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2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二）
一、单选题
1.（2025福建龙岩第一中学月考）函数的零点是（ ）
A. 1
B. (1, 0)
C. (-1, 0)
D. -1或1
2.（2025广东汕头潮阳棉城中学月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A. (-1, 0)
B. (0, 1)
C. (1, 2)
D. (2, 3)
3.（2024河南郑州月考）函数的零点所在的区间为（ ）
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (3, 4)
D. (4, 5)
4.（2025河北保定月考）已知函数，若，则函数的零点个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.（2024河北秦皇岛期中）二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且，则的取值范围是（ ）
A. 或
B.
C. 或
D.
6.（2025河南新乡段考）用二分法求方程的一个近似解时，已经将根锁定在区间(3, 4)内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）
A. (3, 3.5)
B. (3.5, 4)
C. (2.5, 3)
D. (4, 4.5)
二、多选题
7.（2025山东青岛即墨区第一中学月考）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ）
1 2 3 4 5 6
202.301 52.013 10.581 3.273 10.733 -156.314
A. 在区间(2, 3)上不一定单调
B. 在区间(5, 6)内可能存在零点
C. 在区间(5, 6)内一定不存在零点
D. 至少有3个零点
8.（2025黑龙江大庆实验中学二部期末）下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的图象在上连续不断，且，则函数在上无零点
B. 函数有且只有1个零点
C. 函数有2个零点
D. 若，则函数有3个零点
9.（2025四川绵阳期末）将甲桶中的10L溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线。假设经过10min后，甲桶和乙桶中的溶液量相同，则下列说法正确的是（ ）
A. 乙桶中的溶液达到8L需要注入的时间约为23.3min（参考数据：）
B. 指数衰减曲线中
C. 经过20min后，甲桶中剩余溶液量为2.5L
D. 经过后，乙桶中溶液量为L
三、填空题
10.（2024辽宁沈阳期末）设，是方程的两个实根，则________。
11.（2025安徽六安毛坦厂中学月考）已知函数的零点在区间上，则________。
12.（2025湖北新高考联考协作体月考）用二分法求在区间(0, 1)上的近似解，要求精确度为0.1时，所需二分区间次数最少为________。
四、解答题
13.（2025辽宁抚顺期中）已知关于的方程。
（1）若方程有两根，其中一根在区间(-1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求实数的取值范围；
（2）若方程的两根均在区间(0, 1)内，求实数的取值范围。
14.（2025宁夏银川一中月考）已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性；
（3）方程是否有根？如果有根，记为，求出一个长度为的区间，使；如果没有，请说明理由（注：区间的长度为）。
15.（2025四川蓉城名校联盟联考）某环保组织自元旦开始监测某水域中水葫芦的生长面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为（单位：），此后每月月底测量一次，通过近一年的观察发现：自元旦起，水葫芦在该水域里的生长面积增加的速度越来越快，水葫芦的生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系符合函数模型（）。记元旦最初测量时间的值为0，部分测量数据统计如下：
第月月底 3 6
水葫芦生长面积 24 64
（1）根据表中数据求出该函数模型的解析式；
（2）求该水域中水葫芦的生长面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：，）
一、单选题
1.答案：A
解析：函数零点是使的自变量值（非点坐标），需满足：
分子为0：或；
分母有意义（真数>0）：；
综上，（因分母无意义舍去）。
2.答案：C
解析：利用零点存在定理（连续函数，则区间内有零点）：
；
，，故，零点在 。
3.答案：B
解析：是连续递增函数（和均递增），利用零点存在定理：
；
；
故，零点在。
4.答案：D
解析：或，分两段讨论：
当时，（，单调递增）：
（有1解）；
（有1解）；
当时，（单调递增）：
（有1解）；
（有1解）；
综上，共4解。
5.答案：B
解析：二次函数开口向上，零点满足，故：
（时函数值正）：；
（时函数值负）：；
综上，。
6.答案：B
解析：二分法需计算区间中点函数值，区间的中点为：
设，计算；
；
；
故，下一步锁定区间。
二、多选题
7.答案：AB
解析：根据表格数据和零点存在定理：
A：表格仅给函数值，无法判断区间(2,3)单调性，正确；
B：，，故内可能有零点（连续函数），正确；
C：由B知内一定有零点，错误；
D：，，，，，仅1个零点，D错误； 综上，正确答案为AB。
8.答案：BCD
解析：逐一判断：
A：时可能有偶数个零点（如在上，，但有2个零点），错误；
B：在递增，，，故有且仅有1个零点，正确；
C：，画图可知两函数有2个交点，正确；
D：设（或），方程化为，解得或：
（2解）；
（1解）；
共3个零点，正确。
9.答案：ABCD
解析：由题意，时（甲桶剩余5L，乙桶5L）：
B：，正确；
D：乙桶溶液量=10 - 甲桶剩余量=10(1 - e^{kt})，正确；
C：时，，正确；
A：乙桶溶液8L即甲桶剩余2L，，正确。
三、填空题
10.答案：1000
解析：设，方程化为，由韦达定理：
（，）；
。
11.答案：3
解析：在递增，利用零点存在定理：
；
；
故零点在，。
12.答案：4
解析：二分法每次将区间长度减半，初始区间长度为1，设需次：
要求精确度0.1，即；
因，，故最少需4次。
四、解答题
13. 解：
(1) 设（开口向上），根的分布需满足：
代入计算：
（恒成立）；
；
；
；
综上，。
(2) 需满足三个条件：
判别式≥0（有实根）：或；
对称轴在(0,1)内：；
区间端点函数值>0（开口向上）：
；
；
综上，取交集得（因）。
14. 解：(1) 对数真数需>0：
故定义域为。
(2) 定义域关于原点对称，计算：
故是奇函数。
(3) 设，需判断在内是否有零点：
计算区间端点附近函数值：
；
；
故，区间长度为，且；
综上，方程有根，符合条件的区间为。
15. 解：(1) 已知（），代入表中数据（；）：
两式相除得；
代入得；
故解析式为（或化简为）。
(2) 元旦初始面积为时的，240倍即；
列不等式：
两边取常用对数（）：
代入，，：
故（第18个月底，即次年6月），即从次年6月起，生长面积达240倍以上。

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