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第一章成果展示　三角形
(时间：120分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列图形是全等图形的是(　B　)
　
A　　　　　B
　
C　　　　　D
2．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是(　D　)
A．两点之间线段最短
B．长方形的对称性
C．长方形四个角都是直角
D．三角形的稳定性
3．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(　C　)
A．已知两边及夹角
B．已知三边　
C．已知两角及夹边
D．已知两边及一边对角
4．把如图所示的图形分割成两个全等图形，正确的是(　B　)
A　　　　　B
C　　　　　D
5．在钝角三角形ABC中，∠C为钝角，AC＝10，BC＝6，AB＝x，则x的取值范围是(　B　)
A．4＜x＜16　 B．10＜x＜16
C．4＜x≤16　 D．10＜x≤16
解析：根据三角形的三边关系，得10－6＜x＜10＋6，
即4＜x＜16.
因为∠C为钝角，
所以AB为最长边．
所以10＜x＜16.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为(　C　)
A．38°　 B．39°　
C．51°　 D．52°
解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°，
所以∠A＝51°.
因为EF∥AB，
所以∠1＝∠A．
所以∠1＝51°.
7．如图，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中共有　　　　全等三角形．(　C　)
A．2对　 B．3对　
C．4对　 D．5对
解析：因为点C是AB的中点，
所以AC＝BC.
因为AD＝BE，CD＝CE，
所以△ACD≌△BCE(SSS)．
所以∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE.
设AD交EC于点G，BE交CD于点H，图略．
所以∠ACG＝∠BCH.
所以△ACG≌△BCH(ASA)．
所以CG＝CH.
所以EG＝DH，△ECH≌△DCG(SAS)．
因为∠EFG＝∠DFH，
所以△EFG≌△DFH(AAS)．
所以图中全等三角形共有4对．
8．如果三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，则它是(　A　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
解析：设三个内角的度数分别为2k，3k，4k，则2k＋3k＋4k＝180°，
解得k＝20°.
所以最大的角为4×20°＝80°.
所以三角形是锐角三角形．
9．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠BDC＝120°，则∠A的度数为(　C　)
A．40°　 B．50°　
C．60°　 D．75°
解析：因为BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
所以∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.
所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)．
因为∠BDC＝120°，∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°，
所以∠DBC＋∠DCB＝60°.
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－120°＝60°.
10．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接BE.下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③AD＝AC；④∠EFB＝40°.其中正确的个数为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在△AEF和△ABC中，
所以△AEF≌△ABC(SAS)．
所以∠EAF＝∠BAC，AF＝AC.故②正确；
所以∠FAC＝∠EAB＝40°.故①正确；
所以∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°.
所以∠EFB＝180°－70°－70°＝40°.故④正确；
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°.
所以∠DAF＝40°.这显然与条件不符，故③错误．
第Ⅱ卷(非选择题　共80分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
11．如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°，所以△ABD是　直角　三角形．
解析：易知∠DBC＝180°－∠BDC－∠C＝180°－80°－70°＝30°.因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠DBC＝30°.
因为∠ADB＝60°，
所以∠A＝180°－30°－60°＝90°.
所以△ABD是直角三角形．
12．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边CB上的中线和高，AE＝6 cm，S△ABD＝12 cm2，则DC的长是　4　cm.
解析：因为S△ABD＝12，AE是边CB上的高，AE＝6，
所以BD·AE＝12，
即BD×6＝12.
所以BD＝4.
因为AD为边CB上的中线，
所以DC＝BD＝4 cm.
13．如图，已知AB＝CD，BF＝EC，只需再补充一个条件就能使△ABE≌△DCF，则下列条件：
①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥CD；④∠A＝∠D.
符合题意的有　①③　．(填序号)
14．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点．若△ABC的面积为16 cm2，则△BEF(阴影部分)的面积等于　4　cm2.
解析：因为点D为BC的中点，△ABC的面积为16 cm2，所以S△ABD＝S△ACD＝＝×16＝8(cm2)．
因为点E为AD的中点，
所以S△BDE＝S△ABD＝4 cm2，S△CDE＝S△ACD＝4 cm2.
所以S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝4＋4＝8(cm2)．
因为点F为CE的中点，
所以S△BEF＝S△BCE＝×8＝4(cm2)．
15．如图，测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，这个测量用到的三角形全等判定方法是　ASA　．(用字母表示)
解析：因为AC⊥AB，
所以∠CAB＝∠CAB′＝90°.
