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专项突破提升(二)
代数式与整式
类型一　 列代数式
1．(4分)一个两位数，个位数字是x，十位数字比个位数字大1，则这个两位数是(　C　)
A．x＋1＋1 B．10x＋x＋1
C．10(x＋1)＋x D．(x＋1)x
2．(4分)某工厂第一季度的产值为m万元，第二季度比第一季度增加x%，则第二季度的产值为(　C　)
A．m·x%万元 B．(m＋x%)万元
C．m(1＋x%)万元 D．m(1－x%)万元
3．(4分)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第4个图案中有　14　个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有　(3n＋2)　(用含n的代数式表示)个涂有阴影的小正方形．
4．(10分)四人做传数游戏，小郑任意报一个数给小丁，小丁把这个数加3后传给小红，小红再把所得的数乘2后传给小童，小童把所听到的数减1后报出答案．
(1)如果小郑所报的数为x，请把小童最后所报的答案用代数式表示出来；
(2)若小郑报的数为9，则小童的答案是多少？
解：(1)小郑所报的数为x，则小丁所报的数为(x＋3)，小红所报的数为2(x＋3)，小童最后所报的数为2(x＋3)－1.
(2)当x＝9时，2(x＋3)－1＝2×(9＋3)－1＝23.
所以若小郑报的数为9，则小童的答案是23.
5．(10分)用火柴棒按如图的方式搭图形．
图1　　　图2　　　　　图3
(1)按图示规律完成下表：
图形 1 2 3 4 5 …
火柴棒根数 5 9 13 17 21 …
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 　(4n＋1)　根火柴棒．(用含n的代数式表示)
(3)小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．
解：(3)不可能．理由如下：
设第n个图形用了200根火柴棒，其中n为正整数，
则4n＋1＝200，
解得n＝，不符合题意，舍去．
故小静同学不可能用200根火柴棒按这种方式搭出来一个图形．
类型二　求代数式的值
6．(12分)某校为培养学生的劳动品质，在校园开辟了劳动教育基地．已知该劳动教育基地有一块长方形和一块正方形的试验田，长方形试验田每列种植10株豌豆幼苗，种植了(9a2－b2)列，正方形试验田种植了＋2ab＋b2＋1)株豌豆幼苗．
(1)该劳动教育基地的这两块试验田一共种植了多少株豌豆幼苗？(用含a，b的代数式表示并化简)
(2)当a＝2，b＝5时，求该劳动教育基地的这两块试验田一共种植了多少株豌豆幼苗．
解：(1)由题意，得＋2ab＋b2＋1)
＝90a2－10b2－90a2＋20ab＋10b2＋10
＝(20ab＋10)株．
答：该劳动教育基地的这两块试验田一共种植了(20ab＋10)株豌豆幼苗．
(2)当a＝2，b＝5时，原式＝20×2×5＋10＝200＋10＝210(株)．
答：该劳动教育基地的这两块试验田一共种植了210株豌豆幼苗．
7．(12分)阅读并回答下列问题．
有这样一个故事：一个国王打算奖赏宰相．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张国际象棋棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全国甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？
即求1＋2＋22＋23＋24＋…＋263的值．如何求它的值呢？
设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋263，①
则2S＝2(1＋2＋22＋23＋24＋…＋263)＝2＋22＋23＋24＋…＋263＋264.②
②－①，得S＝264－1．
(1)求1＋5＋52＋53＋54＋…＋52 025的值；
(2)如图，一棵树的枝干都用线段表示，最下方的一条线段表示初始树干，第一次生长，原树干向上长出三根“树枝”，第二次生长，各树枝再次长出三根“树枝”，按此规律继续生长，第n次生长后，这棵树的枝干共有多少根？(假设每次生长，新长出来的三根树枝都不和生长前的枝干共线)
解：(1)令S＝1＋5＋52＋53＋54＋…＋52 025，①
则5S＝5＋52＋53＋54＋55＋…＋52 025＋52 026.②
②－①，得4S＝52 026－1.
所以S＝，即1＋5＋52＋53＋54＋…＋52 025的值为.
