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创新考向集训
(时间：90分钟　满分：100分)创新考向一　规律探究
1．(4分)下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是(　C　)
A．135 B．170 C．209 D．252
2．(4分)用小棒按下面的规律拼摆八边形．
萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关系．下面说法正确的是(　B　)
A．萌萌：a＝16＋16n(n＞3)
B．亮亮：a＝7n＋1
C．乐乐：a＝8n－1
D．欢欢：a＝7n＋n
3．(4分)观察下列各多项式：2a＋b，4a2－b3，6a3＋b5，8a4－b7……根据你发现的规律，第6个多项式为(　B　)
A．12a6＋b11 B．12a6－b11
C．10a6－b13 D．10a6－b11
4．(4分)把棱长为1的正方体摆成如图所示的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，到第五层的正方体个数是(　C　)
A．10 B．12 C．15 D．20
创新考向二　中华优秀传统文化
5．(4分)我国古代数学名著《张丘建算经》中记载了一首古算诗，其大意是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问：清、醑酒各几斗？设清酒有x斗，那么可列方程为(　D　)
A．3x＋10(5－x)＝30
B．＝5
C．＝5
D．10x＋3(5－x)＝30
6．(4分)我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗，其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，则根据题意可列方程为(　A　)
A．6x＋14＝8x B．6(x＋14)＝8x
C．8x＋14＝6x D．8(x－14)＝6x
7．(4分)干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2024年为例：天干为(2 024－3)÷10＝202……1，地支为(2 024－3)÷12＝168……5.
对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
请你依据上述规律推断2049年为农历 己巳 年．
创新考向三　新定义
8．(12分)新定义：若a＋b＝2，则称a与b是关于2的平衡数．
(1)3与 －1 是关于2的平衡数；
(2) x－3 与5－x是关于2的平衡数；(用含x的代数式表示)
(3)若a＝2x2－3(x2＋x)＋4，b＝2x－[3x－(4x＋x2)－2]，判断a与b是否是关于2的平衡数，并说明理由．
解：(3)a与b不是关于2的平衡数．理由如下：
因为a＝2x2－3(x2＋x)＋4，b＝2x－[3x－(4x＋x2)－2]，
所以a＋b＝2x2－3(x2＋x)＋4＋2x－[3x－(4x＋x2)－2]
＝2x2－3x2－3x＋4＋2x－3x＋4x＋x2＋2
＝6≠2，
则a与b不是关于2的平衡数．
9．(12分)新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，例如，方程2x＝6和3x＋9＝0为“友好方程”．
(1)若关于x的方程3x＋m＝0与方程2x－6＝4是“友好方程”，求m的值；
(2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
解：(1)方程2x－6＝4的解为x＝5.
因为关于x的方程3x＋m＝0与方程2x－6＝4是“友好方程”，
所以关于x的方程3x＋m＝0的解为x＝－5.
所以3×(－5)＋m＝0.
所以m＝15.
(2)因为某“友好方程”的一个解为n，
所以“友好方程”的另一个解为－n.
所以n－(－n)＝6或－n－n＝6.
所以n＝3或n＝－3.
创新考向四　阅读感悟
10．(12分)综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面．
【问题解决】
(1)若折叠后数1对应的点与数－1对应的点重合，则此时数－3对应的点与数 3 对应的点重合．
【学以致用】
(2)若折叠后数2对应的点与数－4对应的点重合，则此时数0对应的点与数 －2 对应的点重合．
【问题拓展】
(3)若如(2)这样折叠后，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11(点B在点A的右侧)，则点A对应的数为 －6.5 ，点B对应的数为 4.5 ．
(4)在(3)的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t s(t＞0)．
①动点P从点B向右出发，t为何值时，P，A两点之间的距离为15个单位长度？
②动点P从点B向左出发，t为何值时，P，A两点之间的距离为15个单位长度？
解：(4)①根据题意，得BP＝2t，
点P对应的数为4.5＋2t，
PA＝4.5＋2t－(－6.5)＝15，
解得t＝2.
