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思想方法集锦
方法一　分类讨论思想
1．(4分)已知线段AB＝60，C为线段AB的中点，D为射线CB上的一点，E为线段BD的中点，且线段EB＝5，则线段CD的长为(　D　)
A．20　 B．30　
C．40 D．20或40
2．(4分)点A，B，C在同一条直线上，AB＝6 cm，BC＝2 cm，M为AB的中点，N为BC的中点，则MN的长度为(　C　)
A．2 cm　 B．4 cm　
C．2 cm或4 cm D．不能确定
3．(4分)已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为　7或3　．
4．(10分)已知|x|＋4＝12，|y|＋3＝5.
(1)求x，y的取值；
(2)当x－y＜0，求2x＋y的值．
解：(1)因为|x|＋4＝12，|y|＋3＝5，
所以|x|＝8，|y|＝2.
所以x＝±8，y＝±2.
(2)因为x－y＜0，
所以x＝－8，y＝2或x＝－8，y＝－2.
当x＝－8，y＝2时，2x＋y＝2×(－8)＋2＝－14；
当x＝－8，y＝－2时，2x＋y＝2×(－8)＋(－2)＝－18.
综上，2x＋y的值为－14或－18.
方法二　数形结合思想
5．(4分)已知a，b，c的大致位置如图所示，化简：|a＋c|＋|b－c|－|a－b|的结果是(　D　)
A．2a＋2c－2b B．0　
C．2c－2b　 D．2c
6．(4分)有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a－|b－a|＝　b　．
7．(4分)在数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示，则化简|a－b|－|a＋b|的结果是　2b　．
8．(12分)如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c.
(1)填空：a－b　<　0，a＋c　<　0，b－c　<　0；(均填“＞”“＜”或“＝”)
(2)化简：|a－b|－|a－c|＋|b－c|.
解：(2)原式＝b－a＋a－c＋c－b＝0.
方法三　整体思想
9．(4分)如果x2y＋1＝0，那么代数式2－3(x2y＋xy)＋的值为　　．
10．(4分)若a2＋2ab＝4，b2－3ab＝－2，则2a2＋b2＋ab＝　6　．
11．(4分)当a＋b＝3时，代数式2(a＋2b)－(3a＋5b)＋5的值为　2　．
方法四　方程思想
12．(4分)已知一个长方形的周长为30 cm，若长方形的长减少1 cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为x cm，则可列方程为(　A　)
A．x－1＝2(15－x)
B．x－1＝2(30－x)
C．x－1＝(15－x)　　
D．x－1＝(30－x)
13．(4分)买两种布料共138 m，花了540元，其中蓝布料每米3元，黑布料每米5元，两种布料各买了多少米？设买蓝布料买了x m，列方程正确的是(　A　)
A．3x＋5(138－x)＝540　
B．5x＋3(138－x)＝540
C．3x＋5(540－x)＝138　　
D．5x＋3(540－x)＝138
14．(4分)学校手工剪纸社团制作一批灯笼，若每人制作4个，则还差12个，若每人制作5个，则多18个．若设共需要制作x个灯笼，则可列方程为(　C　)
A．＋12＝－18
B．－12＝＋18
C．＝
D．＝
15．(4分)某车间26名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产13个螺栓或19个螺母，1个螺栓需要2个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程为(　B　)
A．13x＝19(26－x)　　
B．2×13x＝19(26－x)
C．13×19x＝19(26－x)　
D．13x＝2×19(26－x)
16．(4分)一项工程甲单独做要20 h，乙单独做要12 h．现在先由甲单独做5 h，然后甲、乙合作完成．问：完成整个工程一共需要多少小时？设一共需要x h，则可列方程为　×5＋×(x－5)＝1　．
17．(4分)一架飞机在两个城市间飞行，顺风飞行需4 h，逆风飞行需5 h，如果风速是30 km/h，设两个城市的距离是x km，则可列方程为　－30＝＋30　．
18．(14分)新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动，优惠方式如下：
甲商店：买1个挂件送1个徽章；
乙商店：挂件和徽章都按8折(标价的80%)出售．
如果学校计划订购挂件30个，徽章若干(多于30个)．
(1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需　1 300　元；
(2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同？
(3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由．
解：(2)设当订购x(x＞30)个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同．
根据题意，得40×30＋20(x－30)＝40×80%×30＋20×80%x，
解得x＝90.
答：当订购90个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同．
(3)最省钱的订购方案为：在甲商店订购挂件30个、徽章30个，在乙商店订购徽章70个．理由如下：
方案1：只在甲商店订购，所需费用为40×30＋20×(100－30)＝2 600(元)；
方案2：只在乙商店订购，所需费用为40×80%×30＋20×80%×100＝2 560(元)；
方案3：在甲商店订购挂件30个、徽章30个，在乙商店订购徽章100－30＝70(个)，所需费用为40×30＋20×80%×70＝2 320(元)．
因为2 600＞2 560＞2 320，
所以最省钱的订购方案为：在甲商店订购挂件30个、徽章30个，在乙商店订购徽章70个．
19．(12分)李明从家里骑摩托车匀速行驶到火车站，如果每小时行50 km，那么将比火车的开车时间晚15 min到火车站；若每小时行60 km，则比火车的开车时间晚5 min到火车站．
(1)求李明家到火车站的距离；
(2)现在李明打算在火车开车前5 min到达火车站，那么他骑摩托车的速度应该是多少？
解：(1)设李明家到火车站的距离是x km，
则＝，
解得x＝50.
答：李明家到火车站的距离是50 km.
(2)若李明打算在火车开车前5 min到达火车站，那么他骑摩托车的速度应该是50÷＝75 km/h.
答：他骑摩托车的速度应该是75 km/h.
方法五　由特殊到一般的思想
20．(12分)如图是一个三角形，现分别连接这个三角形三边的中点将这个三角形分割成4个较小的三角形(即分割成四部分)得到图1，再连接中间这个三角形三边的中点继续将它分割得到图2；再继续连接最中心三角形三边的中点将它分割得到图3.
(1)图1中大三角形被分割成　4　个三角形；图2中大三角形被分割成　7　个三角形；
(2)按上面的方法继续分割下去，第10个图形被分割成几个三角形？第n个图形呢(用含n的代数式表示结论)
解：(2)第10个图形被分割成3×10＋1＝31(个)三角形；第n个图形被分割成(3n＋1)个三角形．
21．(10分)观察式子，解答下列问题：
第1个式子：13×17＝221＝1×2×100＋21，
第2个式子：23×27＝621＝2×3×100＋21，
第3个式子：33×37＝1 221＝________________，
……
(1)观察算式规律，补全第3个式子：　3×4×100＋21　；
(2)写出第n个式子；
(3)利用发现的规律，直接写出第11个式子：　113×117＝13 221＝11×12×100＋21　．
解：(2)(10n＋3)×(10n＋7)＝n(n＋1)×100＋21.
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