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专项突破提升(三)
利用方程思想解决实际问题
类型一　几何问题
1．(10分)有一种用来画圆的工具板(如图所示)，工具板长21 cm，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为3 cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2 cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5 cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5 cm，相邻两圆的间距d均相等．
(1)直接写出其余四个圆的直径长；
(2)求相邻两圆的间距．
解：(1)其余四个圆的直径长依次为2.8 cm，2.6 cm，2.4 cm，2.2 cm.
(2)由题意，得4d＋1.5＋1.5＋3＋2.8＋2.6＋2.4＋2.2＝21，
所以4d＋16＝21，
解得d＝.
故相邻两圆的间距为 cm.
类型二　销售问题
2．(10分)剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)．有关销售策略与售价信息如下表所示：
老式剃须刀 新式剃须刀
刀架 刀片
售价 2.5(元/把) 10(元/把) 0.55(元/片)
成本 2(元/把) 5(元/把) 0.05(元/片)
某段时间内，甲厂家销售了8 400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的2倍，问：这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？
解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架，50x片刀片．
由题意，得(10－5)x＋(0.55－0.05)·50x＝2×8 400×(2.5－2)，
即30x＝8 400，
解得x＝280.
50x＝14 000.
答：这段时间内乙厂家销售了280把刀架，14 000片刀片．
类型三　积分问题
3．(8分)某校七年级有12个班．在学校组织的七年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜、负场数分别是多少？
解：设胜x场，则负(11－x)场．
由题意，得2x＋1·(11－x)＝18，
解得x＝7.
所以11－x＝11－7＝4.
答：这个班的胜、负场数分别是7和4.
类型四　行程问题
4．(8分)某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道应用题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40 km，摩托车的速度为45 km/h，载货汽车的速度为35 km/h，？”(阴影部分是被墨水覆盖的若干文字)请你将这道作业题补充完整，并列方程解答．
解：答案不唯一，可补充：载货汽车和摩托车分别从两地同时出发，相向而行，问：两车出发后几小时相遇？
设两车出发后x h相遇．
根据题意，得45x＋35x＝40，
解得x＝.
答：两车出发后 h相遇．
类型五　工程问题
5．(8分)某工程公司要在某市铺设一条地下天然气管道，为使工程提前5天完成，需将原定的工作效率提高10%，那么原计划完成这项工程需要多少天？
解：设原计划完成这项工程需要x天，原来的工作效率为1.
根据题意，得1·x＝(1＋10%)(x－5)，
解得x＝55.
答：原计划完成这项工程需要55天．
6．(12分)某中学有若干套损坏的桌椅，现有甲、乙两名木工，甲每天可以修桌椅16套，乙每天比甲多修桌椅8套，甲单独修完这些桌椅比乙单独修完多用10天，学校每天付甲80元修理费，付乙120元修理费．
(1)这批损坏的桌椅有多少套？(列方程解答)
(2)在修理过程中，学校要派一名工作人员进行质量监督，学校负担他每天30元生活补助费，现有两种修理方案：
①由乙单独修理；
②甲、乙合作共同修理．
你认为哪种方案省钱？试通过计算说明．
解：(1)设这批损坏的桌椅有x套．
由题意，得＝10，
解得x＝480.
答：这批损坏的桌椅有480套．
(2)方案①：由乙单独修理，需480÷(16＋8)＝20(天)，
则学校应付20×120＋20×30＝3 000(元)．
方案②：由甲、乙共同修理，需480÷(16＋16＋8)＝12(天)，
则学校应付(80＋120)×12＋12×30＝2 760(元)．
因为3 000＞2 760，
所以方案②由甲、乙合作共同修理省钱．
类型六　配套问题
7．(8分)某加工车间有27名工人，平均每人每天可加工小齿轮12个或大齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问：分别安排多少名工人生产大、小齿轮能使每天加工的齿轮刚好配套？共可做成多少套？
解：设安排x名工人加工大齿轮，安排(27－x)名工人加工小齿轮．
依题意，得2×12×(27－x)＝3×10x，
解得x＝12.
所以27－x＝15.
10×12÷2＝60.
答：安排12名工人生产大齿轮，15名工人生产小齿轮，能使每天加工的齿轮刚好配套，共可做成60套．
8．(8分)制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1 m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿．现在有30 m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
解：设共制作x张桌子，则桌面需要的木材为x m3，桌腿需要的木材为4×x m3.
由题意，得x＋4×x＝30，
解得x＝500.
所以x＝×500＝25.
30－25＝5.
答：用25 m3木材制作桌面、5 m3木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子．
类型七　古文问题
9．(4分)《九章算术》是中国古代的一部数学著作，其中记载了一道有趣的题，其译文大意为：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问：经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为(　A　)
A．x＝1 B．x＝1
C．(9－7)x＝1 D．(9＋7)x＝1
10．(8分)古代有一个数学问题，其译文大意为：甲从长安出发，8日到齐国；乙从齐国出发，6日到长安．现甲先出发1日，乙才从齐国出发．问：甲、乙经过多少日相逢？
解：设乙出发x日，甲、乙相逢，则甲出发(x＋1)日．
根据题意，得＝1，
解得x＝3.
所以x＋1＝4.
答：甲出发4日与乙相逢．
类型八　分段计费问题
11．(10分)我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，很多城市制定了用水收费标准．A市规定了每户每月的标准用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过标准用水量的部分按每立方米3元收费．该市张大爷家5月用水9 m3，需缴费16.2元．A市规定的每户每月标准用水量是多少？
解：因为9×1.2＝10.8＜16.2，
所以张大爷家5月用水超过标准用水量．
设每户每月标准用水量是x m3.
根据题意，得1.2x＋3(9－x)＝16.2，
解得x＝6.
答：A市规定的每户每月标准用水量是6 m3.
类型九　方案设计问题
12．(12分)某乳制品厂，现有鲜牛奶10 t，若直接销售，每吨可获利500元；若制成酸奶销售，每吨可获利1 200元；若制成奶粉销售，每吨可获利2 000元．该工厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工鲜牛奶3 t；若制成奶粉，每天可加工鲜牛奶1 t(两种加工方式不能同时进行)．受气温条件限制，这批鲜牛奶必须在4天内全部销售或加工完成．为此该厂设计了以下两种可行方案：
方案一：4天时间全部用来生产奶粉，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成．
你认为哪种方案获利更多，为什么？
解：方案二获利更多．理由如下：
方案一：4×2 000＋6×500＝11 000(元)．
方案二：设制奶粉x天，则x＋3(4－x)＝10，
解得x＝1.
故1×1×2 000＋3×3×1 200＝12 800(元)．
因为12 800＞11 000，
所以方案二获利更多．
类型十　与数轴结合
13．(14分)如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝10，a＋b＝70，ab＞0．
(1)直接写出a＝　10　，b＝　60　．
(2)现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．
①两只蚂蚁经过多长时间相遇？
②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数．
③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
解：(2)①设蚂蚁Q从点B出发t s与蚂蚁P相遇．
根据题意，得5t－3t＝60－10，解得t＝25.
故两只蚂蚁经过25 s相遇．
②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，则点C对应的数为10＋5×25＝135.
③根据题意，得
相遇前：5t－3t＝60－10－20，解得t＝15；
相遇后：5t－3t＝60－10＋20，解得t＝35.
故经过15 s或35 s，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
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