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课时分层训练(七)　探索轴对称的性质
知识点一　轴对称的性质
1．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是(　D　)
A．AC＝A1C1　 B．BO＝B1O
C．CC1⊥MN　 D．AB∥B1C1
解析：因为△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
所以AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN.
故选项A，B，C正确，不符合题意；
AB∥B1C1不一定成立，故选项D不一定正确，符合题意．
故选：D.
2．如图，已知△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠BCD的度数为(　C　)
A．120° B．116°
C．106° D．96°
解析：如图，连接BD.
因为△ABC和△ADC关于直线AC成轴对称，
所以△ABC≌△ADC.
所以∠ABC＝∠ADC＝30°.
因为∠BAD＝46°，
所以∠ABD＋∠ADB＝180°－46°＝134°.
所以∠CDB＋∠CBD＝134°－30°－30°＝74°.
所以∠BCD＝180°－74°＝106°.
故选：C.
3．如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，E，F是AD上的两点．若△ABC的面积为18，则图中阴影部分的面积是(　C　)
A．6 B．12
C．9 D．无法确定
解析：因为AD所在直线是△ABC的对称轴，所以AD⊥BC，BD＝CD.
所以S△ABD＝S△ACD，S△BEF＝S△CEF.
所以题图中阴影部分的面积等于△ABC面积的一半．
所以阴影部分的面积为S△ABC＝×18＝9.故选：C.
4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一条直线上．已知∠AEN＝32°，则∠MEB′的度数为　58°　．
解析：由题意知∠AEN＝∠NEA′，∠MEB＝∠MEB′，
所以∠A′EN＝∠AEA′，∠B′EM＝∠B′EB.
所以∠MEN＝∠AEB＝×180°＝90°.
因为∠AEN＝32°，所以∠NEA′＝32°.
所以∠MEB′＝90°－32°＝58°.
故答案为：58°.
5．如图，P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝4，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为　8　．
解析：因为点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，
所以OP1＝OP＝OP2＝4，且∠P1OP2＝2∠AOB＝90°.
所以△OP1P2是等腰直角三角形．
所以△OP1P2的面积为×4×4＝8.
故答案为：8.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5.沿过点B的直线折叠这个三角形，使得点C落在边AB上的点E处，折痕为BD，求DE的长．
解：由折叠，得DE＝DC，∠BED＝∠C＝90°，
所以BC⊥AC，DE⊥AB.
因为AC＝4，BC＝3，AB＝5，
所以AD＝4－DC＝4－DE.
因为AD·BC＝AB·DE＝S△ABD，
所以×(4－DE)×3＝×5×DE，
解得DE＝.
故DE的长为.
知识点二　画轴对称图形
7．已知△ABC如图所示，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′.
解：如图，△A′B′C′即为所求．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，P是直线BD上的点，则下列判断错误的是(　C　)
A．AD＝CD
B．∠DAP＝∠DCP
C．AP＝BC
D．∠ABP＝∠CBP
解析：因为对角线BD所在的直线是四边形ABCD的对称轴，
所以△APD≌△CPD，△ABD≌△CBD.
所以AD＝CD，∠DAP＝∠DCP，∠ABP＝∠CBP.
故选项A，B，D正确．
故选：C.
9．已知P为锐角∠AOB内的一点，点M与点P关于OA对称，点N与点P关于OB对称．若OP＝3，MN＝5，则△MON的周长是(　B　)
A．8 B．11
C．13 D．15
解析：画示意图如图所示．
因为点M与点P关于OA对称，点N与点P关于OB对称，
所以OM＝OP＝3，ON＝OP＝3.
因为MN＝5，
所以△MON的周长是OM＋ON＋MN＝11.
故选：B.
10．如图，若P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于点M，交OB于点N.若△PMN的周长为15 cm，则P1P2的长度为(　D　)
A．5 cm B．7.5 cm
C．30 cm D．15 cm
解析：因为点P关于OA，OB的对称点分别是点P1，P2，
所以OA，OB分别是PP1，PP2的垂直平分线．
所以MP＝MP1，NP＝NP2.
所以P1P2的长度＝MP1＋MN＋NP2＝MP＋MN＋NP＝△PMN的周长＝15 cm.
故选：D.
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，点B关于CD的对称点是点E，则∠ACE＝　10　.(填度数)
解析：因为点B关于CD的对称点是点E，
所以∠B＝∠E.
因为CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，
所以∠B＝90°－∠BCD＝90°－50°＝40°.
所以∠E＝∠B＝40°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠DCA＝90°－∠BCD＝90°－50°＝40°.
在△CDE中，CD⊥AB于点D，∠E＝40°，
所以∠DCE＝90°－∠E＝90°－40°＝50°.
所以∠ACE＝∠DCE－∠DCA＝50°－40°＝10°.
故答案为：10.
12．在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠，点B，C均落于边BC上的点Q处，MN，EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MQE＝　80°　．(填度数)
解析：因为线段MN，EF为折痕，
所以∠B＝∠MQB，∠C＝∠EQC.
因为∠A＝80°，
所以∠B＋∠C＝180°－80°＝100°.
所以∠MQB＋∠EQC＝∠B＋∠C＝100°.
所以∠MQE＝180°－100°＝80°.
故答案为：80°.
13．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l，m，n，p为对称轴的轴对称图形．
解：关于直线l，m，n，p为对称轴的轴对称图形如图所示．
【创新运用】
14．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与BC相交于点F.若AE平分∠CAD，∠B＝40°，∠C＝35°.
(1)试说明：∠CAF＝∠C；
(2)求∠1的度数．
解：(1)因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠B＝40°，∠C＝35°，
所以∠BAC＝105°.
因为AE平分∠CAD，
所以∠CAF＝∠DAE.
由翻折，得∠BAD＝∠DAE，∠B＝∠E＝40°，
所以∠BAD＝∠DAE＝∠CAF＝∠BAC＝35°.
所以∠CAF＝∠C.
(2)由(1)知∠CAF＝∠C＝35°，∠B＝∠E＝40°，
所以∠AFC＝180°－∠CAF－∠C＝110°.
所以∠DFE＝∠AFC＝110°.
所以∠1＝180°－∠DFE－∠E＝30°.
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