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课时分层训练(十三)　无理数
知识点　无理数
1．下列四个数中，是无理数的是 (　C　)
A．0 B．
C．－π D．－0.101 001 000 1
2．下列各数：2 025，0.，，3.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，其中无理数有　2　个．
解析：无理数有，3.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，共有2个．故答案为：2.
3．如果设面积为3π的圆的半径为r，那么r是有理数还是无理数？
解：根据题意，得r2＝3，故r是无理数．
4．除了π以外，还能再构造一个无理数吗？若能，请说明构造方法．
解：符合题意的无理数为0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)．(答案不唯一)
构造方法：写出一个特定结构的无限不循环小数．
5．你能举出3个有关无理数的实例吗？
解：①面积为2的正方形的边长，是无理数；
②体积为3的正方体的棱长，是无理数；
③两条直角边长分别是1，2的直角三角形的斜边的长，是无理数．(答案不唯一)
6．若一个正方形的面积增加9 cm2后，与一个边长为4 cm的正方形的面积相等，求原正方形的面积，并判断其边长是有理数还是无理数．
解：原正方形的面积是42－9＝7(cm2)，其边长是无理数．
7．已知半径为1的圆．
(1)它的周长l是有理数还是无理数？请说明理由．
(2)①若π取3.141 59，估计l的值(结果精确到十分位)；
②如果结果精确到百分位呢？
解：(1)它的周长l＝2π，是无理数．理由：2π是无限不循环的小数．
(2)①结果精确到十分位为l＝2π≈6.3.
②结果精确到百分位为l＝2π≈6.28.
8．在下列4×4的网格图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．
解：如图，AB2＝2，CD2＝8，EF2＝18，AB，CD，EF的长度均为无理数．(答案不唯一)
9．下列说法中正确的是(　C　)
A．有理数都是有限小数
B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限小数
D．是分数
解析：A．无限循环小数也是有理数，故本选项不正确；
B．无限循环小数不是无理数，故本选项不正确；
C．无限不循环小数叫无理数，故本选项正确；
D．π是无理数，所以也是无理数，不是分数，故本选项不正确．
故选：C.
10．以下正方形的边长是无理数的是(　D　)
A．面积为121的正方形
B．面积为36的正方形
C．面积为1.69的正方形
D．面积为π2的正方形
解析：A．面积为121的正方形的边长是11，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．面积为36的正方形的边长是6，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．面积为1.69的正方形的边长是1.3，是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．面积为π2的正方形的边长是π，是无理数，故本选项符合题意．
故选：D.
11．下列说法中，正确的有(　B　)
①无限小数都是无理数；
②正数、负数统称有理数；
③无理数的相反数还是无理数；
④无理数与无理数的和一定还是无理数；
⑤无理数与有理数的和一定是无理数；
⑥无理数与有理数的积一定仍是无理数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：无限不循环小数是无理数，故①说法错误；
正有理数、0、负有理数统称有理数，故②说法错误；
无理数的相反数还是无理数，故③说法正确；
无理数与无理数的和不一定是无理数，故④说法错误；
无理数与有理数的和一定是无理数，故⑤说法正确；
无理数与有理数的积一定仍是无理数，例如有理数为0时，最后的结果为0，故⑥说法错误．
故选：B.
12．下列各数：0.458 3，3.，－π，－，18，其中无理数的个数为m，有理数的个数为n，则n－m的值为　3　．
解析：无理数有－π，共1个，故m＝1；有理数有4个，故n＝4.所以n－m＝3.故答案为：3.
13．请设计两个直角三角形，分别满足下列条件：
(1)使其三边长都能用有理数表示；
(2)使其三边中两边是有理数，另一边是无理数．
解：(1)三边长分别为3，4，5的直角三角形．
(2)两条直角边长分别为1，1的等腰直角三角形．(答案不唯一)
【创新运用】
14．某数学家在研究1和2的比例中项时(若1∶x＝x∶2，则x叫1和2的比例中项)，他怎么也想不出这个比例中项的值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由勾股定理，得x2＝12＋12＝2.他想x代表对角线的长，而x2＝2，那么x必定是确定的数．
根据材料，解答下列问题．
(1)x是整数吗？为什么？
(2)x可能是分数吗？若是，找出x的值；若不是，请说明理由．
解：(1)不是，因为1＜2＜4，而x2＝2，
所以1＜x2＜4.若x＞0，则1＜x＜2.
因为在1和2之间不存在另外的整数，
所以x不是整数．
(2)不可能，因为任何分数的平方都不可能是整数．
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