在△ABC和△AB′C中，
所以△ABC≌△AB′C(ASA)．
所以AB＝AB′.
16．如图，在△ABC中，过点A分别作AD⊥AB，AE⊥AC，且使AD＝AB，AE＝AC，BE和CD相交于点O，则∠DOE的度数是　90°　．
解析：如图，设AC交BE于点K.
因为AD⊥AB，AE⊥AC，
所以∠DAB＝∠EAC＝90°.
所以∠DAC＝∠BAE.
在△DAC和△BAE中，
所以△DAC≌△BAE(SAS)．
所以∠DCA＝∠E.
因为∠EKA＝∠CKO，
所以∠COK＝∠EAK＝90°.
所以∠DOE＝90°.
三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)尺规作图．
已知：△ABC(如图)．
求作：△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC全等．
要求：(1)不写作法，保留作图痕迹；
(2)写出作图时选取的相等的边或角．
解：如图，△A′B′C′即为所作(点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′为对应点)．
选取的相等的边为B′C′＝BC，C′A′＝CA，B′A′＝BA．
18．(8分)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接CE.若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
解：因为D是△ABC中边BC的中点，
所以S△ABD＝S△ADC.
易得△ABD≌△ECD，所以S△ABD＝S△ECD.
因为S△ABD＝5，所以S△ACE＝S△ADC＋S△ECD＝5＋5＝10，即△ACE的面积为10.
19．(8分)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.试说明：∠1＝∠2.
小虎同学的说明过程如下：
解：因为∠ADC＝∠AEB＝90°，
所以∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°.
因为∠DOB＝∠EOC，
所以∠B＝∠C.……第一步
又因为OA＝OA，OB＝OC，
所以△ABO≌△ACO.……第二步
所以∠1＝∠2.……第三步
(1)小虎同学的说明过程中，第　二　步出现错误；
(2)请写出正确的说明过程．
解：(2)因为∠ADC＝∠AEB＝90°，
所以∠BDO＝∠CEO＝90°.
在△DOB和△EOC中，
所以△DOB≌△EOC(AAS)．
所以OD＝OE，∠B＝∠C.
所以DC＝EB.
在△ADC和△AEB中，
所以△ADC≌△AEB(ASA)．
所以AD＝AE.
在△ADO和△AEO中，
所以△ADO≌△AEO(SAS)．
所以∠1＝∠2.
20．(10分)如图，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF，BE交FC于点O，交AC于点D.
(1)试说明：BE＝CF；
(2)当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数．
解：(1)因为∠CAB＝∠EAF，
所以∠CAB＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE.
所以∠BAE＝∠CAF.
在△BAE和△CAF中，
所以△BAE≌△CAF(SAS)．
所以BE＝CF.
(2)因为△BAE≌△CAF，
所以∠EBA＝∠FCA，
即∠DBA＝∠OCD.
因为∠BDA＝∠ODC，
所以∠BAD＝∠COD.
因为∠BAC＝70°，
所以∠BOC＝70°.
21．(10分)如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD，交直线BC于点E.
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
(2)当点P在线段AD上运动时，试说明：∠E＝(∠ACB－∠B)．
解：(1)因为∠B＝35°，∠ACB＝85°，
所以∠BAC＝60°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC＝30°.
所以∠ADC＝180°－30°－85°＝65°.
又因为PE⊥AD，所以∠DPE＝90°.
所以∠E＝25°.
(2)因为∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
因为AD平分∠BAC，
所以∠DAC＝∠BAC＝90°－(∠B＋∠ACB)．
所以∠ADC＝180°－∠DAC－∠ACB＝90°－(∠ACB－∠B)．
因为PE⊥AD，所以∠DPE＝90°.
所以∠ADC＋∠E＝90°.
所以∠E＝90°－∠ADC，
即∠E＝(∠ACB－∠B)．
22．(12分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8 cm，BC＝6 cm，D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a cm的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(0≤t≤3)s.
(1)用含t的代数式表示PC的长度；
(2)若点P，Q的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
解：(1)由题意，得PC＝BC－BP＝6－2t.
(2)△BPD与△CQP全等．理由如下：
因为t＝1，
所以BP＝CQ＝2×1＝2(cm)．
所以PC＝BC－BP＝6－2＝4(cm)．
因为AB＝8 cm，D为AB的中点，
所以BD＝4 cm.
所以PC＝BD.
在△BPD和△CQP中，
所以△BPD≌△CQP(SAS)．
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