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2025-2026学年上学期小学数学奥数专项《立体几何》通用版
一、单选题
1．乌鸦喝水。聪明的乌鸦把小石子浸没在装水的瓶中，使水面上升，从而喝到了水。如果乌鸦将同样大小的小石子放在下面四个不同的容器中(小石子完全浸没，且水未溢出)，(　　)的水面升得高。(单位：cm)
A． B． C． D．
2．小宇将一个铁块完全浸没在量杯的水中(如图：单位mL)，水面上升，且溢出了 40mL 的水。那么这个铁块的体积是(　　)立方厘米。
A．300 B．B. 240 C．200 D．40
3．下列四个立体图形中与左侧圆锥体积相等的有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．容器中装有一些水，放入一个玻璃球，溢出5mL 水，再放入一个同样的球，共溢出20mL 水。那么，一个玻璃球的体积是 (　　)。
A．5cm3 B．10cm3 C．15cm3 D．20cm3
5．下面物体的体积是 (　　) cm3(单位： cm)
A．75 B．150 C．200 D．250
6．有人做了这样一个实验：
①将350mL 的水倒进一个容量为500mL 的杯子中；
②将3个相同的铁球放入水中，结果水没有满；
③再将2个这样的铁球放入水中，水溢出少量。由此推测，1个铁球的体积可能是(　　)cm3。
A．30 B．40 C．50 D．60
二、填空题
7．露在外面的面。如图，仓库的墙角堆放着6个棱长都是5dm的正方体包装箱。这些包装箱的占地面积是　 　dm2。有　 　个面露在外面，露在外面的面积是　 　dm2。
8．如下图，小红在墙角处用12个相同的小正方体搭建了一个长方体，她仔细观察并发现了很多奥秘。
（1）有三个面露在外面的小正方体有　 　个。
（2）有两个面露在外面的小正方体有　 　个。
（3）只有一个面露在外面的小正方体有　 　个。
9．如图，将一个棱长2dm的正方体沿虚线切三刀后，可切成8个完全相同的小正方体。这8个小正方体的表面积之和比原来大正方体的表面积多　 　 。如果把这8个小正方体摆成如下图这样的几何体，这个几何体的表面积是　 　dm2。
10．一个长方体形状的鱼缸，内部底面积是 5dm2，深2.2dm。往鱼缸内部放入一个苹果，再注入10.7L水后，苹果完全浸没在水中，且水面刚好与鱼缸顶部齐平，没有水溢出来。这个苹果的体积是　 　dm3。
11．如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米．在侧面距离底面9厘米的地方有个洞．这个容器最多能装　 　毫升水（π取3.14）．
12．如图，正方体的棱长为，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形。正方体夹在六边形与三角形之间的立方体图形有　 　个面，它的体积是　 　。
13． 下图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的　 　倍．
三、计算题
14．计算下面图形的表面积和体积。
（1）
（2）
四、操作题
15．有趣的测量
为了测量一块不规则石头的体积，笑笑设计了一份测量方案，包含以下4个步骤：
①往容器里倒入适量的水，测得水深为3.2cm。
②准备一个长8cm、宽4cm、高7cm的长方体玻璃容器。
③测得水面离容器口的距离是2.8cm。
④将不规则石头轻轻放入容器中，并让石头完全浸入水中(石头不吸水)。
（1）把实验步骤按正确的顺序排一排(填序号)。
　 　→　 　→　 　→　 　
（2）根据实验数据算一算：这块石头的体积是多少？
16．分别画出左图几何体从上面、前面、右面看到的图形。这个几何体的表面积是（　　）平方厘米。(每个小方格边长1厘米)
五、解决问题
17．在复习平面图形与立体图形的面积与体积知识时，肖弘和文锋产生了如下思考：
（1）肖弘： “长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积是否都可用一个计算公式来计算呢 ”于是他以平行四边形和三角形为例子，发现用梯形的面积公式同样能够正确算出图形的面积。他是怎么推导的 请以下面的平行四边形和三角形为例，写出肖弘同学的推导过程。
