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广西钦州市第四中学 2025-2026 学年高三上学期开学考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结来后,.将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则A与B的交集是（ ）
A． B． C． D．ABC均错误
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则集合在实数集的补集是 （ ）
A． B．
C． D．
5．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3
D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素
二、多选题(共3小题，每小题6分，共18分)
9．已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设正整数（m为常数），单调递增数列各项均为正数，设集合{均为正整数}，对有限集S，记为S中元素的个数，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若是等差数列，则
C．的最大值为 D．若，且，则必有
11．（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题 (共3小题，每小题5分，共18分)
12．已知集合，则 .
13．已知，则集合 ．
14．设区间，则使成立的的取值范围为 ．
四、解答题 (共5小题，共77分)
15．已知集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
16．设全集，集合．
(1)若时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
17．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
18．已知定义在上的函数满足：①对任意，有；②当时，；③．
(1)求证：函数在上为单调减函数．
(2)若集合，，试问：是否存在的值，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下的自然数在二进制下的表示为，则，其中，若，则称为“数”.记表示集合 中“数”的个数.
(1)计算；
(2)求；
(3)求证：，有，并求出使得的取值唯一的所有.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B C D D A ACD ACD
题号 11
答案 AC
12．根据题意可知,
若，可知，满足题意；
若，即时，可知,
若，可知或，
解得或;
综上可知或或.
故答案为：或或
13．由于集合是数集，集合是点集，
所以它们没有公共元素，交集为空集.
故答案为：.
14．由可知，，
因，
故可得，，得.
故答案为：
15．（1）,
当时,,
所以，
（2）若，则，
又，
所以.
16．（1）因为，所以，又，
所以．
方法一 因为或，或，
所以或．
方法二 或．
（2）因为，所以，
又，所以解得，
所以的取值范围是．
（3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）．
若，则，可得，满足；
若，要使，则不等式组无解．
综上，的取值范围是．
17．（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，
则，
，
，
所以该校共有340人.
（2）只修一门课的学生有
,
所以只修一门课的学生有251人.
（3）正好修两门课的学生有
，
所以正好修两门课的学生有84人.
18．（1）取，则，故，
令，则，故，
任取且，则，
所以，函数在上为单调减函数；
（2）假设存在这样的使，由题意，
所以，即①，
由①式，得②，而，
因为函数在上单调，所以③，
将③代入②，得，即，知，
所以假设错误，这样的不存在.
19．（1）由题知，表示集合中“数”的个数，表示集合中“数”的个数，
由于，，故4不是“数”，
由于，，故5不是“数”，
由于，，故6不是“数”，
故；
由于，，故7是“数”，
由于，，故8不是“数”，
故.
（2）因为表示集合中在二进制表示下恰有3个1的所有元素的个数.
因为中在二进制表示下恰有3个1的数都是从右起第位数字是1，
再在后面位中找两个位置放1，其余位置放0而得到的，故该集合中有个“数”.
又的二进制表示分别为
，，，，，
其中只有的二进制表示中恰有3个1，
所以当，时，.
（3）设表示所有的“数”组成的集合，因为在二进制表示下，
在的二进制表示的最右边的数字后面添加一个0，恰为在二进制下表示的数，
故与同时属于，或者同时不属于，
集合 比恰少了一个，多了两个数，
因此，
由，且对任意正整数，都存在正整数使得，
结合递推关系可知存在正整数使得.
当时，易知，故不符合题意.
当，时，假设恰有一个使得，
则，
当且仅当时成立，
由二进制表示知必有的形式，
故.
故使得只有唯一解的全体由正整数给出，且唯一解为.

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