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专项突破提升(一)
有理数的相关问题
类型一　有理数大小的比较
1．(4分)已知a＝－23，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　C　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
2．(4分)下列各式正确的是(　B　)
A．－|－12|＞0 B．－>－
C．－|0.5|＞|－0.5| D．－(－2)2＞0
3．(4分)若－1< a＜0，则a，，a2由小到大排列正确的是(　C　)
A．a2C．4．(4分)四种气体的液化温度(标准大气压)如下表，其中液化温度最低的气体是　氦气　．
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度/℃ －183 －253 －195.8 －268
5．(8分)已知下列有理数，在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
－5，＋3，－|－3.5|，0，－(－2)，－1.
解：－|－3.5|＝－3.5，－(－2)＝2.
在数轴上表示如图．
故－5＜－|－3.5|＜－1＜0＜－(－2)＜＋3.
类型二　有理数的混合运算
6．(12分)计算：
(1)－8－(－12)＋(－16)＋11；
(2)－0.9＋－8.1－；
(3)÷；
(4)32×－0.52×|－2|3．
解：(1)－8－(－12)＋(－16)＋11＝－8＋12－16＋11＝－1.
(2)－0.9＋－8.1－＝(－0.9－8.1)＋＝－9＋(－1)＝－10.
(3)÷＝×(－36)
＝×(－36)－×(－36)－×(－36)
＝－18＋24＋30＝36.
(4)32×－0.52×|－2|3
＝32××8
＝－4－2＝－6.
7．(8分)计算：
(1)(－28)÷7＋3×(－4)；
(2)－32÷3－×(－2)3－(－1)2 025．
解：(1)(－28)÷7＋3×(－4)
＝－4＋(－12)＝－16.
(2)－32÷3－×(－2)3－(－1)2 025
＝－9÷3－×(－8)＋1
＝－3＋2＋1
＝－1＋1＝0.
8．(12分)请用简便方法计算：
(1)3；
(2)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；
(3)(－5)×＋(－7)×＋12×；
(4)99×(－9)．
解：(1)3
＝
＝1－10
＝－9.
(2)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3
＝(25.7－13.7)＋(－7.3＋7.3)
＝12＋0
＝12.
(3)(－5)×＋(－7)×＋12×
＝(－5－7＋12)×
＝0×
＝0.
(4)99×(－9)
＝×(－9)
＝100×(－9)－×(－9)
＝－900＋
＝－899.
9．(8分)老师布置了一道练习题：计算(－16)÷×12．
小方与小王的解答过程如下：
小方的解答过程：
解：原式＝(－16)÷×12(第一步)
＝(－16)÷(－1)(第二步)
＝16.(第三步)
小王的解答过程：
解：原式＝(－16)÷×12(第一步)
＝－64－4(第二步)
＝－68.(第三步)
回答下列问题．
(1)①小方的解答过程中开始出现错误的是第　二　步；
②小王的解答过程中开始出现错误的是第　一　步．
(2)把正确的解题过程写出来．
解：(2)(－16)÷×12
＝(－16)÷×12
＝(－16)×(－12)×12
＝192×12＝2 304.
10．(10分)阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：①＝；②＝；③＝……
(1)观察上面的3个算式，请写出一个像上面这样的算式：　＝(答案不唯一)　；
(2)计算的值；
(3)探究上述运算规律，计算＋…＋的值．
解：(2)
＝1－
＝1－＝.
(3)＋…＋
＝
＝＝.
11．(10分)定义一种新运算“⊙”，观察下列各式： 1⊙3＝1×5＋3＝8，3⊙1＝3×5＋1＝16，5⊙4＝5×5＋4＝29．
回答下列问题：
(1)根据上面各式计算：4⊙3＝　23　，a⊙b＝　5a＋b　；
(2)若a≠b，那么a⊙b　≠　b⊙a；(填“＝”或“≠”)
(3)计算：－5⊙(－4⊙3)．
解：(1)4⊙3＝4×5＋3＝23，a⊙b＝5a＋b.
故答案为：23；5a＋b.
(2)因为a⊙b＝5a＋b，b⊙a＝5b＋a，
所以(a⊙b)－(b⊙a)＝(5a＋b)－(5b＋a)＝4a－4b.
因为a≠b，所以4a－4b≠0.
所以a⊙b≠b⊙a.
故答案为：≠.
(3)－5⊙(－4⊙3)＝－5⊙(－4×5＋3)＝－5⊙(－17)＝－5×5＋(－17)＝－42.