（2）文锋： “长方体、正方体、圆柱都可以把下底面通过平移与上底面重合，那这三个立体图形侧面积的计算方法是否也能统一成一个公式进行计算呢 ”于是他把这三个图形的侧面都沿一条高剪开(如下图所示)，然后把这些侧面展开后得到的都是　 　形，这个图形的长是就是原来立体图形的　 　，宽就是原来立体图形的　 　。所以它们的侧面积都可以用公式　 　来计算。
（3） 肖弘和文锋在总结图形知识时发现：转化是很重要的数学思想。推导圆柱的体积公式时就可以先转化成长方体来研究。同时通过对比进一步发现：长方体、正方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算。于是他们得出：所有能把下底面通过平移与上底面重合的立体图形，都能用这一方法求出体积。请你根据他们的思考求出下边三棱柱的体积。数据如下：，OC=10cm， AD=15cm。
18．研究一个瓶子的容积，两位同学都是先在瓶子里倒入一些水，再将瓶盖拧紧，然后将瓶子倒置，测出相关数据。具体如下：
（1）我认为　 　的实验数据是无法测算出瓶子的容积，理由是：　 　。
（2）请你选择有用的信息计算出这个瓶子的容积。
19．为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验。
①用天平称出这个铁块的质量是1.7千克；
②一个圆柱形容器从里面测量出底面半径是4厘米；
③从里面量出圆柱形容器的高是15 厘米；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是6厘米；
⑤将铁块浸没在水中(水没溢出)，量出水面高度为9厘米。
（1）要求出这个铁块的体积，上面哪些信息是必须的？把它们的序号写在横线上：　 　。
（2）请根据选出的信息，求出这个铁块的体积。
20．为了测量一个小石头雕塑的体积，小智、小趣和小通合作开展了如下实验：
①小智准备了一个从里面量长和宽都是12厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸；
②小趣往缸里倒入一些水，量出此时水面的高度是8厘米；
③小通把石头雕塑完全浸入水中，量出此时的水面高度是11厘米。请根据以上信息，求出这个石头雕塑的体积（这个石头雕塑不吸水）。
21．东东为了比较土豆和红薯的体积做了如下实验。 (玻璃的厚度不计，单位：cm)
谁的体积大？大了多少立方厘米？
22．小明周末去商场购物，发现正在进行大促销，他看上了一个漂亮的无盖鱼缸，打算买下来。店家告诉他，如果朋友圈点赞人数大于等于25人时，可以半价购买，小明立刻发了个朋友圈，邀请朋友们来帮他集赞，最后终于半价买下了一个长5dm，宽2dm，高3dm的鱼缸，为了使鱼缸更美观，小明还看上了一块装饰用的珊瑚石，他发现当他把鱼缸内完全浸没的珊瑚石拿出来后， 水面从27cm下降到了 18cm。
请根据以上信息选择一个合适的问题，并解答。
1号问题：小明买下的这个鱼缸，最终花了多少钱？
2号问题：小明买的珊瑚石的体积有多少立方厘米？
3号问题：小明把珊瑚石放入鱼缸后，最多还可以加入多少毫升的水？ (玻璃厚度忽略不计)
我选择(　　)号问题，我的解答：
23．一个长方体的玻璃缸，长6分米，宽3分米，高3.5分米，水深2.8分米。如果将一块正方体铁块(如下图)放入玻璃缸中，当正方体铁块全部浸没时，从玻璃缸中溢出0.5L水，正方体铁块的体积是多少立方分米？
24．根据实验解决问题。
实验材料：一个底面半径为4 cm的圆柱形玻璃杯，1个小圆锥形教具，1个大圆锥形教具，水。
实验过程：①往玻璃杯里加水，测量水面高度；
②放入一个小圆锥形教具，教具沉入杯底，测量水面高度；
③再放入一个大圆锥形教具，教具沉入杯底，测量水面高度。
实验记录：
（1）小圆锥形教具的体积是多少立方厘米？ (π取3)
（2）已知两个圆锥形教具底面半径相同，大圆锥形教具的高是小圆锥形教具的2倍，放入大圆锥形教具后，现在水面的高度是多少厘米？
25．铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米 (π=3.1416)
26．用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】125；13；325
8．【答案】（1）1
（2）4
（3）5
9．【答案】24dm2；30
10．【答案】0.3
11．【答案】942
12．【答案】8；72
