成，完成机器检修的任务还需要的时间为(　C　)
A．11 h B． h C． h D．2 h
11．(8分)一项工程，由一个人做需要80 h完成．计划先由一部分人做2 h，再增加5人做8 h后完成了这项工程的.怎样安排具体人数？(假设每个人的工作效率相同)
解：设应先安排x人工作．
根据题意，得＝，
解得x＝2.
答：应先安排2人工作．
12．(12分)某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多.
(1)乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为4 000元，乙工程队每天施工费用为2 000元，若该工程总费用政府拨款70 000元(全部用完)，求甲、乙两个工程队各需要施工多少天．
解：(1)根据题意，得20×＝30(天)．
答：乙工程队单独完成这项工程需要30天．
(2)设还需要x天才能完成．
根据题意，得＝1，
解得x＝9.
答：还需要9天才能完成．
(3)设甲工程队需要施工y天，则乙工程队需要施工＝天．
根据题意，得4 000y＋2 000＝70 000，
解得y＝10.
乙需要30－y＝30－×10＝15(天)．
答：甲工程队需要施工10天，乙工程队需要施工15天．
类型五　比赛积分问题
13．(10分)今年我校七年级足球比赛中，某班前11场比赛保持连续不败，共积23分，已知比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)该班共胜了多少场？
(2)该班一个学生说“再努力点，11场比赛积分可以达到 24分的”，你认为有这种可能吗？为什么？
解：(1)设该班共胜了x场．
根据题意，得3x＋(11－x)＝23，
解得x＝6.
答：该班共胜了6场．
(2)没有这种可能．理由如下：
设该班共胜了y场，
根据题意，得3y＋(11－y)＝24，
解得y＝.
因为不是正整数，
所以没有这种可能．
类型六　分段型问题
14．(10分)为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯式收费方式．
每月用水量 单位/(元/米3)
不超过6 m3的部分 2
超过6 m3，但不超过10 m3的部分 4
超过10 m3的部分 8
(1)若小红家2月用水12.5 m3，求应缴的水费；
(2)若小红家3，4月共用水15 m3(其中3月用水超过10 m3)，共缴水费44元，求小红家3，4月的用水量．
解：(1)根据题意，得6×2＋(10－6)×4＋(12.5－10)×8＝12＋16＋20＝48(元)．
答：小红家2月用水12.5 m3，则应缴水费48元．
(2)设小红家4月的用水量为x m3，则3月的用水量是(15－x)m3.因为3月的用水量超过10 m3，所以4月的用水量就不会超出6 m3.
根据题意，得2x＋2×6＋4×(10－6)＋8×(15－x－10)＝44，
解得x＝4.
15－x＝15－4＝11.
答：小红家3月用水11 m3，4月用水4 m3.
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