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第三章成果展示　勾股定理
(时间：120分钟　满分：120分)第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且它们满足(a＋b)2－c2＝2ab，则该三角形的形状为(　B　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：因为a，b，c为一个三角形的三边长，
化简(a＋b)2－c2＝2ab，得a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形．
2．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是(　B　)
A．16 B．25
C．144 D．169
解析：如图，在Rt△ACB中，AC＝13，CB＝12，
所以根据勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝132－122＝25.所以AB＝5.
所以EF＝AB＝5.所以阴影部分的面积为PE2＋PF2＝EF2＝25.
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是(　A　)
A．3　 B．4　
C．5　 D．6
解析：如图，过点D作DE⊥BC于点E.
因为在△ABD中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，
所以根据勾股定理，得AD2＝BD2－AB2＝52－42＝9.所以AD＝3.
因为BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
所以AD＝DE＝3.
所以点D到BC的距离为3.
4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为(　D　)
A．∠A＝∠B－∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2　
C．b2＝a2－c2
D．a∶b∶c＝2∶3∶4
解析：A．因为∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠B＝90°.所以△ABC是直角三角形．
B．因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，所以∠C＝90°.所以△ABC是直角三角形．
C．由b2＝a2－c2，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形．
D．由a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2x，那么b＝3x，c＝4x，则a2＋b2＝13x2，c2＝16x2，可得△ABC 不是直角三角形．
5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　C　)
图1　　　图2
A．直角三角形的面积
B．最大的正方形的面积
C．较小的两个正方形重叠部分的面积
D．最大的正方形与直角三角形的面积和
6．如图，一根长25 dm的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端7 dm，如果梯子的顶端下滑4 dm，那么梯子将向外滑动(　B　)
A．7 dm　 B．8 dm
C．9 dm　 D．15 dm
解析：易知AB＝A′B′＝25 dm，OA＝7 dm，∠AOB＝∠A′OB′＝90°.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2＝AB2－OA2＝252－72＝576，
所以OB＝24 dm.
所以OB′＝OB－BB′＝24－4＝20(dm)．
在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得OA′2＝A′B′2－OB′2＝252－202＝225，
所以OA′＝15 dm.
所以AA′＝OA′－OA＝15－7＝8(dm)．
所以梯子将向外滑动8 dm.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，M为BC的中点，则点M到AC的距离为(　D　)
A．15　 B．
C．9　 D．
解析：如图，连接AM，过点M作ME⊥AC于点E，ME的长即为所求．
因为AB＝AC，M为BC的中点，BC＝16，
所以AM⊥BC，BM＝MC＝8.
在Rt△AMB中，由勾股定理，得AM2＝AB2－BM2＝172－82＝225，所以AM＝15.
因为S△AMC＝AM·CM＝AC·ME，
所以×15×8＝×17·ME，
解得ME＝.
所以点M到AC的距离为.
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＋b＝10，c＝8，则Rt△ABC的面积为(　A　)
A．9 B．18
C．24 D．36
解析：因为a＋b＝10，
所以将其两边平方，得(a＋b)2＝100.
因为△ABC是∠C＝90°的直角三角形，
所以a2＋b2＝c2＝64.
所以2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝100－64＝36，解得ab＝18.
所以Rt△ABC的面积为ab＝9.
9．如果正整数a，b，c满足等式a2＋b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数．某同学整理了自己探究勾股数的过程(如图)，观察图中每列数的规律，可知x＋y的值为(　C　)
A．47　 B．62　
C．79　 D．98
解析：由题意，得3＝22－1，4＝2×2，5＝22＋1，…，
所以a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1.
当c＝n2＋1＝65时，n＝8，
所以x＝63，y＝16.
所以x＋y＝79.
10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为(　C　)
A．0.7 m　 B．1.5 m
C．2.2 m　 D．2.4 m
解析：如图，在Rt△ACB中，因为∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m，
所以由勾股定理，得AB2＝0.72＋2.42＝6.25.
所以A′B2＝AB2＝6.25.
在Rt△A′BD中，因为∠A′DB＝90°，A′D＝2 m，
所以由勾股定理，得BD2＋A′D2＝A′B2.
所以BD2＋22＝6.25.
所以BD2＝2.25.
因为BD＞0，
所以BD＝1.5 m.
所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．
所以小巷的宽度为2.2 m．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．如图，游泳运动员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离计划到达点B 60 m，结果他在水中实际游了100 m，则这条河宽为　80　m.
解析：根据图中数据，由勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝1002－602＝6 400，所以AB＝80 m，所以这条河宽为80 m．
12．如图的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝　45°　．(填度数，A，B，P均是网格线的交点)
解析：如图，延长AP交格点于点D，连接BD.
则PD2＝BD2＝12＋22＝5，PB2＝12＋32＝10.
所以PD2＋DB2＝PB2.
所以∠PDB＝90°.
所以∠DPB＝∠DBP＝45°.
所以∠APB＝180°－∠DPB＝135°.
所以∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝45°.
