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综合质量评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题　共48分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是(　D　)
解析：选项A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项D中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D.
2．如图，△ABC的边BC上的高是(　B　)
A．BE B．AF
C．CD D．CF
3．已知△ABC≌△ABD，AB＝2 024，BC＝2 023，AC＝2 022，则AD的长为(　B　)
A．2 021 B．2 022
C．2 023 D．2 024
解析：因为△ABC≌△ABD，AC＝2 022，
所以AD＝AC＝2 022.
4．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有(　B　)
A．2对　 B．3对　
C．4对　 D．6对
解析：由题意可知△BDC与△BEC，△BDC与△BAC，△BEC与△BAC共3对以BC 为公共边的“共边三角形”．
5．如图，将一张三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在边AB上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是(　D　)
A．AD＝BD　 B．AE＝AC
C．ED＋EB＝DB　 D．AE＋CB＝AB
解析：因为△BDE由△BDC翻折而成，
所以BE＝CB.
因为AE＋BE＝AB，
所以AE＋CB＝AB.
6．已知借助如图的“三等分角仪”能三等分角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(　D　)
A．60°　 B．65°　
C．75°　 D．80°
解析：因为OC＝CD＝DE，
所以∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC.
因为∠DCE＝∠O＋∠CDO＝2∠O，
所以∠DCE＝∠DEC＝2∠O.
所以∠CDE＝180°－4∠O.
所以∠BDE＝180°－∠CDO－∠CDE＝180°－∠O－(180°－4∠O)＝3∠O＝75°.
所以∠O＝25°.
所以∠CDE＝180°－4×25°＝80°.
7．对于下列说法，其中正确的有(　B　)
①关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；
②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；
③一条线段的两个端点一定关于经过该线段中点的直线对称；
④如果两个三角形全等，那么它们关于某直线成轴对称．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①关于某一直线成轴对称的两个三角形全等，说法正确；
②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，故原说法错误；
③一条线段的两个端点不一定关于经过该线段中点的直线对称，故原说法错误；
④两个三角形全等，它们不一定关于某直线成轴对称，故原说法错误．
综上，正确的有1个．
8．如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(　D　)
A．9　 B．6　
C．4　 D．3
解析：由题意可知，中间小正方形的边长为a－b.
因为每一个直角三角形的面积为ab＝×8＝4，
所以4×ab＋(a－b)2＝25.
所以(a－b)2＝25－16＝9.
所以a－b＝3.
9．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为(　B　)
A．65°　 B．70°　
C．75°　 D．85°
解析：因为DE⊥AB，∠A＝35°，
所以∠AFE＝∠CFD＝55°.
所以∠ACD＝180°－∠CFD －∠D＝110°.
所以∠ACB＝180°－∠ACD＝70°.
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　C　)
A．4　 B．3　
C．2　 D．1
解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E.
因为AC＝8，DC＝AD，
所以CD＝8×＝2.
因为∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，
所以DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离等于2.
11．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则图中的全等三角形有(　C　)
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：图中全等三角形有△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DEC≌△BEC，共3对．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB，交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的是(　B　)
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF＋CF.
A．①②③　 B．①②④
C．②③④　 D．①②③④
解析：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＋∠DCB＝90°，∠DAC＋∠B＝90°.
因为∠DCA＝∠DAC，
所以∠DCB＝∠B.所以①符合题意．
因为∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠B，
所以AD＝CD，CD＝BD.
所以CD＝AB.所以②符合题意．
由已知可得AD＝CD，但不能得出AC＝AD或AC＝CD，
所以不能判定△ADC是等边三角形．所以③不符合题意．
因为∠E＝30°，DE⊥AB，
所以∠A＝60°.
因为AD＝CD，
所以△ADC是等边三角形．
所以∠ADC＝∠ACD＝60°.
因为∠ADE＝∠ACB＝90°，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°.
所以CF＝DF.
因为DE＝EF＋DF，
所以DE＝EF＋CF.所以④符合题意．
综上，结论正确的是①②④.
第Ⅱ卷(非选择题　共102分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高5 m，两树相距12 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行　13　m．
解析：建立数学模型如图所示．
易知两棵树的高度差AC＝10－5＝5(m)，间距AB＝DE＝12 m，
根据勾股定理，得小鸟至少飞行的距离BC＝13 m．
14．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠BAC＝76°，则∠OBC＝　14°　．(填度数)
解析：如图，连接OA．
因为AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，
所以OA＝OB，OA＝OC.
所以∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC.
所以∠OBA＋∠OCA＝∠BAC＝76°.
所以∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BAC－(∠OBA＋∠OCA)＝28°.
因为OB＝OC，
所以∠OBC＝∠OCB＝14°.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，过AB的中点E作EF⊥AB，交AC于点F，连接BF.若AB＝10，CD＝4，则△BFC的周长为　18　．
解析：因为AB＝AC＝10，AD为△ABC的角平分线，
所以BC＝2CD＝8.
因为EF垂直平分AB，
所以AF＝BF.
所以AF＋CF＝BF＋CF＝10，
所以△BFC的周长＝BF＋CF＋BC＝10＋8＝18.
16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8 cm，则图中所有正方形的面积的和是　192　cm2.
17．如图，∠AOB＝18°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋PQ＋QN的值最小时，则β－α＝　36°　.(填度数)
解析：如图，作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点Q，交OB于点P，则此时MP＋PQ＋QN的值最小．
所以∠OPM＝∠OPM′＝∠QPN，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN.
所以∠QPN＝(180°－α)＝180°－(180°－∠AOB－∠MQP)＝∠AOB＋∠MQP＝18°＋(180°－β)．
所以180°－α＝36°＋(180°－β)．
所以β－α＝36°.