13．【答案】16
14．【答案】（1）解：表面积：(15×6+15×8+6×8)×2
=258×2
=516(cm2)
体积：15×8×6
=120×6
=720(cm3)
（2）解：表面积：(12×10+12×2+10×2)×2+10×10×4
=164×2+100×4
=328+400
=728（cm2）
体积：12×10×2+10×10×10
=120×2+100×10
=240+1000
=1240(cm3)
15．【答案】（1）②；①；④；③
（2）解：7－2.8=4.2（cm）
8×4×（4.2－3.2）
=32×1
=32（立方厘米）
答：这块石头的体积是32立方厘米。
16．【答案】解：
（4×2+4×3+2×3）×2+1×1×4
=（8+12+6）×2+1×1×4
=26×2+1×1×4
=52+4
=56（平方厘米）
17．【答案】（1）解：①：把平行四边形看作上底、下底均为1cm，高15cm的梯形。根据梯形面积公式S=(a + b)h÷2（a、b为上、下底，h为高 ），代入得：S=(18 + 18)×15÷2 = 36×15÷2 = 270cm。
②：把三角形看作上底为0cm，下底20cm，高15cm的梯形。根据梯形面积公式，代入得：S=(0 + 20)×15÷2 = 20×15÷2 = 150cm。
③：长方形、正方形、三角形、平行四边形都可看作特殊梯形，能用梯形面积公式S=(a + b)h÷2统一计算面积 。（注：长方形、正方形是上底 = 下底的梯形；三角形是上底 = 0 的梯形 。）
（2）长方；底面周长；高；S侧= Ch（C为底面周长，h为高 ）
（3）解：①确定底面积：三棱柱的底面是三角形，根据三角形面积公式S =ah（其中a为底，h为高 ），则底面三角形面积S=×6×10 = 30cm2 。
②确定高：三棱柱中，AD = 15cm，是上下底面之间的距离，即高h = 15cm 。
③计算体积：根据 “底面积 × 高”，可得三棱柱体积V = 30×15 = 450cm3。
答：该三棱柱的体积是450。
18．【答案】（1）小丽；瓶子正放时，水面的高度是2厘米，倒放时无水部分的高是15厘米，因为瓶颈部分不是圆柱，所以无法测算出瓶子的容积。
（2）解：3.14 x (6 ÷ 2)2 x (12 - 2 +5)
= 3.14x 9 x 15
= 28.26 x 15
=423.9(立方厘米)
423.9立方厘米=423.9毫升
答：这个瓶子的容积是423.9毫升。
19．【答案】（1）②④⑤
（2）解：
=
=150.72(立方厘米)
答：这个铁块的体积是150.72立方厘米。
20．【答案】解：12×12×（11﹣8）
＝144×3
＝432（立方厘米）
答：这个石头雕塑的体积是432立方厘米。
21．【答案】解：9.5-8=1.5（厘米）
12-9.5=2.5（厘米）
2.5＞1.5
所以红薯的体积大。
12×8×（2.5-1.5）
=96×1
=96（立方厘米）
答：红薯的体积大，大96立方厘米。
22．【答案】解：选择2号问题
5分米=50厘米，2分米=20厘米
50×20×(27-18)
=1000×9
=9000（立方厘米）
答：小明买的珊瑚石的体积有9000立方厘米。
23．【答案】解：0.5升=0.5立方分米
6×3×（3.5-2.8）＋0.5
=12.6＋0.5
=13.1（立方分米）
答：正方体铁块的体积是13.1立方分米。
24．【答案】（1）解：10-8.8=1.2(厘米)
3×42×1.2
=48×1.2
=57.6（立方厘米）
答：小圆锥形教具的体积是57.6立方厘米。
（2）解：1.2×2=2.4(厘米)
10+2.4=12.4(厘米)
答：现在水面的高度是12.4厘米。
25．【答案】解：两个半球合成一个球，体积为，圆柱部分的高为14－2＝12，
所以罐的容积为：＋π×12×12＝（12＋）×π≈13.3333×3.1416≈41.888（立方米）
答： 该油罐车的容积是41.888立方米
26．【答案】解：这立体的上(顶)表面积之和就等于底层的底面积，各层的侧面积为：
第1层4，
第2层4＋8＝12，
第3层(3＋4)×2＝14，
所以，这立体图形的表面积是
4＋12＋14＋12×2＝54(平方厘米)
答：该图形的表面积为54平方厘米
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