12．(12分)观察下面两个等式：2－＝2×＋1，5－＝5×＋1，给出定义如下：我们称使等式a－b＝ab＋1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为(a，b)，如数对，都是“共生有理数对”．
(1)判断数对(－2，1)，是否为“共生有理数对”，并说明理由．
(2)若(m，n)是“共生有理数对”，且m－n＝4，求(－4)mn的值．
(3)若(m，n)是“共生有理数对”，则(－2n，－2m)是“共生有理数对”吗？请说明理由．
解：(1)(－2，1)不是“共生有理数对”，是“共生有理数对”．理由如下：
因为－2－1＝－3，－2×1＋1＝－1，－3≠－1，
所以(－2，1)不是“共生有理数对”．
因为3－＝3×＋1＝，
所以是“共生有理数对”．
(2)因为(m，n)是“共生有理数对”，且m－n＝4，
所以m－n＝mn＋1＝4，
解得mn＝3.
所以(－4)mn＝(－4)3＝－64.
(3)(－2n，－2m)不是“共生有理数对”．理由如下：
－2n－(－2m)＝－2n＋2m＝2(m－n)，(－2n)×(－2m)＋1＝4mn＋1.
因为(m，n)是“共生有理数对”，
所以m－n＝mn＋1.
所以2(m－n)＝2(mn＋1)＝2mn＋2.
因为2mn＋2不一定等于4mn＋1，
所以(－2n，－2m)不是“共生有理数对”．
类型三　有理数运算的实际运用
13．(12分)某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的路上连续接送5批客人，行驶路程分别为＋5，＋2，－4，－3，＋10 (规定向东为正，向西为负，单位：km)．
(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多远？
(2)若该出租车每千米耗油0.2 L，则在这个过程中共耗油多少？
(3)若该出租车的计价标准为行驶路程不超过3 km收费10元，超过3 km的部分按每千米1.8元收费，在这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？
解：(1)5＋2＋(－4)＋(－3)＋10＝10(km)．
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的正东方向10 km处．
(2)(5＋2＋|－4|＋|－3|＋10)×0.2＝24×0.2＝4.8(L)．
答：在这个过程中共耗油4.8 L.
(3)[10＋(5－3)×1.8]＋10＋[10＋(4－3)×1.8]＋10＋[10＋(10－3)×1.8]＝68(元)．
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．
14．(12分)某商场老板以每件30元的价格购进30件儿童服装，针对不同的款式，30件儿童服装的售价不完全相同．若以45元为标准，售价超出45元的部分记为正数，不足45元的部分记为负数．记录结果如表所示：
售出件数/件 7 6 3 5 4 5
售价/元 ＋3 ＋2 ＋1 0 －1 －2
(1)在销售这30件儿童服装中，价格最高的一件比价格最低的一件多多少元？
(2)与标准售价相比，30件儿童服装的总售价超出或不足多少元？
(3)该商场在售完这30件儿童服装后，共赚了多少钱？
解：(1)因为3＞2＞1＞0＞－1＞－2，
所以价格最高的一件售价为45＋3＝48(元)，
价格最低的一件售价为45－2＝43(元)．
48－43＝5(元)．
答：价格最高的一件比价格最低的一件多5元．
(2)7×3＋6×2＋3×1＋5×0＋4×(－1)＋5×(－2)＝22(元)．
答：总售价超出22元．
(3)(45－30)×30＝450(元)，
450＋22＝472(元)．
答：共赚了472元．
15．(10分)11月1～7日某农产品每天的批发价格比前一天价格的涨跌情况如表所示．(正数表示价格比前一天上涨的部分，负数表示价格比前一天下跌的部分，10月31日该农产品的批发价格为3元/千克)
日期 11月1日 11月2日 11月3日 11月4日 11月5日 11月6日 11月7日
相比前一天价格的涨跌情况/(元/千克) ＋0.2 －0.3 －0.1 ＋0.2 ＋0.4 －0.3 －0.2
(1)与10月31日相比，到11月7日，该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
(2)11月　5　日，该农产品的批发价格最高，批发价格是　3.4　元/千克；11月　3　日，该农产品的批发价格最低，批发价格是　2.8　元/千克．
解：(1)11月1日的价格为3＋0.2＝3.2(元)；
11月2日的价格为3.2＋(－0.3)＝2.9(元)；
11月3日的价格为2.9＋(－0.1)＝2.8(元)；
11月4日的价格为2.8＋(＋0.2)＝3.0(元)；
11月5日的价格为3.0＋(＋0.4)＝3.4(元)；
11月6日的价格为3.4＋(－0.3)＝3.1(元)；
11月7日的价格为3.1＋(－0.2)＝2.9(元)．
因为2.9＜3，3－2.9＝0.1(元)，
所以与10月31日相比，到11月7日，该农产品的批发价格下降了，下降了0.1元．
(2)由(1)知11月5日，该农产品的批发价格最高，批发价格是3.4元/千克；
11月3日，该农产品的批发价格最低，批发价格是2.8元/千克．
故答案为：5；3.4；3；2.8.
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