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思想方法集锦
(时间：90分钟　满分：110分)
方法一　整体法
1．(4分)阅读材料：整体代入法是数学中常用的方法．例如，已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根据上述材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式8a＋4b－2的值是(　D　)
A．4 B．6 C．8 D．10
2．(4分)把(2a＋b)看作一个整体，则3(2a＋b)－4(2a＋b)＋(2a＋b)的化简结果是(　D　)
A．(2a＋b) B．2(2a＋b)
C．－(2a＋b) D．0
3．(10分)理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．
例如，若x2＋x＝0，求x2＋x＋2 024的值．
我们将x2＋x作为一个整体代入，则原式＝0＋2 024＝2 024.
仿照上面的解题方法，解答下列问题：
(1)如果a＋b＝3，求2(a＋b)－4a－4b＋21的值；
(2)若a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，求a2＋2b2＋6ab的值；
(3)当x＝2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值为m，求当x＝－2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx－5的值．
解：(1)因为a＋b＝3，
所以2(a＋b)－4a－4b＋21
＝2(a＋b)－4(a＋b)＋21
＝2×3－4×3＋21
＝15.
(2)因为a2＋2ab＝20，b2＋2ab＝8，
所以a2＋2b2＋6ab
＝a2＋2ab＋2(b2＋2ab)
＝20＋2×8
＝36.
(3)因为当x＝2 025时，
ax5＋bx3＋cx－5＝2 0255a＋2 0253b＋2 025c－5＝m，
所以当x＝－2 025时，
ax5＋bx3＋cx－5
＝－2 0255a－2 0253b－2 025c－5
＝－(m＋5)－5
＝－m－10.
方法二　分类讨论法
4．(8分)“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下列问题：
已知|a|＝2，|b|＝8，且ab＜0，求a－b的值．
解：因为|a|＝2，|b|＝8，
所以a＝±2，b＝±8.
因为ab＜0，
所以a＝2，b＝－8或a＝－2，b＝8.
所以a－b＝10或－10.
5．(12分)【问题提出】已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度数．
【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．
(1)当射线OC在∠AOB的内部时，
①若射线OD在∠AOC内部，如图1，则∠BOC＝ 16.1° ；(填度数)
②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数．
【问题延伸】
(2)当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．
解：(1)②设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α.
因为∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝α.
所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°，
解得α＝34.5°.
所以∠BOC＝34.5°.
(2)当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB.
因为∠BOC＜50°，∠AOD＝∠AOC，
所以射线OD的位置也只有两种可能．
设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α.
①当射线OD在∠AOB内部时，如图1所示．
图1
因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝4α.
所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝80.5°，
解得α＝11.5°.
所以∠BOC＝11.5°.
②当射线OD在∠AOB外部时，如图2所示．
图2
因为∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，∠AOD＝∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝α.
所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－α＝80.5°，
解得α＝48.3°.
所以∠BOC＝48.3°.
综上，∠BOC的度数是11.5°或48.3°.
方法三　建模思想
6．(8分)【问题呈现】
某中学的学生以4 km/h的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30 min后，学校派一名通信员骑自行车以12 km/h的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】
相等关系为 队伍走的路程＝通信员走的路程 ．
【建模解答】(请你完整解答本题)
解：设通信员用x h可以追上队伍．
由题意，得4(x＋0.5)＝12x，
解得x＝0.25.
0．25×60＝15.
答：通信员用15 min可以追上队伍．
7．(10分)在代数式的学习中，我们通过对同一面积的不同表达的比较，得到合并同类项的法则．下面我们利用这种方法来研究速算．
【提出问题】 47×43，56×54，89×81，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
【几何建模】
用长方形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
①画长为47、宽为43的长方形，如图，将这个47×43的长方形从右边切下长为40、宽为3的一条，拼接到原长方形的上面．
②分析：原长方形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的长方形面积或(40＋7＋3)×40的长方形与右上角3×7的长方形面积之和，即47×43＝(40＋10)×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2 021.
【模仿应用】
(1)①请仿照上面的方法用长方形的面积表示56×54的乘积；
②填空：89×81＝ 9 ×8×100＋ 9 × 1 ＝7 209.(或9　1　9)
【归纳提炼】
(2)两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘100，加上两个个位数字的积，构成运算结果 ．(用文字表述)
解：(1)①画图如图．
方法四　方程思想
8．(10分)如图，C，D为线段AB上两点，AC＋BD＝10，AD＋BC＝AB，设CD＝t，求方程3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)的解．
解：因为AD＋BC＝AC＋CD＋CD＋BD＝AC＋BD＋2CD，AB＝AC＋CD＋BD，AC＋BD＝10，
所以AB＝10＋CD，AD＋BC＝10＋2CD.
因为AD＋BC＝AB，设CD＝t，
所以10＋2t＝(10＋t)，
解得t＝2.5.
把t＝2.5代入3x－7(x－1)＝2t－2(x＋3)，得3x－7x＋7＝2×2.5－2x－6，
解得x＝4.
方法五　数形结合思想
9．(12分)O为直线AB上一点，将一直角三角尺OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB.
(1)如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数．
(2)在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数．(用含α的代数式表示)
(3)将图1中的直角三角尺OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
解：(1)由已知得∠BOM＝180°－∠AOM＝150°.
因为∠MON＝90°，OC平分∠BOM，
所以∠MOC＝∠BOM.
所以∠CON＝∠MON－∠MOC＝∠MON－∠BOM＝90°－×150°＝15°.
(2)∠CON＝α.
(3)①∠CON＝∠AOM.理由如下：
设∠AOM＝x，则∠BOM＝180°－x.
因为OC平分∠BOM，
所以∠MOC＝∠BOM＝(180°－x)＝90°－x.
因为∠MON＝90°，
所以∠CON＝∠MON－∠MOC＝90°－＝x.
所以∠CON＝∠AOM.
②设∠AOM＝x，由①知，∠MOC＝90°－x.
因为∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－(180°－x)＝x－90°，
所以∠AOC＝∠AOM＋∠MOC＝x＋90°－x＝90°＋x.
因为∠AOC＝3∠BON，
所以90°＋x＝3(x－90°)，
解得x＝144°.
所以∠AOM＝144°.
方法六　转化思想
10．(4分)把÷转化为乘法是(　D　)
A．
B．
C．
D．
11．(4分)“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如，借助图1，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36.请你观察图2，可以把算式转化为 1－＝ ．
方法七　从特殊到一般的思想
12．(12分)阅读材料，解决问题．
我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23＝2×2×2；24＝2×2×2×2.
观察上述算式可以得到：23×24＝2×2×2×2×2×2×2＝27，即23×24＝27.
类比上述式子，你能够得到：
(1)103×105＝ 108 ；
(2)a2·a3＝ a5 ；
利用由特殊到一般的思想，可以得到：
(3)am·an＝ am＋n ；(m，n都是正整数)
我们把类似于am和an这样的式子叫同底数幂，因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
知识运用：
(4)x3·x＝ x4 ；
(5)yn·yn+1＝ y2n+1 ；
(6)已知xa＝8，xb＝9，则xa＋b的值是 72 ．
解：(6)因为xa＝8，xb＝9，
所以xa＋b＝xa xb＝8×9＝72.
故答案为72.
13．(12分)从特殊到一般，是我们学习和认知新事物经常运用的方法．
(1)比较大小：
＜ ＜ ＜ ＜ ；(均填“＞”“＜”或“＝”)
(2)请你根据上面的材料，利用字母a，b，c(a＞b＞0，c＞0)归纳出一个数学关系式．
解：(2)<(a＞b＞0，c＞0)．
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