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创新考向集训
创新考向一　规律探究
1．(4分)如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一个顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为2的顶点上时，那么他应走2个边长，即走2→3→4为第一次“移位”，这时他到达编号为4的顶点，接下来他应走4个边长，即走4→5→1→2→3为第二次“移位”．若小明从编号为1的顶点开始，第2 024次“移位”后，则他所处顶点的编号为(　A　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
2．(4分)现有一列数：a1，a2，a3，a4，…，an－1，an(n为正整数)，规定a1＝2，a2－a1＝4，a3－a2＝6，…，an－an－1＝2n(n≥2)．若＋…＋＝，则n的值为(　D　)
A．2 017 B．2 021　
C．2 022 D．2 025
创新考向二　传统文化
3．(4分)《九章算术》中有一道题，译文大意为：现在有若干人共同买一只羊，若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为　7x＋3＝8x－16　．
4．(4分)我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，译文大意为：100匹马拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马和多少匹小马？设大马有x匹，那么可列方程为　3x＋(100－x)＝100　．
创新考向三　推理论证
5．(8分)如图，线段AB＝19，BC＝15，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN∶NB＝2∶3，求MN的长．
解：因为AB＝19，BC＝15，
所以AC＝AB－BC＝4.
因为M是AC的中点，
所以AM＝CM＝AC＝2.
因为BC＝15＝CN＋NB，CN∶NB＝2∶3，
所以CN＝BC＝6.
所以MN＝MC＋CN＝8.
创新考向四　新定义
6．(12分)阅读材料，完成相关题目．
老师说：“我定义了一种新的运算，叫※(加乘)运算．”
老师写出了一些按照※(加乘)运算法则进行运算的式子：(＋2)※(＋4)＝＋6；(－3)※(－4)＝＋7；(－2)※(＋3)＝－5；(＋4)※(－8)＝－12；0※(＋9)＝＋9；(－7)※0＝＋7.
小明看完算式后说：“我知道老师定义的※(加乘)运算法则了．”聪明的你看出来了吗？
(1)归纳※(加乘)运算法则：
两数进行※(加乘)运算时，同号得　正　，异号得　负　，并把绝对值　相加　；特别是0和任何数进行※(加乘)运算时都等于这个数的绝对值；
(2)求－5※[0※(－3)]的值；
(3)若(4－2b)※(|a|－1)＝0，求a＋b的值．
解：(2)(－5)※[0※(－3)]
＝(－5)※3
＝－(5＋3)
＝－8.
(3)当|a|≠1时，|4－2b|＋||a|－1|＝0，得b＝2，|a|＝1，此种情况舍去．
当|a|＝1时，|4－2b|＝0，得b＝2，
即b＝2，a＝±1.
当a＝1，b＝2时，a＋b＝3；
当a＝－1，b＝2时，a＋b＝1.
7．(12分)设n！表示自然数由1到n的连乘积，并规定0！＝＝＝(n≥0，n≥m)．例如，1！＝1，2！＝1×2＝2，3！＝1×2×3＝＝＝＝＝＝＝15，请回答下列问题：
(1)求；
(2)试根据，2！的值写出，2！满足的等量关系，根据，3！的值写出，3！满足的等量关系，根据，4！的值写出，4！满足的等量关系；
(3)探究与m！之间的等量关系并加以说明．
解：＝＝＝3，
＝＝＝6.
(2)由＝＝6，2！＝2，
得＝2！.
同理，得＝3！；＝4！.
(3)由(2)，得＝m！.说明如下：
＝＝，
所以m！＝m！×＝＝.
8．(12分)[阅读理解]
(1)规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个，规定符号(a，b)表示a，b两个数中较小的一个．例如，[2，1]＝2，(2，1)＝1.请计算：[－2，1]＋的值．
[尝试应用]
(2)若[a，a＋2]＋(－2a，－2a－1)＝4，求a的值．
[拓展探究]
(3)若[－3n－1，－3n＋1]－(m，m＋1)＝1，试求代数式(m＋3n)3－3m－9n＋8的值．
解：(1)[－2，1]＋
＝1＋
＝.