13．如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为　3　．
解析：在Rt△CBE中，由勾股定理，得BC2＝EC2－EB2＝22－12＝3，
所以正方形ABCD的面积为BC2＝3.
14．无盖圆柱形杯子的表面展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　5　cm.
解析：由勾股定理，得筷子在杯子内部的最大长度为15 cm，
则木筷露在杯子外面的部分至少有20－15＝5(cm)．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，以AC, BC为直径的半圆的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝　50π　．(结果保留π)
解析：易知S1＝π＝πAC2，S2＝π＝πBC2，
所以S1－S2＝π(AC2－BC2)＝π×AB2＝π×202＝50π.
16．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是　3.6或4.32或4.8　．
解析：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以由勾股定理，得AC＝5，S△ABC＝AB·BC＝6.
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①如图1，当AB＝AP＝3时，S等腰三角形ABP＝·S△ABC＝×6＝3.6.
②如图2，当AB＝BP＝3，且点P在AC上时，作△ABC的高BD，
则BD＝＝＝2.4，AD＝DP.
所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝1.8.
所以AP＝2AD＝3.6.
所以S等腰三角形ABP＝·S△ABC＝×6＝4.32.
③如图3，当CB＝CP＝4时，S等腰三角形BCP＝·S△ABC＝×6＝4.8.
综上所述，等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8.
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)如图，在一棵树CD的10 m高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．
解：设树的高度为x m．因为两只猴子所经过的距离相等，即都为30 m，
所以由勾股定理，得x2＋202＝[30－(x－10)]2，
解得x＝15.
故这棵树的高度为15 m.
18．(8分)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　14－x　；
(2)分别在Rt△ADC和Rt△ADB中根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)求△ABC的面积．
解：(2)在Rt△ADC和Rt△ADB中，
根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
所以132－(14－x)2＝152－x2，解得x＝9.
(3)在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝132－(14－9)2＝144，
所以AD＝12.
所以△ABC的面积为BC·AD＝×14×12＝84.
19．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，CD＝7，AD＝24.求：
(1)∠ADC的度数；
(2)四边形ABCD的面积．
解：(1)连接AC，图略．
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝15，BC＝20，
由勾股定理，得AC＝25.
因为CD＝7，AD＝24，
所以AD2＋CD2＝AC2.
所以△ACD是直角三角形．
所以∠ADC＝90°.
(2)四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ADC
＝AB·BC＋AD·CD
＝×15×20＋×24×7
＝234.
20．(10分)学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端1 m，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5 m处，测得此时绳子末端距离地面的高度为1 m．如果设旗杆的高度为x m(滑轮上方的部分忽略不计)，求x的值．
解：如图，由旗杆的高度为x m，可得AD＝x m，AB＝(x－1)m，BC＝5 m.
左图，根据勾股定理，得绳长的平方＝x2＋12，
右图，根据勾股定理，得绳长的平方＝(x－1)2＋52，
所以x2＋12＝(x－1)2＋52，解得x＝12.5，
即x的值为12.5.
21．(10分)如图1，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处．为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处．
(1)图2是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P，使蚂蚁沿A—P—B路线爬行，距离最短；
(2)求出蚂蚁爬行的最短路径长．
图1　　　　　　　　图2
解：(1)如图，点P即为所求．
(2)如图，过点B作BE⊥AC于点E.易知BE＝×24＝12(cm)，A1E＝18－4＋2＝16(cm).
在Rt△A1BE中，由勾股定理，得A1E2＋BE2＝A1B2，即162＋122＝A1B2，所以A1B＝20 cm，
即蚂蚁爬行的最短路径长是20 cm.
22．(12分)[材料阅读]如图1是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与1个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．大正方形的面积等于c2，同时它的面积又等于4个全等的直角三角形和小正方形的面积之和，于是有4×ab＋(b－a)2＝c2，化简即得a2＋b2＝c2，这就验证了勾股定理．
[动手操作](1)请你利用2个或4个图2所示的直角三角形设计出一个图形，画出来，并验证勾股定理；
[定理应用](2)如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，BC＝5，CD＝2，请求出AD2的值．
解：(1)(方案一)如图，当图形为直角梯形时，面积的两种求法如下：
①S梯形＝(a＋b)(a＋b)．
②S梯形＝ab×2＋c2.
所以(a＋b)(a＋b)＝ab×2＋c2，
整理，得a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2，
即a2＋b2＝c2.
故勾股定理成立．
(方案二)如图，当图形为大正方形时，面积的两种求法如下：
①S大正方形＝(a＋b)2.
②S大正方形＝ab×4＋c2.
所以(a＋b)2＝2ab＋c2，
即a2＋b2＝c2.
故勾股定理成立．
(2)由题意，得△ABO，△BCO，△CDO，△ADO均为直角三角形．
由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，CO2＋DO2＝CD2，AO2＋DO2＝AD2，BO2＋CO2＝BC2，
所以AO2＋BO2＋CO2＋DO2＝AB2＋CD2，AO2＋BO2＋CO2＋DO2＝AD2＋BC2，
即AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
所以62＋22＝AD2＋52.
所以AD2＝15.
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