(2)根据题意，得第n次生长后，这棵树的枝干共有(1＋31＋32＋33＋34＋…＋3n)根．
令S＝1＋31＋32＋33＋34＋…＋3n，①
则3S＝31＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n+1.②
②－①，得2S＝3n+1－1.
所以S＝，即1＋31＋32＋33＋34＋…＋3n的值为.
所以第n次生长后，这棵树的枝干共有根．
8．(10分)为了响应国家乡村振兴战略，李伯伯计划改造自己家的四间窑洞，图为改造后的一个新窗户示意图，新窗户由框架和中间的玻璃组成，其上部是直径为a m的半圆形，下部是边长为a m的正方形．
(1)列式表示这个窗户的面积：　　m2；(用含a的代数式表示)
(2)列式表示这个窗户框架的总长：　　m；(即上部半圆弧长＋下部正方形周长，用含a的代数式表示)
(3)这个窗户的费用由两部分组成，一是框架的费用，二是玻璃的费用，已知框架每米20元，玻璃每平方米40元．若a＝1.2，π取3，请你计算这个窗户的费用．
解：(1)根据题意，得这个窗户的面积为a2＋π×＝m2.
故答案为：.
(3)根据题意，得这个窗户的费用为40×＋20×
≈40×(1.22＋×3×1.22)＋20×(4×1.2＋×3×1.2)＝211.2(元)．
答：这个窗户的费用约为211.2元．
9．(12分)数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要．例如，已知a2＋2a＝2，则代数式2a2＋4a＋3＝2(a2＋2a)＋3＝2×2＋3＝7．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若x2－3x＝4，求1－x2＋3x的值；
(2)当x＝1时，代数式px3＋qx－1的值是5，求当x＝－1时，代数式px3＋qx－1的值；
(3)当x＝2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx＋6的值为m，求当x＝－2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx＋6的值．(用含m的代数式表示)
解：(1)因为x2－3x＝4，
所以1－x2＋3x＝1－(x2－3x)＝1－4＝－3.
(2)当x＝1时，代数式px3＋qx－1的值是5，即p＋q－1＝5.
所以p＋q＝6.
所以当x＝－1时，px3＋qx－1＝－p－q－1＝－(p＋q)－1＝－6－1＝－7.
(3)因为当x＝2 025时，代数式ax5＋bx3＋cx＋6的值为m，
即2 0255a＋2 0253b＋2 025c＋6＝m.
所以2 0255a＋2 0253b＋2 025c＝m－6.
所以当x＝－2 025时，ax5＋bx3＋cx＋6
＝(－2 025)5a＋(－2 025)3b＋(－2 025)c＋6
＝－(2 0255a＋2 0253b＋2 025c)＋6
＝－(m－6)＋6＝－m＋12.
类型三　整式的加减
10．(8分)(1)化简：5(3a2b－ab2)－4(－ab2＋3a2b)；
(2)先化简，再求值：5x2－2(3y2＋6x)＋(2y2－5x2)，其中x＝，y＝－．
解：(1)原式＝15a2b－5ab2＋4ab2－12a2b＝3a2b－ab2.
(2)原式＝5x2－6y2－12x＋2y2－5x2＝－12x.
当x＝，y＝－时，原式＝－4×－12×＝－1－4＝－5.
11．(8分)已知整式M＝x2＋5ax－3x－1，整式M与整式N之差是3x2＋4ax－x．
(1)求整式N；
(2)若a是常数，且2M＋N的值与x无关，求a的值．
解：(1)N＝(x2＋5ax－3x－1)－(3x2＋4ax－x)
＝x2＋5ax－3x－1－3x2－4ax＋x
＝－2x2＋ax－2x－1.
(2)因为M＝x2＋5ax－3x－1，N＝＋ax－2x－1，
所以2M＋N＝＋ax－2x－1)
＝2x2＋10ax－6x－2－2x2＋ax－2x－1
＝(11a－8)x－3.
因为结果与x无关，所以11a－8＝0，
解得a＝.
12．(10分)小亮准备完成题目：化简：(□x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“□”印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题正确答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几．
解：(1)(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)
＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6.
(2)设“□”是a，
则原式＝(ax2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)
＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2
＝(a－5)x2＋6.
因为正确答案的结果是常数，
所以a－5＝0，解得a＝5.
所以原题中“□”是5.
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