答：当t＝2时，P，A两点之间的距离为 15个单位长度．
②动点P从点B向左出发，P，A两点之间的距离为15个单位长度时，点P在点A的左侧，
点P对应的数为4.5－2t，
PA＝－6.5－(4.5－2t)＝15，
解得t＝13.
答：当t＝13时，P，A两点之间的距离为 15个单位长度．
创新考向五　方案设计
11．(12分)某家电商场计划从生产厂家购进A，B两种型号的电视机共50台，已知A种型号的电视机出厂价比B种型号的电视机出厂价少40%，A种型号电视机的出厂价是 1 500元.
(1)B种型号电视机的出厂价是多少元？
(2)家电商场做了两个进货方案：
方案一：同时购进两种不同型号的电视机，且数量相同；
方案二：同时购进两种不同型号的电视机，且购进B种型号的电视机数量比A种型号的电视机数量多50%.
请你帮助商场计算一下两种方案分别需要的进货费用是多少元．
(3)在(2)的条件下，如果A种电视机在进价的基础上提高10%作为售价，B种电视机在进价的基础上提高8%作为售价，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案呢？请通过计算说明理由．
解：(1)根据题意，得1 500÷(1－40%)＝2 500(元)．
答：B种型号电视机的出厂价是2 500元．
(2)根据题意，得选择方案一所需的进货费用为1 500×25＋2 500×25＝100 000(元)；
选择方案二需购进A种型号电视机的数量为50÷(1＋1＋50%)＝20(台)，
购进B种型号电视机的数量为50－20＝30(台)，
所需的进货费用为1 500×20＋2 500×30＝105 000(元)．
答：选择方案一需要的进货费用是100 000元，选择方案二需要的进货费用是105 000元．
(3)为了使销售时获利最多，应选择方案二．理由如下：
选择方案一可获得的总利润为1 500×10%×25＋2 500×8%×25＝8 750(元)；
选择方案二可获得的总利润为1 500×10%×20＋2 500×8%×30＝9 000(元)．
因为8 750＜9 000，
所以为了使销售时获利最多，应选择方案二．
创新考向六　类比探究
12．(12分)小明在学习整式的加减时发现：若代数式的值与x的取值无关，那么含x项的系数应为0.
【问题解决】
(1)若关于x的多项式(2x－1)n－3x＋n2的值与x无关，求n的值．
【类比探究】
(2)7张如图1所示的小长方形，长为a，宽为b，按照图2所示方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分(图中阴影部分)未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
解：(1)(2x－1)n－3x＋n2
＝2nx－n－3x＋n2
＝(2n－3)x－n＋n2.
因为多项式的值与x无关，
所以2n－3＝0，解得n＝.
(2)设AB＝x，
由题图可知，S1＝a(x－3b)＝ax－3ab，
S2＝2b(x－2a)＝2bx－4ab，
则S1－S2＝ax－3ab－(2bx－4ab)
＝(a－2b)x＋ab.
因为S1－S2的值与x无关，
所以a－2b＝0.
所以a＝2b.
创新考向七　跨学科
13．(4分)如图，一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下滑，速度变化规律如表：
时间t/s 0 1 2 3 4 …
速度v/(m/s) 0 1.5 3 4.5 6 …
则t s时，这个钢球的速度是(　A　)
A．1.5t m/s
B．t m/s　
C．2t m/s　
D．1.5t2 m/s
14．(4分)“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，乙烯的化学式是C2H4，丙烯的化学式是C3H6……碳原子(C)和氢原子(H)的数目满足一定数学规律．设碳原子的数目为n(n为正整数，且n≥2)，则这类烯的化学式可用代数式 CnH2n 来表示．
15．(4分)近年来，由于赤壁市加大环境整治力度，一大批国家二级保护动物天鹅迁徙到赤壁东港湖区越冬，天鹅迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边与其飞行方向的夹角是54°44′8″，从空气动力学角度看，这个角度对于天鹅队伍飞行最佳，所受阻力最小，则54°44′8″的补角是 125°15′52″ ．(写成度、分、秒的形式．注：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．)
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