(2)因为a＜a＋2，－2a＞－2a－1，
所以[a，a＋2]＋(－2a，－2a－1)
＝a＋2＋(－2a－1)
＝a＋2－2a－1
＝－a＋1.
所以－a＋1＝4.
所以a＝－3.
(3)因为－3n－1＜－3n＋1，m＜m＋1，
所以[－3n－1，－3n＋1]－(m，m＋1)
＝－3n＋1－m＝1.
所以m＋3n＝0.
所以原式＝03－3(m＋3n)＋8＝8.
创新考向五　阅读感悟
9．(12分)[概念学习]
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方，如2÷2÷2等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2 记作23，读作“2的下3次方”．一般地，把n个a(a≠0)相除记作an，读作“a的下n次方”．
[初步探究]
(1)关于除方，下列说法正确的有　①②　．(填序号)
①对于任何非零数a，a2＝1；
②对于任何正整数n，1n＝1；
③23＝32；
④在an中，若a＜0，当n为奇数时，an＞0；当n为偶数时，an＜0.
[深入思考]
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如，24＝2÷2÷2÷2＝2×＝.
(2)试一试：将35转化为乘方运算．
(3)算一算：42×23＋.
解：(2)35＝3÷3÷3÷3÷3＝3×＝.
(3)42×23＋＝1×8＋(－2)3＝8－8＝0.
创新考向六　方案设计
10．(14分)2023年10月5日，杭州第19届亚运会女子篮球决赛，中国队战胜日本队，夺得金牌，这则消息提升了青少年参加篮球运动的热情．某体育用品商店抓住时机，对甲、乙两品牌篮球开展促销活动，已知甲、乙两品牌篮球的标价分别是160元/个，60元/个，现有如下两种优惠方案：
方案一：不购买会员卡，甲品牌篮球享受8.5折优惠，乙品牌篮球5个以下按标价购买，买5个(含5个)以上时所有篮球享受8.5折优惠．
方案二：办理一张会员卡100元，会员卡只限本人使用，全部商品享受7.5折优惠．
(1)若购买甲品牌篮球5个，乙品牌篮球3个，哪一种方案更优惠？优惠多少元？
(2)若购买甲品牌篮球若干个，乙品牌篮球6个，且方案一与方案二所付钱数一样多，求购买甲品牌篮球的个数．
解：(1)方案一的费用为160×0.85×5＋60×3＝860(元)，
方案二的费用为100＋0.75×(160×5＋60×3)＝835(元)，
860－835＝25(元)．
所以方案二更优惠，优惠25元．
(2)设购买甲品牌篮球x个．
由题意，得160×0.85x＋60×0.85×6＝100＋0.75(160x＋60×6)，
解得x＝4.
答：购买甲品牌篮球4个．
创新考向七　探究开放
11．(14分)[问题情境]
数轴上表示整数的点称为“整点”，以1 cm 的长度为单位长度建立数轴．一根木棒如图1所示放置在数轴上．
(1)如图2，木棒的左端与数轴上的整点A重合，右端与整点B重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到整点B时，它的右端在数轴上所对应的整数为8；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到整点A时，它的左端在数轴上所对应的整数为2.由此可得到木棒长为　2　cm.
[数学思考]
(2)木棒在数轴上移动时，能同时盖住的整点的个数是　2或3　．
[深入探究]
(3)如图3，当木棒右端与点M重合时开始向右匀速移动，当移动到木棒左端与点N重合时，用时5 s；如图4，当木棒左端与点M重合时开始向右匀速移动，当移动到木棒右端与点N重合时，用时3 s(两次运动速度相同)，求点M，N之间的距离．
,
图1
,
图2
,
图3
,
图4
解：(3)设M，N之间的距离为x cm.
根据题意，列方程为＝，
解得x＝8.
答：点M，N之间的距离为8 cm.
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