18．如图，在一个长为8 cm、宽为5 cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2 cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是　13 cm　.
解析：将长方体木块展开如图所示，由题意可知，AB为8＋2×2＝12(cm)，BC为5 cm.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝13 cm.
所以最短路程为13 cm.
三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(8分)已知线段a和∠α(如图)，用直尺和圆规作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α.(保留作图痕迹，不写作法)
略．
20．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝50°，AD平分∠CAB，交BC于点D，E为边AC上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，EF⊥BC于点F.求∠FED的度数．
解：因为AD平分∠CAB，
所以∠BAD＝∠EAD.
因为∠EAD＝∠EDA，
所以∠BAD＝∠EDA．
所以DE∥AB.
所以∠EDF＝∠B＝50°.
因为EF⊥BC，
所以∠DFE＝90°.
所以∠FED＝90°－∠EDF＝90°－50°＝40°.
21．(10分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．
解：(1)因为(a－b)2＋(b－c)2＝0，
所以a－b＝0，b－c＝0.
所以a＝b＝c.
所以△ABC是等边三角形．
(2)因为a＝5，b＝2，且c为整数，
所以5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7.
所以c可取值为4，5，6.
当c＝4时，△ABC的周长有最小值，最小值为5＋2＋4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长有最大值，最大值为5＋2＋6＝13.
22．(10分)如图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
(2)若BE＝10 m，BF＝3 m，求FC的长度．
解：(1)因为AB∥DE，
所以∠ABC＝∠DEF.
在△ABC和△DEF中，
所以△ABC≌△DEF(ASA)．
(2)由(1)知△ABC≌△DEF，
所以BC＝EF.
所以BF＋FC＝EC＋FC.
所以BF＝EC.
因为BE＝10 m，BF＝3 m，
所以FC＝10－3－3＝4(m)．
23．(10分)如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．
(1)折叠后，DC的对应线段是　BC′　，CF的对应线段是　C′F　；
(2)若∠1＝55°，求∠2，∠3的度数；
(3)若AB＝6，AD＝12，求△BFC′的面积．
解：(2)由翻折的性质可知∠2＝∠BEF.
因为AD∥BC，
所以∠2＝∠1＝55°.
所以∠3＝180°－2×55°＝70°.
(3)设DE＝EB＝x，则AE＝12－x.
在Rt△ABE中，因为AB2＋AE2＝BE2，
所以62＋(12－x)2＝x2.
所以x＝.
所以AE＝12－＝.
所以S△ABE＝AB·AE＝×6×＝.
因为∠ABC＝∠EBC′，
所以∠ABE＝∠FBC′.
因为∠A＝∠C′＝90°，AB＝BC′，
所以△ABE≌△C′BF(ASA)．
所以S△BFC′＝S△ABE＝.
24．(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝CB，AD⊥BC，垂足为点D.已知AD＝3，CD＝1.
(1)求AB的长；
(2)若P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形？
解：(1)设AB＝BC＝x，则BD＝x－1.
易知在Rt△ABD中，由勾股定理，
得x2－(x－1)2＝32，
解得x＝5，
即AB＝5.
(2)根据题意可知，分三种情况：
①当AP＝AD＝3时，△ADP为等腰三角形．
②当AP＝DP时，如图，
所以∠PAD＝∠PDA．
因为∠PAD＋∠B＝90°，∠PDA＋∠BDP＝90°，
所以∠PDB＝∠B.
所以PD＝PB＝PA．
所以AP＝AB＝2.5.
③当AD＝DP＝3时，如图，过点D作DE⊥AP于点E，
所以AE＝PE.
设AE＝PE＝x，则BE＝5－x.
因为CD＝1，AB＝BC＝5，
所以BD＝BC－CD＝4.
因为AD2－AE2＝DE2＝BD2－BE2，
所以32－x2＝42－(5－x)2，
解得x＝1.8.
所以AP＝3.6.
综上，当AP的值为3或2.5或3.6时，△ADP为等腰三角形．
25．(10分)如图，在△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
(1)试说明：AE＝CD；
(2)试说明：AE⊥CD；
(3)连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD.其中正确的是　②　(填序号)，请说明理由．
解：(1)因为∠ABC＝∠DBE＝90°，
所以∠ABC＋∠CBE＝∠DBE＋∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
所以△ABE≌△CBD(SAS)．
所以AE＝CD.
(2)因为△ABE≌△CBD，
所以∠BAE＝∠BCD.
因为∠NMC＝180°－∠BCD－∠CNM，
∠ABC＝180°－∠BAE－∠ANB，
又因为∠CNM＝∠ANB，∠BCD＝∠BAE，
所以∠NMC＝∠ABC.
因为∠ABC＝90°，
所以∠NMC＝90°.
所以AE⊥CD.
(3)②.理由如下：
如图，作BK⊥AE于点K，BJ⊥CD于点J.
因为△ABE≌△CBD，
所以AE＝CD，S△ABE＝S△CBD.
所以AE·BK＝CD·BJ.
所以BK＝BJ.
所以MB平分∠AMD.
不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为：②.
26．(12分)数学课上，李老师出了一道题目：
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了解答：
(1)特殊情况，探索结论
当E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　＝　DB.(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是AE　＝　DB(填“＞”“＜”或“＝”)．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F(请你继续完成解答过程)．
图1
　
图2
解：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
因为△ABC为等边三角形，
所以∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.
所以∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.
所以△AEF是等边三角形．
所以AE＝EF＝AF.
因为∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
所以∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠ECF＋∠ECD＝60°.
因为DE＝EC，
所以∠D＝∠ECD.
所以∠BED＝∠FCE.
在△DEB和△ECF中，
所以△DEB≌△ECF(AAS)．
所以DB＝EF＝AE，
即AE＝DB.
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