资源简介

专项突破提升(四)
基本的几何图形
类型一　图形的认识
1．(4分)下列物体的形状类似于圆柱的是(　D　)
2．(4分)不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征，甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有6条棱，则该模型对应的立体图形可能是(　C　)
A．三棱柱 B．四棱柱
C．三棱锥 D．四棱锥
3．(4分)《雨不绝》是唐代诗人杜甫的作品，其中有诗句：鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞．译文：喧哗的雨已经过去、逐渐变得细微，映着天空摇漾的是如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为　点动成线　．
类型二　直线和线段的性质
4．(4分)曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，两地间修建曲桥与修建直桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是(　A　)
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．经过一点可以作无数条直线
D．连接两点间线段的长度，叫作两点间的距离
5．(4分)如图，射击运动员在瞄准时，总是用一只眼瞄准准星和目标，这种现象用数学知识解释为　两点确定一条直线　．
6．(10分)已知平面上点A，B，C，D(每三点都不在一条直线上)．
(1)经过这四点最多能确定　6　条直线；
(2)如图，这四点表示某公园的四个地方，如果点B，C在该公园的湖的两岸，点A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路线中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？
解：(1)经过这四点最多能确定6条直线，分别为直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，直线BD.
故答案为：6.
(2)从节省材料的角度考虑，应选择图中路线②；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①.
因为两点之间线段最短，路线②比路线①短，可以节省材料；而路线①较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光．
7．(10分)知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：如图1，从教学楼到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：如图2，A，B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问：抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由．
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
图1
图2
解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：如图，连接AB交直线l于点P，则点P即为所求．
理由：两点间所有连线中，线段最短．
赞同情景二中运用知识的做法．应用数学知识为人类服务时应注意不能以破坏环境为代价(答案不唯一，合理即可)．
类型三　线段和直线规律的探索
8．(4分)如图，我们通过观察后可以发现：2条直线相交，有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点．那么，4条直线相交，最多有　6　个交点；n条直线相交，最多有　n(n－1)　(用含n的代数式表示)个交点．
9．(12分)观察图形，并回答下列问题：
(1)图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．
(2)请你用上面的思路来解决“15名同学聚会，每人都与其他人握一次手，共握了多少次？”这个问题．
(3)若15名同学聚会，每人都送给其他人一张名片，则共送了几张？
解：(1)以A为端点的线段有AB，AC，AD，AE 4条；
以B为端点且与前面不重复的线段有BC，BD，BE 3条；
以C为端点且与前面不重复的线段有CD，CE 2条；
以D为端点且与前面不重复的线段有DE 1条．
所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．或直接利用公式，当n＝5时，＝10(条)．
所以图中共有10条线段．
(2)由上面结论可知15×14÷2＝105(次)．
答：共握了105次．
(3)15×14＝210(张)．
答：共送了210张．
类型四　线段的有关计算
10．(10分)我们知道，比较两条线段的长短有两种方法：一种是度量法，是用刻度尺量出它们的长度，再进行比较；另一种方法是叠合法，就是把其中的一条线段移到另一条线段上去，使其中的一个端点重合在一起再加以比较．
(1)已知线段AB，C是线段AB上一点(如图1)．请你应用叠合法，用尺规作图的方法，比较线段AC与BC的长短(要求保留作图痕迹)．
(2)如图2，小明用刻度尺量得AC＝4 cm，BC＝3 cm.若D是AC的中点，E是BC的中点，求DE的长．
图1
图2
解：(1)如图，AB′＝BC，则AC>BC.
(2)因为AC＝4 cm，BC＝3 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，
所以CD＝AC＝×4＝2(cm)，CE＝BC＝×3＝1.5(cm)．
所以DE＝CD＋CE＝2＋1.5＝3.5(cm)．
11．(10分)如图，有两根木条，一根AB长为80 cm，另一根CD长为130 cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N(圆孔直径忽略不计，M，N抽象成两个点)，将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是多少？
解：本题有两种情形：
①如图1，当A，C(或B，D)重合，且剩余两端点在重合点同侧时，
图1
MN＝CN－AM＝CD－AB＝65－40＝25(cm)；
②如图2，当B，C(或A，C)重合，且剩余两端点在重合点两侧时，
图2
MN＝CN＋BM＝CD＋AB＝65＋40＝105(cm)．
综上，两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或105 cm.
12．(12分)如图，已知线段AB＝15 cm，CD＝3 cm，E是AC的中点，F是BD的中点．
(1)若AC＝4 cm，求线段CF的长．
(2)当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时(点C，D不与点A，B重合)，试判断线段EF的长度是否发生变化．若不变，请求出线段EF的长；若变化，请说明理由．
解：(1)根据题意，得AC＝4 cm，CD＝3 cm，AB＝15 cm，
所以BD＝AB－AC－CD＝15－4－3＝8(cm)．
因为F是BD的中点，
所以DF＝BD＝4 cm.
所以CF＝CD＋DF＝3＋4＝7(cm)．
(2)线段EF的长度不发生变化．
因为E是AC的中点，F是BD的中点，
所以AE＝AC，BF＝BD.
所以EF＝AB－AE－BF＝AB－AC－BD＝AB－(AC＋BD)＝15－×(15－3)＝15－×12＝9(cm)．
13．(10分)如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP∶BP＝2∶3.若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，求绳子的原长．
解：本题有两种情形：
①当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图1.
图1
因为AP∶BP＝2∶3，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，
所以2AP＝60 cm.
所以AP＝30 cm.
所以BP＝45 cm.
所以绳子的原长为2AB＝2(AP＋BP)＝2×(30＋45)＝150(cm)．
②当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图2.
图2
因为AP∶BP＝2∶3，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，
所以2BP＝60 cm.
所以BP＝30 cm.
所以AP＝20 cm.
所以绳子的原长为2AB＝2(AP＋BP)＝2×(20＋30)＝100(cm)．
综上，绳子的原长为150 cm或100 cm.
类型五　角度的计算
14．(12分)在∠AOB内部作射线OC，OD，OA在OB的右侧，且∠AOB＝2∠COD.
(1)如图1，若∠AOB＝140°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，则∠EOF的度数为　105°　；
(2)如图2，若OE平分∠BOD，探究∠AOD与∠COE之间的数量关系，并说明理由；
(3)设∠COD＝m°，OC在OD的左侧，过点O作射线OE，使OC为∠BOE的平分线，再作∠COD的平分线OF.若∠COE＝3∠EOF，画出相应的图形并求出∠BOE的度数．(用含m的代数式表示)
图1
　　
图2
解：(2)∠AOD＝2∠COE.理由如下：
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE＝∠BOD.
根据角的和差可得∠AOD＝∠AOB－∠BOD，
∠COE＝∠COD－∠DOE＝∠AOB－∠BOD＝(∠AOB－∠BOD)，
所以∠COE＝∠AOD.
所以∠AOD＝2∠COE.
(3)①如图1，当OF在∠COE外部时．
图1
设∠EOF＝n，则∠COE＝3n，∠COF＝∠COE＋∠EOF＝4n.
因为OC平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠COE＝6n.
因为OF平分∠COD，
所以∠COD＝2∠COF＝8n，即8n＝m°.
所以∠BOE＝m°.
②如图2，当OF在∠COE内部时．
图2
设∠EOF＝n，则∠COE＝3n，
∠COF＝∠COE－∠EOF＝2n.
因为OC平分∠BOE，
所以∠BOE＝2∠COE＝6n.
因为OF平分∠COD，
所以∠COD＝2∠COF＝4n，即4n＝m°.
所以∠BOE＝m°.
综上，∠BOE的度数为m°或m°.
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